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第三章 函 数
第五节 二次函数的应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 抛物线与图形问题 ☆☆ 吉林中考中，有关二次函数的应用部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握抛物线与图形问题、二次函数的实际应用等考点。
考点2 二次函数的实际应用 ☆☆
■考点一　抛物线与图形问题
1.面积问题
（1）三角形面积：抛物线与坐标轴围成的三角形面积：求出抛物线与x轴、y轴交点坐标，表示出三角形的底和高求面积；
（2）四边形的面积：求四个点围成的四边形的面积：根据点的坐标得到线段的长度，通过分割法，把四边形分成几个三角形的面积之和，分别求出各个面积相加即可.
2.几何最值问题
（1）线段之和最短：通过轴对称，找出对称点连结，求出该线段的长度即是最小值，主要利用两点之间线段最短的性质.
（2）周长最短问题：通过轴对称，找出对称点连结，三角形周长最短问题就转化成线段之和最短问题，求出该线段的长度，再得到周长最小值.
（3）面积的最大值问题:根据面积的分割，利用水平宽度×铅直高度，求出面积的表达式是二次函数的形式，再利用配方法求出顶点坐标，顶点的纵坐标就是面积的最大值.
■考点二　二次函数的实际应用
1.利用二次函数的解题思想：利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
　2.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的平面直角坐标系；
　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
■易错提示
1.根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
2.求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．
3.求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．
■考点一　抛物线与图形问题
◇典例1： （2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设，“日”字型框架的面积为，根据题意即可确定与的函数关系，据此即可求解．
【详解】解：设，“日”字型框架的面积为，
则，
∵，
∴当，时，“日”字型框架面积最大，最大值为
故选：A
◆变式训练
1．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
本题需先设正方形的边长为，然后得出与是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∴与的函数图象是A．
故选：A．
2．（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．
【详解】解：①当在上时，作，如图所示：
由题知，，
，
，
，则，解得，
故，
当时，解得，（取不到），即在对称轴右边有部分图象不是二次函数图象．
②当在上时，即时，，
③当在上不与重合时，作，如图所示：
，，
，
，
则．
故选：B．
■考点二　二次函数的实际应用
◇典例2：（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键．
【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），
每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件，
每件电子产品售价为（元）时，销售量为件，
与之间的函数解析式为，
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·山西大同·九年级校联考期末）如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度y（m）与运动时间x（min）的运动路线图的一部分，它可以近似地看作抛物线的一部分，其中表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可．
【详解】根据题意，得，
把，分别代入解析式，得，
解得，
故抛物线解析式为，
故
，
故顶点坐标为，
故最大高度为，
故选B．
2．（2023上·广西贺州·九年级统考期中）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题是增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，然后根据已知条件可得出方程．关键是求平均变化率的方法：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
【详解】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，
依题意得第三个月投放垃圾桶辆，
则．
故选：．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面的米数（ ）．

A.18 B. 19 C. 20 D.21
【答案】B
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
、、，
设抛物线解析式为：，
将代入解析式，
解得：，
，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
2．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）小致创办了一个微店商铺，营销一款成本是20元/盏的小型护眼台灯．在“双十一”前8天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏，护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式，且为整数）．这8天中最大日销售利润是（ ）．
A. 448元 B. 450元 C. 458元 D.460元
【答案】A
【分析】设日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为，把代入即可求出；设日销售利润是w元，根据销售利润=售价-成本列出函数解析式， 再根据函数的性质求最值．
【详解】解：设日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为，
把代入得：，解得，
即日销售量（盏）与时间（天）之间的函数关系式为；
设日销售利润是w元，
由题意得：，
∵，且为整数，
∴当时，w取得最大值，最大值为448，
∴在这8天中，最大日销售利润是448元，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，即用所学的数学知识来解决实际问题．
3．（2021·吉林长春·统考一模）某抛物线形隧道的最大高度为16米，跨度为40米，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它对应的表达式为（ ）．

B. y=-(x-20)2+16
C. y=(x-20)2+16 D. y=(x-20)2-16
【答案】A
【分析】由题意知，抛物线的顶点坐标为，过，设抛物线对应的表达式为，将代入得，，解得，，进而可得结果．
【详解】解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，过，
设抛物线对应的表达式为，
将代入得，，
解得，，
∴，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
4．（2023·吉林长春·统考二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点E到BC的距离为．在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点G、H在边上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若，则矩形窗户的宽的长为 m．

【答案】/
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，设，求出，即可得到矩形窗户的宽的长．
【详解】解：由题意可知，、、，
设抛物线解析式为，
，解得：
抛物线解析式为，
点G、H在边上，且，
、，
四边形是矩形，
设，
点在抛物线上，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，二次函数的性质等知识，求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键．
5．（2023·吉林长春·统考一模）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分，且石块在离发射点水平距离米处达到最大高度米．现将该投石机放置在水平地面上的点处，如图②，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，投向远处的防御墙，垂直于水平地面且与之间的距离超过米．已知高米，高米，若石块正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为米，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】根据题意得出石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，设石块运动轨迹所在抛物线的解析式为，待定系数法求解析式，进而将分别代入解析式，求得的值，即可求解．
【详解】解：依题意，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，
设石块运动轨迹所在抛物线的解析式为，
将代入得，
∴，
令，即，
解得：（，舍去），，
令，即，
解得：（舍去） ， ，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·吉林长春·统考二模）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米．

【答案】
【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标解题即可．
【详解】解：，
∴抛物线的顶点坐标为，
即水喷出的最大高度是米，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的最值，将二次函数由一般式变形为顶点式，是解题的关键．
7．（2022·吉林长春·统考一模）圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高米，与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 米．
【答案】6
【分析】设水柱所在抛物线的函数表达式为 (x≥0)，根据题意得到A（0，），D（11，0），对称轴x=5，用待定系数法求出函数表达式，把x＝5代入，即可得到喷出水柱的最大高度．
【详解】解：设水柱所在抛物线的函数表达式为 (x≥0)，
∵雕塑OA高米，
∴点A的坐标是（0，），
∵落水点C、D之间的距离为22米，
∴点D的坐标为（11，0），
∵与OA水平距离5米处为水柱最高点，
∴抛物线的对称轴为x=5，
得到
解得
∴水柱所在抛物线的函数表达式为 (x≥0)
当x=5时，，
∴ 喷出水柱的最大高度为6米，
故答案为：6
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数表达式是基础，求出函数的最大值是关键．
8．（2021·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据抛物线运动规律找出抛物线与线段AB有交点的两个临界值．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，c﹣1），对称轴为直线x＝1，
如图，当c﹣1＝4时，c＝5，抛物线顶点落在线段AB上，抛物线与线段AB刚好有一个交点，满足题意，
c减小，图象向下移动，当抛物线经过点B时，抛物线和线段又只有一个交点，如图，

把（5，4）代入y＝x2﹣2x+c得：
4＝25﹣10+c，
解得c＝﹣11，
∴﹣11≤c≤5满足题意．
故答案为：﹣11≤c≤5．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是通过数形结合方法求解．
9．（2021·吉林长春·统考一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为 米．
【答案】3.4
【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为x＝2.5，可求得b的值，点B的横坐标为4，代入后可得出点B的纵坐标，继而得出人梯高BC的长度．
【详解】解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，
∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，
∴抛物线为y＝，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，
∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案为：3.4．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题关键是根据题意求出二次函数解析式，属于基础题．
10．（2021·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A．
（1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ．
（2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
（3）当时，若函数的最小值为3，求m的值．
（4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【答案】(1)，抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；(2)，；(3) m的值为或；(4) ，或
【分析】(1)将时代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标；
(2)顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解；
(3)分m≥0和m＜0时讨论：当m≥0且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得；
(4)先算出P、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两边交点，求出B、C坐标，由“B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等”即可求解．
【详解】解：(1)由题意可知，二次函数顶点坐标，
当时，顶点坐标为，
此时抛物线解析式为：，令，
∴，
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；
(2)顶点坐标，
∴，
又已知，
∴，且A点在第一象限，
∴，此时抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为，
由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y随x的增大而减小时的取值范围为：，
故答案为：，；
(3)函数的对称轴为，且开口向上，
当，且时，时，函数有最小值为，
由已知：函数的最小值为3，
∴，解得，
当，且时，时，函数有最小值为，
由已知：函数的最小值为3，
∴，解得或(正值舍去)，
故m的值为或；
(4)由题意可知，、、、，
①如图所示，当m>0时，当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上、点C在MN边上，
∴令y=2，则，
∴或（舍去），
∴，C（m，2m），
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴，
解得：，
如图所示，若点B在PM边上、点C在NQ边上，
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴，
解得：，
∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，
∴不符合题意，舍去，
∴，
如图所示，若点B在PQ边上、点C在NQ边上，
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴4=2-2m，
解得：m=-1<0，不符合题意，舍去，
②如图所示，当m<0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上，
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴，
解得：，
或，
解得：，
综上，m的值为或或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，涉及到分类讨论思想，情况不定时需要分类讨论，难度较大，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
11．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动．过点作交直线于点，以为边向左侧作矩形，使．设矩形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为．

(1)当点在边上时，求的长（用含的代数式表示）；
(2)当点在边上时，求的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
(4)连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或．
【分析】（1）由题意可知：，再根据特殊角的锐角三角函数即可求出，结合题意即得出；
（2）画出图形，由矩形的性质得出，．再根据特殊角的锐角三角函数可求出，由，列出关于的等式，解出即可；
（3）分类讨论：①当时，此时，矩形与重叠部分图形的面积矩形的面积，利用矩形的面积公式解答即可；②当时，此时，矩形与重叠部分图形的面积五边形的面积，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，利用解答即可；③当 时，此时，矩形与重叠部分图形的面积为的面积，利用直角三角形的边角关系定理求得的长度，利用三角形的面积公式解答即可；
（4）分类讨论：①当点在点左侧时，根据题意可判断，即易证，得出，最后列出关于的等式，解出即可；②当点和点重合时，即得出，列出关于的等式，解出即可；③当点在点右侧时，根据题意可判断，从而可求出，最后根据，列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
，，
，
，
；
（2）解：如图，

四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：；
（3）解：①当时，此时，矩形与重叠部分图形的面积矩形的面积，
；
②当 时，如图，

设矩形与交于点，，此时，矩形与重叠部分图形的面积五边形的面积，
由题意：，，，，
，，
，
∵，
，
，
．
，
，
，
；
③当 时，如图，设交于点，此时，矩形与重叠部分图形的面积为的面积，

由题意：，，，
，，
，
．
综上，与之间的函数关系式为：．
（4）解：①如图，当点在点左侧时，如图，

沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
，
又，，
，
，
，
，
解得：；
②如图，当点和点重合时，此时，点与点重合，

，
，
，
解得：；
③如图，当点在点右侧时，此时，点在的延长线上，

沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，
，
，
，
，
，
，
解得：．
综上可知，的值为或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，分类讨论的思想方法，此题是动点问题，利用含的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
1．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图形，设解析式为，根据，，构建方程组求解即得．
本题主要考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为适当的形式，是解题的关键．
【详解】∵抛物线关于y轴对称，
∴设解析式为，
由题知，，
得，
解得，
∴．
故选：A．
2．（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
∴，
当时，，
∴高度为；
故选D．
3．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）在抛掷实心球时，实心球运动的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，下列结论正确的是（）
A．当时，实心球离地面的高度最小
B．实心球在空中飞行的最大高度是
C．投掷实心球的距离是
D．如果实心球在空中飞行速度是，则实心球从飞出到落地的时间为
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据二次函数的性质以及题意，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴当时，取得最大值，此时，故选项A、B错误，
当时，，
解得(舍去)，故选项C正确，
当时，，如果实心球在空中飞行速度是，则实心球从飞出到落地的时间为，故选项D错误，
故选：C．
6．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，小敏从奥体中心站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间（单位：s）是关于x的一次函数，若小敏骑单车的时间（单位：s）也受x的影响，其关系可以用来描述，则小敏从文化宫回到家里所需的时间最短为（ ）
A．34分钟 B．39分钟 C．34.5分钟 D．39.5分钟
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数的最值问题，设小敏从文化宫回到家里所需的时间为，则，根据题意，确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【详解】解：设小敏从文化宫回到家里所需的时间为，
则，
当时，，
故选：B．
5．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）一飞机着陆后滑行的距离（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，那么该飞机着陆后滑行的距离为450m时，滑行的时间为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据飞机滑行的路程结合函数关系式列方程并解方程，进而得出答案．
【详解】解：根据题意得，，
解得，，
∵（秒）时，飞机滑行停止，
∴秒，
故选：A．
6．（2024上·天津南开·九年级统考期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论：
①当时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为时，运动时间为或；
③小球运动中的最大高度为；
④小球从抛出到落地需要；
其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质；
根据二次函数的图像和性质解答即可；
【详解】
当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①③错误；
当小球的运动高度为时，有，解得或，故②正确；
小球从抛出到落地需要，故④正确．
故选：B．
7．（2023上·全国·九年级期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，利用以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：的两根与，即时所用的时间，
∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故A错误；
，
∴对称轴直线为：，最大值为20，故D错误；
∴时，，此时小球继续下降，故B错误；
∵当时，即，解得，，
∴，
∴小球从飞出到落地要用，故C正确．
故选：C．
8．（2023上·辽宁大连·九年级校考阶段练习）如图1，在中，，，，动点从点开始沿边AB向点匀速移动（点的速度小于），同时动点从点开始沿边BC向点匀速移动，点到达时，点恰好到达C．的面积关于出发时间的函数图象如图2所示，则点的运动速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，可以根据函数关系式判断随着自变量的变化相应的函数图象如何变化；
根据题意可以分别得到和的长，从而可表示出三角形的面积，结合函数图象，从而可以确定点的运动速度．
【详解】解：∵．
且点P到达点B时，点Q到达点C．
设点P的速度为，则点Q的速度，
∴，
∵
，
因为函数图象过点，
∴，
，
，
解得：，
点P的速度小于，
∴点P的运动速度为，
故选：C．
9．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，点、、、分别是正方形边、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．本题需先设正方形的边长为，然后得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的函数图象是A．
故选：A．
10．（2023上·山东日照·九年级校考阶段练习）如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数的解析式与图像，利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图像即可解答．
【详解】∵边长为2的菱形，，过点A作直线，
当时，如图所示，

则 ，，，，
此时，
此时函数图像为开口向上的一段抛物线；
②∵边长为2的菱形，，过点A作直线，
当时，如图所示，

则 ，，，，
此时，
此时，函数图像是线段的一部分；
③当时，如图， ，

∵边长为2的菱形，，过点A作直线，
则， ，，
则 ，，，，
此时，
此时函数图像为开口向下的一段抛物线；
故选：A．
11．（2023上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ）．
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解答本题的关键．设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案．
【详解】设正方形的边长为，则，，，
，
当时，有最大值，
即 ，
解得，
，
当点Q在上时，
如图，，
当时，，
故选：B．
12．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．
【答案】48
【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽为x米，长为米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可．
【详解】解：设篱笆的宽为x米，长为米，
，
∵墙长不限，
当时，，S值最大，此时．
故答案为：48．
13．（2017上·九年级课时练习）如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
【答案】2
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：根据题意得，
三角形面积为：
∴当时，的面积最大为，
故答案为：2．
14．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度米，一位同学站在门内，在离门脚B点1米远的D处，垂直地面立起一根米长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．则该大门的高h为 米．

【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，建立适当的直角坐标系，根据题目所给数据求出点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，即可得出最后结果．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，

设抛物线的解析式为，
由题意可知B，C两点的坐标分别为，，
把B，C两点的坐标分别代入抛物线的解析式得
，
解得：，
抛物线的解析式为，
则该大门的高h为米，
故答案为：．
15．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价 元时，该服装店的销售利润最大．
【答案】15
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设降价元，总利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设降价元，总利润为元，由题意，得：
，
整理，得：，
∴当时，的值最大；
故答案为：15．
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是：，则铅球推出的距离 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的应用，令，得到方程，解方程即可求解，掌握二次函数与轴交点坐标的含义解题的关键．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，
故答案为：．
17．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设矩形的面积为，找到与的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴,
设矩形的面积为，则，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴当，即，点是的中点时，矩形的面积最大，最大面积是
18．（2022上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)现有一辆货运卡车，高为，宽为，它能从正中间通过该隧道吗？
【答案】(1)
(2)这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道．
【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的顶点式，进而可求抛物线的解析式；
（2）根据题意，把代入解析式，得到，由于，于是得到货运卡车不能通过．
【详解】（1）解：根据题意可得抛物线顶点E的坐标为，设抛物线的解析式为．由已知可得，点B的坐标为，且在此抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：当时，．
∵，
∴这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道．
19．（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元．
(1)求与的关系式；
(2)当时，求今年的总产值为多少万元？
【答案】(1)
(2)当时，今年的总产值为万元．
【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式；
（2）代入，求出y值即可得出结论．
【详解】（1）依题意得：；
（2）当时，，
答：当时，今年的总产值为万元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有．
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第三章 函 数
第五节 二次函数的应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 抛物线与图形问题 ☆☆ 吉林中考中，有关二次函数的应用部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握抛物线与图形问题、二次函数的实际应用等考点。
考点2 二次函数的实际应用 ☆☆
■考点一　抛物线与图形问题
1.面积问题
（1）三角形面积：抛物线与坐标轴围成的三角形面积：求出抛物线与x轴、y轴 ，表示出三角形的 求面积；
（2）四边形的面积：求四个点围成的四边形的面积：根据点的坐标得到线段的长度，通过 ，把四边形分成 ，分别求出各个面积 即可.
2.几何最值问题
（1）线段之和最短：通过 ，找出 连结，求出该线段的长度即是 ，主要利用 的性质.
（2）周长最短问题：通过 ，找出 连结，三角形周长最短问题就转化成 问题，求出该线段的长度，再得到周长 .
（3）面积的最大值问题:根据 ，利用 ，求出面积的表达式是二次函数的形式，再利用配方法求出 ，顶点的纵坐标就是 .
■考点二　二次函数的实际应用
1.利用二次函数的解题思想：利用二次函数解决实际问题，要建立 ，即把实际问题转化为 问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立 ，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有 .
　2.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
　　(1)建立适当的 ；
　　(2)把实际问题中的一些 联系起来；
　　(3)用 求出抛物线的关系式；
　　(4)利用二次函数的 去分析问题、解决问题.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。
利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
【注意】自变量的取决范围。
利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
■易错提示
1.根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
2.求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．
3.求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．
■考点一　抛物线与图形问题
◇典例1： （2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·山西临汾·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
■考点二　二次函数的实际应用
◇典例2：（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·山西大同·九年级校联考期末）如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度y（m）与运动时间x（min）的运动路线图的一部分，它可以近似地看作抛物线的一部分，其中表示跳台的高度，，为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q时，点Q的坐标为，则该运动员在空中到达的最大高度的长为（ ）

A． B． C． D．
2．（2023上·广西贺州·九年级统考期中）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A． B．
C． D．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面的米数（ ）．

A.18 B. 19 C. 20 D.21
2．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）小致创办了一个微店商铺，营销一款成本是20元/盏的小型护眼台灯．在“双十一”前8天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量（盏）与时间（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏，护眼台灯的销售价格（元/盏）与时间（天）之间符合函数关系式，且为整数）．这8天中最大日销售利润是（ ）．
A. 448元 B. 450元 C. 458元 D.460元
3．（2021·吉林长春·统考一模）某抛物线形隧道的最大高度为16米，跨度为40米，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它对应的表达式为（ ）．

B. y=-(x-20)2+16
C.y=(x-20)2+16 D. y=(x-20)2-16
4．（2023·吉林长春·统考二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点E到BC的距离为．在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点G、H在边上，点F、K在该抛物线上．按如图所示建立平面直角坐标系．若，则矩形窗户的宽的长为 m．

5．（2023·吉林长春·统考一模）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分，且石块在离发射点水平距离米处达到最大高度米．现将该投石机放置在水平地面上的点处，如图②，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，投向远处的防御墙，垂直于水平地面且与之间的距离超过米．已知高米，高米，若石块正好能打中防御墙，设投石机离防御墙的水平距离为米，则的取值范围是 ．

6．（2023·吉林长春·统考二模）我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米．

7．（2022·吉林长春·统考一模）圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点．已知雕塑OA高米，与OA水平距离5米处为水柱最高点，落水点C、D之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 米．
8．（2021·吉林长春·统考二模）在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是 ．
9．（2021·吉林长春·统考一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为 米．
10．（2021·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A．
（1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ．
（2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
（3）当时，若函数的最小值为3，求m的值．
（4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
11．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动．过点作交直线于点，以为边向左侧作矩形，使．设矩形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为．

(1)当点在边上时，求的长（用含的代数式表示）；
(2)当点在边上时，求的值；
(3)求S与t之间的函数关系式．
(4)连接，沿直线将矩形剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出的值．
1．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）在抛掷实心球时，实心球运动的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，下列结论正确的是（）
A．当时，实心球离地面的高度最小
B．实心球在空中飞行的最大高度是
C．投掷实心球的距离是
D．如果实心球在空中飞行速度是，则实心球从飞出到落地的时间为
6．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，小敏从奥体中心站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间（单位：s）是关于x的一次函数，若小敏骑单车的时间（单位：s）也受x的影响，其关系可以用来描述，则小敏从文化宫回到家里所需的时间最短为（ ）
A．34分钟 B．39分钟 C．34.5分钟 D．39.5分钟
5．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）一飞机着陆后滑行的距离（单位：m）与滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，那么该飞机着陆后滑行的距离为450m时，滑行的时间为（ ）
A． B． C． D．或
6．（2024上·天津南开·九年级统考期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论：
①当时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为时，运动时间为或；
③小球运动中的最大高度为；
④小球从抛出到落地需要；
其中正确的结论有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023上·全国·九年级期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
8．（2023上·辽宁大连·九年级校考阶段练习）如图1，在中，，，，动点从点开始沿边AB向点匀速移动（点的速度小于），同时动点从点开始沿边BC向点匀速移动，点到达时，点恰好到达C．的面积关于出发时间的函数图象如图2所示，则点的运动速度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，点、、、分别是正方形边、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023上·山东日照·九年级校考阶段练习）如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
11．（2023上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ）．
A．1 B． C． D．2
12．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ．
13．（2017上·九年级课时练习）如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
14．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度米，一位同学站在门内，在离门脚B点1米远的D处，垂直地面立起一根米长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．则该大门的高h为 米．

15．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价 元时，该服装店的销售利润最大．
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是：，则铅球推出的距离 ．
17．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，点P在斜边上移动，，M，N分别为垂足，，则何时矩形的面积最大？最大面积是多少？
18．（2022上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)现有一辆货运卡车，高为，宽为，它能从正中间通过该隧道吗？
19．（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元．
(1)求与的关系式；
(2)当时，求今年的总产值为多少万元？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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