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专题6.9 平面向量的应用（重难点题型精讲）
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.
③求夹角问题，利用夹角公式：==.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
2．向量在物理中的应用
(1)力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
(3)向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可
为零.
②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的平行问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，将平行问题进行转化求解.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的平行问题转化为代数运算.
【例1】（2022·高一课前预习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：.
【解题思路】设，，即可表示出，再由，，即可表示出，从而得到，即可得证；
【解答过程】证明：设，，则.
又，.所以，.
在中，，
所以，即与共线，故.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四边形中， ，是上的点，且.
求证： .
【解题思路】利用，可得四边形是平行四边形，结合，即可证明.
【解答过程】∵，∴且∥，
∴四边形是平行四边形，
∴ ,∵，∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，∴，
又与方向相同，
∴.
【变式1-2】（2022春·高一课时练习）如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
【解题思路】先由题意，得到，设，根据三角形相似，推出，，再由向量的线性运算，得到，即可得出结论成立．
【解答过程】证明：由题意，，，∴．
设，则．
同理．
于是．
∴，∴．
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.
【解题思路】由题知，，进而根据题意得，再根据向量共线即可证明.
【解答过程】证明：因为四边形是平行四边形，
所以，，
因为，，
所以，即，且，
所以四边形是平行四边形.
【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的垂直问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的
向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的垂直问题转化为代数运算.
【例2】（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
【解题思路】（1）利用平面向量基本定理表示出；
（2）利用数量积为0证明.
【解答过程】（1）因为点是的中点，所以.
因为，,所以.
所以，.
（2）由（1）可得： ，.
因为，
所以，
所以.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【解题思路】设， ，则且，即可求得，由此即可证明结果.
【解答过程】证明：设， ．
因为四边形为菱形，所以，
又
则，故．
所以.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【解题思路】利用平面向量加法、数乘的几何意义有·＝·，根据数量积的运算律，线段的位置、数量关系可得·＝0，即可证结论.
【解答过程】∵·＝·＝ 2－ 2，而，
∴·＝0，
∴⊥，即DE⊥AF.
【变式2-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【解题思路】以为基底，表示，，结合向量的运算可知，进而证得结论.
【解答过程】
，
因为，
所以，即，
故.
【题型3 利用向量求线段间的长度关系】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，将平面几何中的长度关系进行转化求解.
【例3】（2021·高一课时练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【解题思路】由于是对角线上的两点，要判断之间的关系，只需分别判断与之间的关系即可.
【解答过程】设，，，则.
由，可设，
又，，可设，
∵，
∴，
综上，有，即，
由于与不共线，则，解得，
∴.同理，，.
∴.
【变式3-1】（2022·高一课时练习）在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.
【解题思路】由题意可知，又，，且与同向，
则，即可求证
【解答过程】因为点E，F分别是，的中点，
所以，.
所以.
因为，
所以 ，
所以.
因为，，且与同向，
所以，
即.
【变式3-2】（2022·高一课前预习）如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
【解题思路】以点B为原点建立平面直角坐标系，设，利用可得，由可得，继而可证明，即得证
【解答过程】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设
设，，，，则，，
所以，所以.
所以，.
因为E，D，F共线，
所以，
所以
化简得.
因为 ，
所以.
所以.
【变式3-3】（2022·高一单元测试）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
【解题思路】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，，依题意可求出点的坐标，再根据点A，P，D共线可得，由点B，P，C共线，可得，由点O，P，E共线，可得，即可解出，从而证出．
【解答过程】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，，则.
因为点C分为，所以
因为点D为的中点，所以.
因为点A，P，D共线，所以.
又，，所以.
同理由点B，P，C共线，可得，
由点O，P，E共线，可得.解得.所以.
【题型4 用向量解决夹角问题】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，利用向量的夹角公式进行转化求解.
【例4】（2022春·山东菏泽·高一期末）如图，在中，已知，，，且.求.
【解题思路】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【解答过程】由题意得，的夹角为，
，则，
又，所以，
故，同理
于是
，
，
，
.
【变式4-1】（2022春·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
【解题思路】（1）由，，根据向量数量积的运算即可求解；
（2）由与的夹角即为，利用向量的夹角公式即可求解.
【解答过程】(1)
解：由题意，，，
又，
所以 ，
，即，
=
，
，即；
(2)
解：，
==，
与的夹角即为，
.
【变式4-2】（2022春·广东河源·高一阶段练习）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.
【解题思路】以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，证明的夹角与的夹角相等，从而证得结论。
【解答过程】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系.
设，则，.
设，则.
又因为，，所以，
所以，解得 ，所以.
所以.
又因为，
所以，.
又因为，所以.
【变式4-3】（2022·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
【解题思路】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；
（2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可.
【解答过程】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点
则
又由可得，
（2）是与所成的角，设向量与所成的角为
，则
，则
则，
因为
，
所以
所以与所成角的余弦值为.
【题型5 用向量解决物理中的相关问题】
【方法点拨】
平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有
向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.
【例5】（2022·高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
【解题思路】根据题意，用向量的方法求解，作出对应的受力分析图，得到，推出，再由题中数据，以及向量的夹角公式，即可得出结果.
【解答过程】解：如图，∵，
∴，
∴，
即，
∴．
∵，∴．
【变式5-1】（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
【解题思路】（1）由已知可得两个力，和位移，再由公式计算即可求解；
（2）先计算，的合力，再由公式即可求得合力对质点所做的功．
【解答过程】（1）依题意有，，，
则做的功为，
做的功为．
（2）由，
所以做的功为．
【变式5-2】（2022·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【解题思路】（1）由题意，且与垂直，即，根据数量积的定义即可求解；
（2）设船航行到对岸所需的时间为，则，比较和两种情况即可求解.
【解答过程】（1）
解：船垂直到达对岸，即且与垂直，即，
所以，即，
所以，解得；
（2）
解：设船航行到对岸所需的时间为，则，
所以当时，船的航行时间最短为，
而当船垂直到达对岸时，由（1）知，
所需时间，，
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．
【变式5-3】（2022·高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则，，的大小分别是多少？
【解题思路】由题可得，且，，两两之间的夹角均为，，然后利用数量积的运算律及数量积的定义即得.
【解答过程】由题可知，且，，两两之间的夹角均为，
又，（为重力加速度）
∴，
∴，
∴（牛），
即，，的大小都是牛.
【题型6 向量与几何最值】
【方法点拨】
根据具体条件，利用向量知识，将平面几何中的最值问题进行转化求解即可.
【例6】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．
【解题思路】（1）由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果.
（2）令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果.
【解答过程】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以，
所以 ．
因为Q是BC的中点，所以，，
所以，
即的取值范围为；
（2）令，则 ，
∴，即：
∴
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以，从而， ，
因为，
所以，
即的最小值为．
【变式6-1】（2022春·广西柳州·高一阶段练习）在中，，，，为边中点．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值；
【解题思路】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；
（2）根据点在上，设，求出、的坐标，则，利用二次函数配方求最值可得答案.
【解答过程】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，，，
为边中点，所以，，，
则；
（2）若点满足，则点在上，
由（1），设，则，，
则，
所以当时的最小值为.
【变式6-2】（2022·高一课前预习）梯形中，，，，，点在线段上运动.
(1)当点是线段的中点时，求；
(2)求的最大值.
【解题思路】（1）根据题意求得，将目标向量表达为，结合向量的数量积运算即可求得结果；
（2）选定，为基底，表达目标向量，再根据平面向量共线定理，设，将数量积表达为的函数，再求函数最大值即可.
【解答过程】(1)
根据题意，作图如下：
由题意，，
.
(2)
设，
，
所以时，的最大值是．
【变式6-3】（2022春·广东佛山·高一期中）如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.
【解题思路】（1）构建平面直角坐标系，写出对应点坐标，应用向量数量积的坐标运算求.
（2）设，由求关于的坐标，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求的最大值.
（3）设，则，可得，再应用辅助角公式、三角恒等变换及余弦函数的性质求的最小值.
【解答过程】
（1）以点A为原点建系，得,,，
∴.
（2）由（1）知，设，
∴，，
∴
当时，最大值.
（3）设，则，
∴ ，
当且仅当时，等号成立，故最小值是.专题6.9 平面向量的应用（重难点题型精讲）
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.
③求夹角问题，利用夹角公式：==.
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
2．向量在物理中的应用
(1)力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
(2)速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
(3)向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可
为零.
②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型1 用向量解决平面几何中的平行问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的平行问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，将平行问题进行转化求解.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的平行问题转化为代数运算.
【例1】（2022·高一课前预习）在中，点，分别在线段，上，，.求证：.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四边形中， ，是上的点，且.
求证： .
【变式1-2】（2022春·高一课时练习）如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.
【题型2 用向量解决平面几何中的垂直问题】
【方法点拨】
用向量法解决平面几何中的垂直问题，一般来说有两种方法.
(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的
向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示.
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的垂直问题转化为代数运算.
【例2】（2022·高二课时练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
【变式2-1】（2022·高一课时练习）用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.
【变式2-3】（2022·高二课时练习）如图所示，在等腰直角三角形ACB中，，，D为BC的中点，E是AB上的一点，且，求证：.
【题型3 利用向量求线段间的长度关系】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，将平面几何中的长度关系进行转化求解.
【例3】（2021·高一课时练习）如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.
【变式3-1】（2022·高一课时练习）在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.
【变式3-2】（2022·高一课前预习）如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
【变式3-3】（2022·高一单元测试）如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
【题型4 用向量解决夹角问题】
【方法点拨】
利用向量知识，结合具体条件，利用向量的夹角公式进行转化求解.
【例4】（2022春·山东菏泽·高一期末）如图，在中，已知，，，且.求.
【变式4-1】（2022春·重庆·高一期末）如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点.
(1)求线段，的长；
(2)求的余弦值.
【变式4-2】（2022春·广东河源·高一阶段练习）已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.
【变式4-3】（2022·高二课时练习）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．
(1)求和的值；
(2)若，，，求与所成角的余弦值．
【题型5 用向量解决物理中的相关问题】
【方法点拨】
平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有
向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.
【例5】（2022·高一课时练习）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
【变式5-1】（2023·高一课时练习）已知两个力，，，作用于同一质点，使该质点从点移动到点(其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量)．试求：
(1)，分别对质点所做的功；
(2)，的合力对质点所做的功．
【变式5-2】（2022·高一单元测试）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【变式5-3】（2022·高二课时练习）解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，），若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则，，的大小分别是多少？
【题型6 向量与几何最值】
【方法点拨】
根据具体条件，利用向量知识，将平面几何中的最值问题进行转化求解即可.
【例6】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．
【变式6-1】（2022春·广西柳州·高一阶段练习）在中，，，，为边中点．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值；
【变式6-2】（2022·高一课前预习）梯形中，，，，，点在线段上运动.
(1)当点是线段的中点时，求；
(2)求的最大值.
【变式6-3】（2022春·广东佛山·高一期中）如图，分别是矩形的边和上的动点，且.
（1）若都是中点，求.
（2）若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.
（3）若，求的最小值.

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