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第三章 函 数
第一节 函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 函数的概念及解析式 ☆☆ 吉林中考中，有关函数的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握函数的解析式、自变量的取值范围及三种表示方法等考点。
考点2 函数及自变量的取值范围 ☆☆
考点3 函数图象及其应用 ☆☆
考点4 函数的三种表示方法 ☆☆☆
■考点一　函数的概念及解析式
1.变量：在一个变化过程中， 的量称为变量.
2.常量：在一个变化过程中， 的量称为常量.
3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 ，那么我们就把x称为 ，把y称为 ，y是x的函数.
4. 函数解析式： 叫做函数解析式或函数关系式.
■考点二　函数及自变量的取值范围
1.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做 .
2.确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为 时，字母 ；
2）函数解析式含有 时，分式的 ；
3）函数解析式含有 时，被 ；
4）函数解析式中含有 的式子时， ；
5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
3.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么 .
■考点三　函数图象及其应用
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 ，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个 .
用坐标表示地理位置的方法
1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定 ；
2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出 ；
3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的 .
■考点四　函数的三种表示方法
1.函数的表示方法有三种： .
2.解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做 .
3.列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做 .
4.图像法：用图像表示函数关系的方法叫做 .
优点 缺点
解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性
图像法 形象地把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
■易错提示
1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同.
2. 坐标轴上的点不属于任何象限.
3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.
4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系.
5.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点.
6.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上.
7.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
8.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
9.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.
10.常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。
11.函数概念的解读：①有两个变量。
②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
12.当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值.
13.当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程.
14.当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式.
■考点一　函数的概念及解析式
◇典例1： （2024下·全国·八年级假期作业）下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
◆变式训练
1．（2023上·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东淄博·七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　函数及自变量的取值范围
◇典例2：（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）要使函数有意义，自变量x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024下·全国·七年级假期作业）已知变量x，y之间的关系式为，当时，y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）当时，函数的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
■考点三　函数图象及其应用
◇典例3：（2023上·浙江·八年级专题练习）下列图形中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）如图，下列各曲线中能够表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末）在全民健身赛跑中，甲、乙两名选手的行程随时间变化的图象如图所示，给出下列四个结论：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在第1小时，两人都跑了10千米；③乙的行程y与时间x的关系式为；④甲在第小时跑了11千米．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
■考点四　函数的三种表示方法
◇典例4：（2023上·河南郑州·八年级校考期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（ ）
A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可
◆变式训练
1．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②是变量，它的值与无关；③用关系式表示的不能用图象表示；④与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
12．（2023下·四川达州·七年级统考期末）李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油
1.（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪
2.（22-23八年级下吉林长春期末）下列图形中,可以表示函数的是( )
3.（2023八年级下吉林长春期末）函数，y=的自变量、的取值范围是( )
A.x≠3 B .x>3 C.x<3 D.x=3
4.（21-22八年级下吉林长春期末）小苏和小林在如图①所示的跑道上进行4 x 50米折返跑,在整个过程中跑步者距起跑线的距离y (单位:m)与跑步时间t (单位:s)的对应关系如图②所示,则下列叙述正确的是( )
A .两人从起跑线同时出发,同时到达终点
B .小苏跑完全程的平均速度大于小林跑完全程的平均速度
C .小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D .在折返跑过程中(不包括起跑和终点) , 小林与小苏相遇了3次
5.(21-22八年级下吉林长春期末)在函数y= 2x2+1中，当自变量x=3时,因变量的值是 .
6.（21-22八年级下吉林四平期末）函数y=的图像如图所示,则这个函数的最小值是 .
7．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S．

(1)当时，______；
(2)当点G在边上时，_______；
(3)求S与t之间的函数解析式．
8．（2020·吉林长春·统考模拟预测）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，动点P从点B出发，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向运动，到达点A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒．
(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)
(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)
(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值
(4)若点E为BC中点，直接写出当△BEP为等腰三角形时t的值．
9．（2023·吉林松原·统考一模）如图，在中，，为边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格： ；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
10．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离y（千米〉与时间x（（小时）之间的函数关系．点C在线段上，请根据图象解答下列问题：
(1)轿车的速度是___________千米/小时．
(2)求轿车出发后，轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式．
(3)在整个过程中，当轿车与货车之间的距离为30千米时，直接写出x的值．
11．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有甲、乙两个港口，一艘客船从甲港口出发，顺流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙两个港口之间顺流航行的速度是每小时32千米.客船距乙港口的距离y（千米）与客船行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示.
(1)甲、乙两个港口的距离是_________千米.
(2)求y与x之间的函数关系式.
(3)甲、乙两个港口之间有一个灯塔P，若客船这次航行时两次经过灯塔P的时间间隔为6小时，直接写出灯塔P与甲港口之间的距离.
1．（2024下·全国·七年级假期作业）声音在空气中传播的速度v（简称声速）与空气温度t的大致关系如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
温度t/℃ －20 －10 0 10 20 30
声速v/（m/s） 318 324 330 336 342 348
A．温度越高，声速越快
B．在这个变化过程中，自变量是声速v，因变量是温度t
C．当空气温度为20℃时，声速为342m/s
D．温度t每升高10℃，声速v提高6m/s
2．（2023上·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024下·全国·八年级假期作业）已知A，B两地相距，小黄从地到地，平均速度为.若用表示行走的时间（单位：h），表示余下的路程（单位：），则关于的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023下·河南鹤壁·七年级校联考期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
5．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）已知函数，那么的值是 ．
6．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）函数，自变量的取值范围是 ．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）函数中，自变量x的取值范围是 ．
8．（2024下·全国·八年级假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8
A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm
9．（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）李壮从家骑车匀速到离家的夏令营，骑车的速度为．出发后，家中的妈妈发现李壮水杯没带，立即驾车以的速度沿李壮相同的路线追赶李壮．追上后，又以同样速度原路返回家中．李壮离家到营地这段时间内，他与妈妈之间的距离与他骑行的时间之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，正方形的边长为4，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反应与的函数关系的是（ ）
B．
C． D．
11．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数图象．则下列说法中不正确的是（ ）
A．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇
B．小张到达学校时，小明距离学校400米
C．小明家和学校距离1000米
D．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分
12．（2023上·全国·九年级专题练习）如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积为 ．
13．（2023下·河南开封·七年级统考期末）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：
所挂物体的质量 …
弹簧的长度 …
则不挂物体时，弹笽的长度是 ．
14．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出与x，与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
15．（2024下·全国·八年级假期作业）父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格：
距离地面的高度 0 1 2 3 4 5
温度 20 14 8 2
根据表格回答下列问题：
(1)距离地面，的温度分别是多少？
(2)在这个变化过程中变量是什么？
(3)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么在一定范围内，随着的变化，是怎么变化的？
16．（2024上·北京西城·九年级北京市回民学校校考阶段练习）小朋在学习过程中遇到一个函数．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
… 0 1 2 …
… 0 …

(1)观察这个函数的解析式可知，的取值范围是________，函数值的取值范围是________；
(2)进一步研究，与的几组对应值如表，请补充完整
(3)结合上表，画出函数图像：
(4)结合函数图像，写出两条性质________．
17．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图1．在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间（单位：）变化的函数图象如图②所示，则的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
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第三章 函 数
第一节 函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 函数的概念及解析式 ☆☆ 吉林中考中，有关函数的部分，每年考查1~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握函数的解析式、自变量的取值范围及三种表示方法等考点。
考点2 函数及自变量的取值范围 ☆☆
考点3 函数图象及其应用 ☆☆
考点4 函数的三种表示方法 ☆☆☆
■考点一　函数的概念及解析式
1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
4. 函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
■考点二　函数及自变量的取值范围
1.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
2.确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；
2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；
3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；
5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
3.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
■考点三　函数图象及其应用
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
用坐标表示地理位置的方法
1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向；
2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出长度单位；
3）坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称.
■考点四　函数的三种表示方法
1.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
2.解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法.
3.列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
4.图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法.
优点 缺点
解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性
图像法 形象地把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
■易错提示
1. 有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同.
2. 坐标轴上的点不属于任何象限.
3. 坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.
4. 坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系.
5.原点既是x轴上的点，又是y 轴上的点.
6.点的横坐标或纵坐标为0，说明点在 y轴上或在x轴上.
7.已知点的坐标可以求出点到x 轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
8.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
9.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.
10.常量和变量的区分：在某个变化过程中，该量的值是否发生变化。
11.函数概念的解读：①有两个变量。
②一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
12.当已知函数解析式及自变量的值，欲求函数值时，实质就是求代数式的值.
13.当已知函数解析式，且给出函数值,，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程.
14.当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式.
■考点一　函数的概念及解析式
◇典例1： （2024下·全国·八年级假期作业）下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【解析】略
◆变式训练
1．（2023上·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）甲、乙两地相距，一货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列函数关系式；根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：C．
2．（2023上·山东淄博·七年级淄博市淄川实验中学校考阶段练习）若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：∵等腰三角形顶角x度，底角是y度，
∴，
∴．
故选A．
■考点二　函数及自变量的取值范围
◇典例2：（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）要使函数有意义，自变量x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式有意义的条件，求函数自变量的取值范围．根据分式有意义的条件：分母不为零，直接列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得，
故选：A．
◆变式训练
1．（2024下·全国·七年级假期作业）已知变量x，y之间的关系式为，当时，y的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】略
2．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）当时，函数的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数值求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
■考点三　函数图象及其应用
◇典例3：（2023上·浙江·八年级专题练习）下列图形中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键．
根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答．
【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故C符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·广西贺州·八年级统考期中）如图，下列各曲线中能够表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的定义；
根据函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x、y，并且对于每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，逐项判断即可．
【详解】解：A.对于自变量x的任何取值，y都有唯一的值与之相对应，则y是x的函数；
B.对于自变量x的取值，y有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
C.对于自变量x的取值，y有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
D.对于自变量x的取值，y有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：A．
2．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末）在全民健身赛跑中，甲、乙两名选手的行程随时间变化的图象如图所示，给出下列四个结论：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在第1小时，两人都跑了10千米；③乙的行程y与时间x的关系式为；④甲在第小时跑了11千米．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】此题考查了函数图象的意义．解题的关键是根据题意理解各段函数图象的实际意义，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程．根据函数图象和图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确；
第1小时两人相遇，都跑了10千米，故②正确；
由图象知，乙1小时跑了10千米，所以乙的行程y与时间t的关系式为，故③正确；
∵甲在的速度为，
∴甲在第小时，其行程为千米，故④错误；
综上，①②③正确；
故选：B．
■考点四　函数的三种表示方法
◇典例4：（2023上·河南郑州·八年级校考期中）某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系．可选择的比较好的方法是（ ）
A．列表法 B．图象法 C．关系式法 D．以上三种方法均可
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的表示方法，图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．从而可得答案．
【详解】解：某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24h的气温与时间的关系，可选择的比较好的方法是图象法，有利于判断体温的变化情况，
故选B
◆变式训练
1．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②是变量，它的值与无关；③用关系式表示的不能用图象表示；④与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中说法正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义可知，为自变量，为函数，也叫因变量；取全体实数，随的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法．
【详解】解：①是自变量，是因变量，原题中说法正确；②是变量，的值随值的变化而变化，故原题中说法错误；③用关系式表示的可以用图象表示，故原题中说法错误；④与的关系还可以用列表法和图象法表示，原题中说法正确，
综上所述①④正确，
故选：．
【点睛】本题考查了函数的定义，函数的三种表示方法，熟知在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，是解答本题的关键．
12．（2023下·四川达州·七年级统考期末）李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8L
C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油
【答案】C
【分析】根据表格中信息逐一判断即可．
【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意；
B、时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意；
C、有表格知：该车每行驶耗油，则，故C错误，符合题意；
D、当 时，，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键．
1.（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪
【答案】C
【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解．
【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G，故选：C．
【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．
2.（22-23八年级下吉林长春期末）下列图形中,可以表示函数的是( )
[知识点]函数的概念
[答案] C
[分析]根据函数的概念,对于自变量:的每一个值, 因变量v都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答.
[详解]解:由函数的定义，可知C选项中,对于自变量x:的每一个值，因变量v都有唯一的值与它对应，符合函数定义,
故选: C.
[点睛]此题考查了函数的概念，熟记函数的定义是解题的关键.
3.（2023八年级下吉林长春期末）函数，y=的自变量、的取值范围是( )
A.x≠3 B .x>3 C.x<3 D.x=3
[知识点]分式有意义的条件，求自变量的取值范围
[答案] A
[分析]根据分式有意义的条件，即可求解.
[详解]解:根据题意得: 3-x≠0,
解得: x≠3.
故选: A
[点睛]本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键.
4.（21-22八年级下吉林长春期末）小苏和小林在如图①所示的跑道上进行4 x 50米折返跑,在整个过程中跑步者距起跑线的距离y (单位:m)与跑步时间t (单位:s)的对应关系如图②所示,则下列叙述正确的是( )
A .两人从起跑线同时出发,同时到达终点
B .小苏跑完全程的平均速度大于小林跑完全程的平均速度
C .小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D .在折返跑过程中(不包括起跑和终点) , 小林与小苏相遇了3次
[知识点]从函数的图象获取信息(
[答案] D
[分析]依据函数图象中跑步者距起跑线的距离! (单位: m)与跑步时间t (单位: s)的对应关系,即可得到正确结论.
[详解]解:两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A选项不符合题意;
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点,小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B选项不符合题意;
由函数图象可知:小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C选项不符合题意;
在折返跑过程中(不包括起跑和终点)，小林与小苏相遇3次，故D选项符合题意;
故选: D.
[点睛]本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件,结合实际意义得到正确的结论.
5.(21-22八年级下吉林长春期末)在函数y= 2x2+1中，当自变量x=3时,因变量的值是 .
[知识点]求自变量的值或函数值
[答案] 19
[分析]把x= 3代入函数关系式进行求解即可.
[详解]解:当x=时，y-2x2+1=2x32+1=19,
故答案为: 19.
[点睛]本题考查了求函数值，解决本题的关键是代入函数关系式求值.
6.（21-22八年级下吉林四平期末）函数y=的图像如图所示,则这个函数的最小值是 .
[知识点]从函数的图象获取信息
[答案] 1
[分析]根据函数图像即可求得答案.
[详解]解:函数的最低点(2, 1),
函数的最小值为1.
故答案为: 1.
[点睛]本题主要考查函数的图像，从图像中找到最低点是解题的关键.
7．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在中，，，．正方形的边长为，边和边都在直线l上，点E和点A重合．正方形以速度沿直线l向右运动，当点G在边上时，停止运动，设正方形的运动时间为，正方形与的重叠部分的面积为S．

(1)当时，______；
(2)当点G在边上时，_______；
(3)求S与t之间的函数解析式．
【答案】(1)2
(2)3
(3)
【分析】（1）先求出，如图1所示，当时，则，，证明得到，再根据重叠部分面积即为的面积进行求解即可；
（2）当点G在边上时，同理可得，则，由此即可求出时间t的值；
（3）分当时，如图1所示，当时，如图2所示，当时，如图3所示，三种情况根据图形之间面积的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
如图1所示，当时，则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；

（2）解：当点G在边上时，同理可得，
∴，
∴，
故答案为：3；

（3）解：当时，如图1所示，
同理可得，
∴；

当时，如图2所示，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴；

当时，如图3所示，
同理可得，，
∴．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，列函数关系式等等，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
8．（2020·吉林长春·统考模拟预测）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，动点P从点B出发，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向运动，到达点A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒2cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P、Q同时出发，运动时间为t秒．
(1)直接写出BQ的长(用含t的代数式表示)
(2)求△BPQ的面积S(用含t的代数式表示)
(3)求当四边形APCQ为平行四边形t的值
(4)若点E为BC中点，直接写出当△BEP为等腰三角形时t的值．
【答案】(1) BQ=2t(0≤t≤9) ；(2) S=2t2(0＜t≤4)， S=8t(4＜t≤9)； (3) t=6；(4) t=5或或或8
【分析】(1)先计算得出点P和点Q走完全程所需时间，即可直接写出BQ的长；
(2)分点P在AB上时和点P在AD上时，两种情况讨论，由三角形面积公式可求S与t的函数关系式；
(3)当点P在AD上，且AP=CQ时，四边形APCQ是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．
(4)分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解，
【详解】(1) 点P走完全程所需时间：(秒)，
点Q走完全程所需时间：(秒)，
∴点P和点Q运动时间最多为秒，
由题意，得：BQ()；
(2)当点P在AB上时，S=BQ×BP=×2t×2t=2t2(0＜t≤4)，
当点P在AD上时，S=BQ×8=8t(4＜t≤9)；
(3)当点P在AD上，且AP=CQ时，四边形APCQ是平行四边形，
依题意得：4(t-4)=20-2t，
解得：t=6．
∴t=6时，四边形APCQ是平行四边形；
(4)∵点E为BC中点，
∴BE=EC=10，
如图，若BE=PE=10，过点E作EH⊥AD于H，

∵∠ABC=∠BAD=90°，EH⊥AD，
∴四边形ABEH是矩形，
∴HE=AB=8，AH=BE=10=HD，
∴PH==6，
当点P在点H左边时，
∴AP=4，
∴5(秒)，
当点P在点H右边时，
∴AP=16
∴8(秒)，
如图，若BP=PE，过点P作PM⊥BC于M

∴BM=ME=5，
∵∠ABC=∠BAD=90°，PM⊥BC，
∴四边形ABMP是矩形，
∴AP=BM=5，
∴(秒)，
若BP=BE=10，

∴AP==6
∴ (秒)，
综上所述：当t=5或或或8时，△BEP为等腰三角形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积，函数的应用，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键，属于中考常考题型．
9．（2023·吉林松原·统考一模）如图，在中，，为边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格： ；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ．
【答案】(1)3.2
(2)见解析
(3)y随x的增大而减小
【分析】（1）先求出边上的高，进而求出，判断出点M与重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图象；
（3）根据图象直接得出结论．
【详解】（1）解：如图，
在中，，根据勾股定理得，，
过点C作于，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∴当时，点M与点重合，
∴，
∵，
∴点M，N重合，
∴，
故答案为：3.2；
（2）如图所示，
（3）由图象知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
【点睛】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键．
10．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离y（千米〉与时间x（（小时）之间的函数关系．点C在线段上，请根据图象解答下列问题：
(1)轿车的速度是___________千米/小时．
(2)求轿车出发后，轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式．
(3)在整个过程中，当轿车与货车之间的距离为30千米时，直接写出x的值．
【答案】(1)100
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据函数图象结合速度路程时间进行求解即可；
（2）根据路程速度时间进行求解即可；
（3）先求出货车的速度，再分当轿车未出发前，轿车与货车之间的距为30千米时，当轿车出发后且未追上货车前，轿车与货车之间的距为30千米时，当轿车追上货车后，且轿车未到终点前，轿车与货车之间的距为30千米时，当轿车到达终点后，轿车与货车之间的距离为30千米时，列出对应的方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知轿车在小时行驶了千米，
∴轿车的速度为千米/小时，
故答案为：100；
（2）解：由题意得，；
（3）解：由函数图象可知货车在5小时行驶为300千米，
∴货车的速度为千米/小时，
∴；
当轿车未出发前，轿车与货车之间的距离为30千米时，则，
解得；
当轿车出发后且未追上货车前，轿车与货车之间的距离为30千米时，则，
解得；
当轿车追上货车后，且轿车未到终点前，轿车与货车之间的距离为30千米时，则，
解得；
当轿车到达终点后，轿车与货车之间的距离为30千米时，则，
解得；
综上所述，当轿车与货车之间的距离为30千米时，x的值为或或或．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，一元一次方程的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
11．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有甲、乙两个港口，一艘客船从甲港口出发，顺流航行到乙港口，立刻逆流航行返回甲港口.已知客船在甲、乙两个港口之间顺流航行的速度是每小时32千米.客船距乙港口的距离y（千米）与客船行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示.
(1)甲、乙两个港口的距离是_________千米.
(2)求y与x之间的函数关系式.
(3)甲、乙两个港口之间有一个灯塔P，若客船这次航行时两次经过灯塔P的时间间隔为6小时，直接写出灯塔P与甲港口之间的距离.
【答案】(1)96
(2)y=
(3)千米
【分析】（1）由路程等于速度乘以时间求解即可；
（2）分两种情况：当0≤x≤3时，当3（3）设灯塔P与甲港口之间的距离为S千米，根据两次经过灯塔P的时间间隔为6小时，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由图象知：从甲港口到甲港口行驶的时间为3小时，
∴甲乙两个港口的距离为：32×3=96（千米），
故答案为：96；
（2）解：当0≤x≤3时，
y=96-3x，
当3把(3,0)，(7,96)代入，得
，解得：，
∴y=24x-72，
综上，y与x之间的函数关系式为：y=.
（3）解：甲、乙两个港口之间逆流航行的速度是:96÷(7-3)=24（千米/时），
设灯塔P与甲港口之间的距离为S千米，根据题意，得
,解得：S=，
∴灯塔P与甲港口之间的距离为千米．
【点睛】本题考查分段函数图象，待定系数法求函数解析式，一元一次方程的应用，从函数图象获取到有用信息是解题的关键．
1．（2024下·全国·七年级假期作业）声音在空气中传播的速度v（简称声速）与空气温度t的大致关系如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
温度t/℃ －20 －10 0 10 20 30
声速v/（m/s） 318 324 330 336 342 348
A．温度越高，声速越快
B．在这个变化过程中，自变量是声速v，因变量是温度t
C．当空气温度为20℃时，声速为342m/s
D．温度t每升高10℃，声速v提高6m/s
【答案】B
【解析】略
2．（2023上·浙江杭州·八年级杭州绿城育华学校校考阶段练习）某商场为了增加销售额，推出了“元旦期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡元旦期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列出函数关系式．根据活动方案，应付款等于超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可．找准等量关系，正确地列出表达式，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：；
故选C．
3．（2024下·全国·八年级假期作业）已知A，B两地相距，小黄从地到地，平均速度为.若用表示行走的时间（单位：h），表示余下的路程（单位：），则关于的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
4．（2023下·河南鹤壁·七年级校联考期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
【答案】A
【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可．
【详解】解：当时，，
当时，，即，
解得：，
故选：A．
5．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）已知函数，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查求函数值，直接代入求出值即可．
【详解】解：，
故答案为：．
6．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）函数，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件．根据分式有意义的条件分母不为零，分析原式，即可得出答案．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故答案为：．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件．根据分式有意义的条件列出不等式并解答即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
8．（2024下·全国·八年级假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（　　）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8
A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm
【答案】C
【解析】略
9．（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）李壮从家骑车匀速到离家的夏令营，骑车的速度为．出发后，家中的妈妈发现李壮水杯没带，立即驾车以的速度沿李壮相同的路线追赶李壮．追上后，又以同样速度原路返回家中．李壮离家到营地这段时间内，他与妈妈之间的距离与他骑行的时间之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的图象，解题的关键是理解函数图象的实际意义，本题属于基础题型．本图象是路程与时间的关系，只要根据描述即可求出答案．
【详解】解：李壮从家骑车匀速到离家的夏令营，骑车的速度为．出发前，图象是上升，
家中的妈妈发现李壮水杯没带，立即驾车以的速度沿李壮相同的路线追赶李壮．经过0.5小时追上，
追上后，妈妈又以同样速度原路返回，0.5小时后回到家中．此时李壮离家10km，再过1小时，李壮到达夏令营，
故选：C．
10．（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，正方形的边长为4，为正方形边上一动点，运动路线是，设点经过的路程为，以点为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反应与的函数关系的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图像，读懂题意，数形结合，根据动点运动过程，得到与的函数关系，再结合选项中的图像即可得到答案，数形结合，准确得到各段函数关系式是解决问题的关键．
【详解】解：正方形的边长为4，为正方形边上一动点，设点经过的路程为，则：
当为正方形边上，则；
当为正方形边上，则；
当为正方形边上，则；
当为正方形边上，则；
图像能大致反映与的函数关系的是
，
故选：B．
11．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数图象．则下列说法中不正确的是（ ）
A．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇
B．小张到达学校时，小明距离学校400米
C．小明家和学校距离1000米
D．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得．
【详解】解：A、小张乘公共汽车的速度为：（米/分），
（分），
故小张乘坐公共汽车后7点48分36秒与小明相遇，故此选项符合题意；
B、小张到达学校时，小明距离学校（米），故此选项不符合题意．
C、由图象可知，小明家和学校距离1000米，故此选项不符合题意；
D、小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为：（米/分），故此选项不符合题意；
故选：A．
12．（2023上·全国·九年级专题练习）如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积为 ．
【答案】48
【分析】本题主要考查时间与路程的图像识别，涉及等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，当点P运动到点B和点D时距离均为10，则有，再结合等腰三角形性质可得点M为的中点，利用勾股定理求得高即可求得面积．
【详解】解：根据图2中的曲线可知：当点P从的顶点A处，运动到点B处和运动到点C时的y值，则，
∵点P运动到中点时，
∴，
根据图2点M为曲线部分的最低点，此时，
则，
那么．
则．
故答案为：48．
13．（2023下·河南开封·七年级统考期末）在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表：
所挂物体的质量 …
弹簧的长度 …
则不挂物体时，弹笽的长度是 ．
【答案】
【分析】根据表格数据可直接得出答案．
【详解】解：由表格可知，当所挂物体的质量为，即不挂物体时，
弹簧的长度是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了函数的表示方法—列表法，学会从表格数据中观察出函数的关系是解决本题的关键．
14．（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出与x，与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
【答案】(1)，
(2)他本月的通话时间为分钟
(3)通话时间为280分钟时，选择套餐更划算
【分析】本题主要考查了列函数关系和求函数值和自变量的值，根据题意正确列出关系式是解题关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意可知，，求出的值即可；
（3）分别求出时，和的值，比较大小即可．
【详解】（1）解：A套餐：月租费15元，通话费每分钟元，
，
B套餐：月租费0元，通话费每分钟元，
；
（2）解：该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，
，
解得：，
他本月的通话时间为分钟；
（3）解：当时，，，
，
∴通话时间为280分钟时，选择套餐更划算．
15．（2024下·全国·八年级假期作业）父亲告诉小明“在一定范围内，距离地面越高，温度越低”，并给小明出示了下面的表格：
距离地面的高度 0 1 2 3 4 5
温度 20 14 8 2
根据表格回答下列问题：
(1)距离地面，的温度分别是多少？
(2)在这个变化过程中变量是什么？
(3)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，那么在一定范围内，随着的变化，是怎么变化的？
【答案】(1)距离地面的温度是，距离地面的温度是
(2)在这个变化过程中，变量是距离地面的高度与温度
(3)随着的增大，在逐渐减小
【解析】略
16．（2024上·北京西城·九年级北京市回民学校校考阶段练习）小朋在学习过程中遇到一个函数．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
… 0 1 2 …
… 0 …

(1)观察这个函数的解析式可知，的取值范围是________，函数值的取值范围是________；
(2)进一步研究，与的几组对应值如表，请补充完整
(3)结合上表，画出函数图像：
(4)结合函数图像，写出两条性质________．
【答案】(1)为任意实数，为任意实数
(2)见详解
(3)见详解
(4)函数关于原点成中心对称；随的增大而增大 (答案不唯一)．
【分析】本题主要考查通过描点画出函数图像，从图像得出相关性质．
（1）由函数表达式即可求解．
（2）将表格的值代入函数表达式，分别求解即可．
（3）结合上表，通过描点然后画出函数图像即可．
（4）观察函数图像可求解．
【详解】（1）解：从函数表达式看，的取值范围为∶ 为任意实数，的取值范围为∶ 为任意实数．
（2）∵函数为：
∴当，，
当，，
当，，
当，，
当，，
当，，
补充表格如下：
… 0 1 2 …
… 0 4 …
（3）结合上表，画出函数图像如下∶

（4）从函数图像看，函数关于原点成中心对称；随的增大而增大 (答案不唯一) ．
17．（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图1．在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键．
通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，从而得出，当P为的中点时，由股定理求出长度．
【详解】解:因为P点是从A点出发的，A为初始点，
观察图象时，则，P从A向B移动的过程中，是不断增加的
而P从B向D移动的过程中，是不断减少的，
因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时,
即，，
由勾股定理得：
解得：
当点P为BC中点时，，
故选：D．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图①，动点从矩形的顶点出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点，的面积（单位：）随运动时间（单位：）变化的函数图象如图②所示，则的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由图可知，，当点到达点时,的面积为6cm，可得出等式求出的值，即可求得答案．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题的关键.
【详解】解：由题图②可知,
,
当点到达点时,的面积为6cm，
,
即,
解得,
即的长为3cm
故选：B．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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