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专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
3．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若=(x,y)，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
②三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.
(3)垂直的坐标表示
设=(,)，=(,)，则+=0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型1 用基底表示向量】
【方法点拨】
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底
表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【方法点拨】
结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.
【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）在中，为边的中点，在边上，且，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2-3】（2022秋 安徽期末）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．1
【题型3 平面向量的坐标运算】
【方法点拨】
(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.
【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习）若，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·高二课时练习）在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）已知向量，，，则可用与表示为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 向量共线、垂直的坐标表示】
【方法点拨】
向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂
直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.
【例4】（2022秋·河南南阳·高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知．
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数t的值．
【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）已知
（1）当为何值时，与垂直
（2）若，且三点共线，求的值．
【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知，．
(1)当k为何值时，与垂直？
(2)当k为何值时，与平行？
【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）已知向量，
(1)当，求的值；
(2)当，，求向量与的夹角
【题型5 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【方法点拨】
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向
量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐
标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知是平面直角坐标系的原点，，．
(1)求坐标；
(2)若四边形为平行四边形，求点坐标．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【变式5-3】（2022春·江苏镇江·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
(1)求与共线的单位向量的坐标；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【题型6 向量坐标运算与三角函数的交汇】
【方法点拨】
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表
示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再
利用三角函数的相关知识求解即可.
【例6】（2022秋·江苏盐城·高三期中）已知O为坐标原点，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
【变式6-1】（2022秋·河南信阳·高三阶段练习）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值.
【变式6-2】（2022秋·甘肃张掖·高三阶段练习）已知，．
(1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若，函数，求的最小值．
【变式6-3】（2022秋·江苏镇江·高三期中）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.专题6.7 平面向量基本定理及坐标表示（重难点题型精讲）
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
3．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=
+++.又=1，=1，==0，所以=+.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若=(x,y)，则或.
其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=
.
5．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
②三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==.
(3)垂直的坐标表示
设=(,)，=(,)，则+=0.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
【题型1 用基底表示向量】
【方法点拨】
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底
表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解.
【例1】（2022春·湖南株洲·高一期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，结合平行四边形性质，用表示出即可求解作答.
【解答过程】平行四边形的对角线与交于点，如图，
则，而点为的中点，
有，由得：，
则有，
所以.
故选：C.
【变式1-1】（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解.
【解答过程】因为四边形为平行四边形，所以，，，
因为，，
所以，
所以，
,
因为，，
所以，解得 ，
所以，
故选：B.
【变式1-2】（2022春·四川绵阳·高一期末）在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.
【解答过程】因为，所以.
所以
，
故选：C.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设 ，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.
【解答过程】.
设 ，
则,
又，且三点共线，则共线，
即，使得，即，
又不共线，则有，解得，
所以，.
故选：D.
【题型2 平面向量基本定理的应用】
【方法点拨】
结合题目条件，利用平面向量基本定理进行转化求解即可.
【例2】（2022春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】由，可得为中点，，又由G是的重心，可得，代入，求得，即可得答案.
【解答过程】解：因为，
所以为中点，
又因为G是的重心，
所以，
又因为为中点，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
【变式2-1】（2022秋·河南·高三阶段练习）在中，为边的中点，在边上，且，与交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三点共线的结论：三点共线，则，结合平面向量基本定理、向量的线性运算求解.
【解答过程】以为基底向量，则有：
∵三点共线，则，
又∵三点共线，且为边的中点，则，
∴，解得，
即.
∵，
∴，则.
故选：A.
【变式2-2】（2022春·内蒙古赤峰·高一期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.
【解答过程】由题意知，
因为，所以，，.
故选：B.
【变式2-3】（2022秋 安徽期末）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．1
【解题思路】在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，又E为AO的中点，则，然后利用平面向量基本定理即可求解．
【解答过程】解：在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，
又E为AO的中点，则，
所以，则，
故选：A．
【题型3 平面向量的坐标运算】
【方法点拨】
(1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用.
(2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解.
【例3】（2022秋·新疆喀什·高一阶段练习）若，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意和平面向量运算的坐标表示直接得出结果.
【解答过程】因为，
所以.
故选：C.
【变式3-1】（2022·高二课时练习）在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用减法求.
【解答过程】在平行四边形中， ，，
所以，
所以.
故选：C.
【变式3-2】（2022春·广西南宁·高一期末）已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由向量坐标运算直接求解即可.
【解答过程】.
故选：A.
【变式3-3】（2022春·河南平顶山·高一期末）已知向量，，，则可用与表示为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据坐标关系建立方程可求出.
【解答过程】设，x，，
则，
即，解得，∴.
故选：A.
【题型4 向量共线、垂直的坐标表示】
【方法点拨】
向量共线、垂直的坐标表示的应用有两类：一是判断向量的共线（平行）、垂直；二是根据向量共线、垂
直来求参数的值；根据题目条件，结合具体问题进行求解即可.
【例4】（2022秋·河南南阳·高二开学考试）在平面直角坐标系中，已知．
(1)若，求实数k的值；
(2)若，求实数t的值．
【解题思路】（1）由共线向量的坐标公式，可得答案；
（2）由垂直向量的数量积为零，根据坐标公式，可得答案.
【解答过程】（1）
因为．所以，，因为
所以，解得．
（2）
，因为，
所以 ，解得．
【变式4-1】（2022春·广东潮州·高一期中）已知
（1）当为何值时，与垂直
（2）若，且三点共线，求的值．
【解题思路】（1）与垂直，即与的数量积为，利用坐标计算可得值；
（2）因为三点共线，所以，利用平面向量共线的坐标公式计算可得的值．
【解答过程】解：（1），
，
因为垂直，所以，
即，得.
（2）
，
因为三点共线，所以．
所以，即，所以.
【变式4-2】（2023·高一单元测试）已知，．
(1)当k为何值时，与垂直？
(2)当k为何值时，与平行？
【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标表示可得，即可求出k的值；（2）根据平行向量的定义可知需满足即可得出k的值.
【解答过程】（1），．
若可得，
即，得，
即时，与垂直；
（2）因为，不平行，由平行向量的定义可知，
需满足时，
即 时，与平行.
【变式4-3】（2022秋·河南开封·高三阶段练习）已知向量，
(1)当，求的值；
(2)当，，求向量与的夹角
【解题思路】（1）根据向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解，
（2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解．
【解答过程】（1）
因为向量，，所以，
由得，即，即，
整理得，解得或，
所以或.
（2）
因为，，所以，
由，可得，解得，
所以，，
所以，
又，所以．
【题型5 向量坐标运算与平面几何的交汇】
【方法点拨】
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向
量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.常用方法是建立平面直角坐
标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决.
【例5】（2022春·吉林长春·高一阶段练习）如图，已知是平面直角坐标系的原点，，．
(1)求坐标；
(2)若四边形为平行四边形，求点坐标．
【解题思路】（1）过点作垂直轴于点，在中，即可求出的值，进而求得点坐标，再根据，求出点坐标，由此即可求出坐标.
（2）如下图作出辅助线，根据直角三角形的特点，可求出点的坐标，再设点，根据题意可知，由此即可求出点坐标．
【解答过程】（1）
解：过点作垂直轴于点，如下图所示：
因为，所以，
又，所以在中，，
又，所以，
所以
（2）
解：过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，过点作垂直轴于点，如下图所示：
在中，，，所以，
在中，，，
所以，即
所以，即，
设点，
因为四边形为平行四边形，所以，
又
所以，解得，所以点坐标为.
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，，，.
(1)用，表示；
(2)若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
【解题思路】（1）根据向量的加法及数乘运算求解；
（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解即可.
【解答过程】(1)
，
，又，所以，
所以；
(2)
过点D作AB的垂线交AB于点，如图，
于是在中，由可知，，
根据题意得各点坐标：，，，，，， ，
所以，
所以，，,
.
【变式5-2】（2022春·浙江杭州·高一期中）已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【解题思路】（1）利用任意角三角函数的定义易求、、的坐标；
（2）利用平面向量的夹角公式求解即可；
（3）设，用表示点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解
【解答过程】（1）
因为半圆的直径，由题易知：又，.
又，，则，，即.
（2）
由（1）知，，，
所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）
设，由（1）知，，，，
所以，
又因为，所以当时，有最小值为，
此时点的坐标为.
【变式5-3】（2022春·江苏镇江·高一期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
(1)求与共线的单位向量的坐标；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案；
（2）根据向量的夹角运算公式可求得答案；
（3）设，根据向量垂直的坐标表示可求得．分，讨论可求得的范围.
【解答过程】（1）
解：因为点，所以，
所以或；
（2）
解：由题意可得，
故．
（3）
解：设，其中．
若，则，即，可得．
若，则不存在，
若，则，
故．
【题型6 向量坐标运算与三角函数的交汇】
【方法点拨】
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表
示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再
利用三角函数的相关知识求解即可.
【例6】（2022秋·江苏盐城·高三期中）已知O为坐标原点，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
【解题思路】（1）利用，求出，利用向量的模长公式，即可求解.
（2）利用，再根据，即可求出的取值范围.
【解答过程】（1）时，，∴
∴
（2）
∵，∴，∴
∴的取值范围为．
【变式6-1】（2022秋·河南信阳·高三阶段练习）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值.
【解题思路】（1）利用向量得到，对所求的式子进行弦化切代入可得答案；
（2）由数量积的坐标运算和辅助角公式化简可得，再根据三角函数的有界性可得最大值及.
【解答过程】（1）
因为向量，
所以，所以，
；
（2）
，其中，
当时，取得最大值，
此时，
即时，取得最大值.
【变式6-2】（2022秋·甘肃张掖·高三阶段练习）已知，．
(1)若，且，时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若，函数，求的最小值．
【解题思路】(1)又与的夹角为钝角，可得且与不能共线，列不等式求的范围；
(2) 化简得，利用将转化为关于的二次函数，利用二次函数性质求值域.
【解答过程】（1）当时， ，若与的夹角为钝角，
则且与不能共线，
，所以，
又，所以，所以，
当与共线时，，故，所以与不共线时，.
综上：.
（2）
，
令，则，
，
而函数在上为增函数，故当时有最小值.
故的最小值为.
【变式6-3】（2022秋·江苏镇江·高三期中）已知向量.
(1)若，求的值；
(2)记，求函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的值域.
【解题思路】（1）利用向量坐标的线性运算得的坐标，根据的坐标关系可得，从而可得，，即可求解的值；
（2）求解化成余弦型函数，再由三角函数图象变化得，根据余弦函数图象性质求函数的值域即可.
【解答过程】（1）解：，，
，，
，即，
，.
（2）解：，
由图象向右平移，横坐标变为2倍得，
，，
在单调递增，单调递减，
，
，即值域为.

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