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华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形单元复习题
一、单选题
1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．7cm B．16cm C．19cm D．17cm或19cm
2．如图，D，E分别在AB，AC上， ，添加下列条件，无法判定 的是（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一锐角对应相等； B．两锐角对应相等；
C．一条边对应相等； D．两条边对应相等.
5．如图，AB//CD，EF＝DF，若∠A＝50°，则∠E 等于（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
6．等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶点的坐标能确定的是（　　）
A．横坐标 B．纵坐标
C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
7．如图，有下列命题：①若∠1=∠2，则∠D=∠3；②若∠C=∠D，则∠3=∠C；③若∠A=∠F，则∠1=∠2；④若∠1=∠2，∠C=∠D，则∠F=∠A，其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知，若，则的度数为（　　）
A．80° B．90 C．100° D．110
10．如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（　　）
A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF
二、填空题
11．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是　 　度．
12．如图，线段AB、BC的垂直平分线 、 相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为　 　.
13．如图，已知 ，若以“SAS”为依据证明 ，还要添加的条件　 　．
14．如图，在中，，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为　 　；的周长为　 　．
三、解答题
15．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，选择适当的工具画图．
（1）过点A，画直线l的垂线，垂足为C；
（2）平移，点A、B、C的对应点分别是点D、C、E，画出平移后的；
（3）如果，求的度数．
16．如图，四边形 中，点E，F别在AD，BC上，G在AB延长线上，若 ， ， ．求证： ．
17．请补全下面的证明．
如图，点E为DF的中点，点B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：DF∥AC．
证明：∵（已知）．
（ ）．
∴（等量代换），
∴ （内错角相等，两直角平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴ ＝ （等量代换），
∴（ ）．
18．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，
求证：①△BEC≌△DEA；
②DF⊥BC．
四、综合题
19．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）.
如图，Rt△ABC中， ， .
（1）作出AB边上的高CD，
（2）作出△ABC的一条角平分线CE；
（3）求∠ECD的度数.
20．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE//BC分别交AB，AC于点D，E．
（1）求证：OD=DB．
（2）若DE=5，求DB+CE的值．
21．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N．
（1）如图①，若∠BAC=110°，求∠EAN的度数；
（2）如图②，若∠BAC=80°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α(α≠90°)，直接写出∠EAN的大小(用含α的代数式表示)．
22．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC边的延长线上，CE=BC，连接AE，交CD边于点F，且CF=DF．
（1）如图1，求证：AD=BC；
（2）如图2，连接BD、DE，若BD⊥DE，请判定四边形ABCD的形状，并证明．
23．如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接．
（1）求证：；
（2）当点在直线上运动时，
①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由；
②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长；
②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长.
故答案为：D.
【分析】分腰为5cm，底边为5cm，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
2．【答案】A
【解析】【解答】∵ ，∠A=∠A，
若添加 ，不能证明 ，
∴A选项符合题意；
若添加 ，根据AAS可证明 ，
∴B选项不符合题意；
若添加 ，根据AAS可证明 ，
∴C选项不符合题意；
若添加 ，根据ASA可证明 ，
∴D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：在中，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用等角对等边的性质可得。
4．【答案】D
【解析】【分析】A．一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
B．两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；
C．一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；
D．两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确。
故选D．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质可得∠A=∠EFD=50°，由等腰三角形的性质可得∠E=∠D，根据三角形内角和定理求出∠E即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵等腰三角形底边的两端点坐标是( 4,0),(2,0)，
∴等腰三角形底边的长度为：6，
∴底边的一半为3，
∴底边中点的坐标为：( 1,0)，
∴由等腰三角形的性质可以知道其顶点坐标的横坐标为 1，故答案A正确，
故答案为：A.
【分析】根据题目条件可以求出等腰三角形的底边长度，由等腰三角形的性质可以可以求出底边中点的坐标，进而确定等腰三角形顶点坐标的横坐标，从而得出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，∠1=∠4，
∴∠2=∠4，
∴CE∥DB，
∴∠D=∠3，故命题①正确；
②若∠C=∠D，不能得出∠3=∠C，故命题②错误；
③若∠A=∠F，则AC∥DF，不能得出∠1=∠2，故命题③错误；
④若∠1=∠2，由①可得∠D=∠3，
∵∠C=∠D，
∴∠3=∠C，
∴DF∥AC，
∴∠F=∠A，故命题④正确．
故选B．
【分析】根据平行线的判定与性质证明即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2=∠3=55°，
∴∠2=∠5=55°，
∴∠5=∠1=55°，
∴，
∴∠3=∠6=55°，
∴∠4=180°-55°=125°．
故答案为：C．
【分析】先利用∠1=∠2=∠3=55°证明 ，再利用平行线的性质可得∠3=∠6=55°，最后利用邻补角可得∠4=180°-55°=125°。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：中
（全等三角形对应角相等）
故答案为：C.
【分析】根据内角和定理可求出∠CDA的度数，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠CDA，据此解答.
10．【答案】A
【解析】【解答】只有选项A符合题意，
理由是：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故答案为：A．
【分析】由 AD∥BC， 可得内错角∠A=∠C，由AE=CF可得AF=CE，若添加选项A，可根据SAS判断 △ADF≌△CBE， 若添加选项B、C、D都不能判断△ADF≌△CBE， 故选A.
11．【答案】或
【解析】【解答】解：当70°是顶角时，底角=（180°-70°）÷2=55°；
当70°是底角时，底角就是7°；
∴底角为55°或70°
故答案为：55或70.
【分析】根据等腰三角形的性质，分类讨论即可.
12．【答案】76 °
【解析】【解答】解：如图，连接BO并延长，
∵ 、 分别是线段AB、BC的垂直平分线，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴.
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注、角标注，连接BO并延长，由垂直平分线的性质得OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90°，由等腰三角形的性质可得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，结合外角的性质可得∠2=2∠A，∠3=2∠C，则∠AOC=2(∠A+∠C)，由外角的性质可得∠AOG=52°-∠A，∠COF=52°-∠C，由平角的概念得∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180°，据此求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：
添加条件 ，
故答案为：
【分析】利用SAS证明三角形全等的判定方法求解即可。
14．【答案】61°；5.8
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∵MN为线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴
∴
故答案为：61°；
（2）∵MN为线段AC的垂直平分线，
∴
∴周长为：
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC度数，再根据线段垂直平分线的性质得AD=CD，由等边对等角得∠DAC=∠C，进而根据角的和差求出∠BAD的度数.
（2）根据线段垂直平分线的性质得AD=CD，进而将△ABD周长转化为AB+BC，即可求解本题.
15．【答案】（1）解：直线AC即为所求作的垂线；
（2）解：如图，△CDE即为所画是三角形；
（3）解：由平移的性质可得：，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义利用直角尺过点A作AC⊥l于点C即可；
（2）利用刻度尺在BC的延长线上取点E，使CE=BC，再利用直角尺过点E作DE⊥CE，并使DE=AC，最后连接DC即可；
（3）由平移性质可得∠DCE=∠ABC=40°，由垂直定义得∠ACB=90°，最后根据平角定义计算可求出∠ACD的度数.
16．【答案】证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠GBC，求出∠A+∠D=180°，根据平行线的判定得出DC//AB，再推出答案即可。
17．【答案】证明：∵（已知），
（对顶角相等），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直角平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；DB，EC；∠D，∠DBA；内错角相等，两直线平行.
【解析】【分析】由已知、对顶角相等及等量代换可得∠3=∠4，进而由内错角相等，两直线平行得DB∥EC，再由二直线平行，同位角相等、已知及等量代换可得∠D=∠DBA，从而根据内错角相等，两直线平行得出DF∥AC.
18．【答案】证明：∵BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，
∴△BEC≌△DEA（HL）；
∵△BEC≌△DEA，
∴∠B=∠D．
∵∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF，
∴∠BAF+∠B=90°．
即DF⊥BC．
【解析】【分析】（1）依据垂直的定义可知△BEC与△DEA均为直角三角形，然后依据HL进行证明即可；
（2）依据全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，然后再通过两点代换证明∠BAF+∠B=90°，从而可得到问题的答案.
19．【答案】（1）解：以 为圆心，足够长为半径画弧，交 或 延长线于 两点，
再分别以 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，
连接 ，交 于点 ， 即为 上的高，如下图：
（2）解：由题意可得： 平分
以 为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，分别以 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，连接 交 于点 ，则 平分
（3）解：由题意可得 ，
∴
又∵
∴
∴
又∵ 平分
∴
∴
【解析】【分析】（1）根据高线的尺规作法作图即可；
（2）根据角平分线的尺规作法作图即可；
（3）由三角形的内角和定理求出∠A的度数，根据余角的性质可得∠ACD=30°，根据角平分线的概念可得∠ACE=45°，然后根据∠DCE=∠ACE-∠ACD进行计算.
20．【答案】（1）解：∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC．
∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∴∠DOB=∠DBO，∴OD=DB．
（2）解：根据（1）得：OD=DB，
同理可证：OE=EC，
∴BD+EC=DO+OE=DE=5．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得出∠DBO=∠OBC，再利用平行线的性质易证∠DOB=∠OBC，就可得出∠DOB=∠DBO，然后利用等角对等边，可证得结论。
（2）由（1）可知OD=BD，同理可证OE=CE，因此要求BD+CE的长，就转化为求DE的长。
21．【答案】（1）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，C CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，C B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-110°= 70°，
∴∠EAN= 110°-70° = 40°．
（2）解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，∴∠BAE=∠B，
同理可得，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 180°-80° = 100°，
∴∠EAN= 100°-80°= 20°．
（3）解：当0°<α<90°时，∠EAN= 180°-2α；
当90°【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的两点到线段两端点的距离相等，可得 AE=BE， 再根据等边对等角可得 ∠BAE=∠B， 同理可得， ∠CAN=∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C ，再根据 ∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN 代入数据进行计算即可；
（2）同（1）的思路，最后根据 ∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC 代入数据进行计算即可；
（3）根据前两问的求解思路，分 0°<α<90° ， 90°22．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
∵CE=BC，
∴AD=BC
（2）解：四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∵CE=BC，
∴CD= BE=BC，
∴四边形ABCD是菱形
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出∠D=∠ECF，由ASA证明△ADF≌△ECF，得出AD=CE，即可得出结论；（2）首先四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD= BE=BC，即可得出四边形ABCD是菱形．
23．【答案】（1）证明：∵等边，
∴，
∴
∵等边，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）知，
∴，
∴的周长，
由垂线段最短可知，当时，最短，
故的周长最小，
当时，在等边中，由三线合一可得：点为的中点，
∴此时的长为，
∴的周长存在最小值，此时的长为2；
②分以下情况讨论：
当点在的延长线上时，
由（1）知，，
∴只能，
∴
由题意知，
∴，
∴
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在的延长线上时，
∵，
∴只能，
∴
由题意知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
【解析】【分析】（1）通过证明△ACD≌△BCE，得出对应角∠4=∠6，从而得出∠7=60°，得出∠4=∠7，可判定BE∥AC；
（2）根据（1）可知△ACD≌△BCE，可得AD=BE，从而得到△BDE的周长为CD+4，根据垂线段最短知，当CD⊥AB时，CD最短，即△BDE的周长最短，根据等边三角形三线合一的性质知，此时点D是AB的中点，可得出AD的长为2；
（3）由（1）知当点D在线段AB上时，△BDE 的∠DBE=120°，所以不可能为直角三角形；所以剩下两种情况，可分类讨论：①点D在AB的延长线上时，∠7和∠1都不可能为直角，所以只有∠BDE可能为90°，通过证明△BDE和△BCE全等，得出BD=CB=4，从而得到AD=4+4=8；②点D在BA的延长线上时：可得AD=AC=4。
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