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专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.
(4)向量的投影
如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【题型1 向量的投影】
【方法点拨】
根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022春·湖北·高二阶段练习）已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 向量数量积的计算】
【方法点拨】
解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊
夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
【例2】（2022·四川·高三统考对口高考）已知向量与向量的夹角为60°，，，则（ ）
A．20 B．10 C． D．
【变式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【变式2-2】（2022·四川自贡·统考一模）在中，，，点M在边AB上，且满足，则（ ）
A． B．3 C．6 D．8
【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高三学业考试）如图，在边长为3的正中，D，E分别在AC，AB上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【方法点拨】
求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.
【例3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量，满足，且，则，夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022春·云南曲靖·高三阶段练习）已知，则（ ）
A．0 B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·模拟预测）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022秋·山东聊城·高一期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【方法点拨】
根据题目条件，借助向量的夹角公式=，进行转化求解即可.
【例4】（2022秋·甘肃兰州·高一期中）已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·高一单元测试）已知是正三角形,若与向量的夹角大于,则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022春·北京顺义·高三期中）已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-3】（2022秋·陕西渭南·高一期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 向量的模】
【方法点拨】
或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数
量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形
的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
【例5】（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【变式5-1】（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量，，两两之间的夹角均相等，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足 ，，的夹角为，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2022春·宁夏石嘴山·高三阶段练习）在边长为4的等边△ABC中，已知，点P在线段CD上，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【题型6 向量数量积的最值问题】
【方法点拨】
先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数
最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【变式6-1】（2022春·辽宁抚顺·高三阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022·全国·高一假期作业）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022秋·浙江·高三阶段练习）已知中，，，，是以为圆心的单位圆上的任意一条直径，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．专题6.5 向量的数量积（重难点题型精讲）
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤
π)叫做向量与的夹角，也常用表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0.
(4)向量的投影
如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，
分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
3．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【题型1 向量的投影】
【方法点拨】
根据向量的投影的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（2022·安徽·校联考二模）已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量数量积的运算律可求得，首先求得在上的投影数量，进而得到结果.
【解答过程】由题意知：，
，，
，在上的投影向量为.
故选：C.
【变式1-1】（2022春·湖北·高二阶段练习）已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】列出投影向量公式，即可计算求解.
【解答过程】在上的投影向量
故选：C.
【变式1-2】（2022春·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.
【解答过程】在方向上的投影向量为
故选：C.
【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.
【解答过程】延长，交于点，如图所示，
，
，
，
又，
向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
【题型2 向量数量积的计算】
【方法点拨】
解决向量数量积的计算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊
夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征.
【例2】（2022·四川·高三统考对口高考）已知向量与向量的夹角为60°，，，则（ ）
A．20 B．10 C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用向量数量积的定义直接计算作答.
【解答过程】因为向量与向量的夹角为60°，，，
所以，B正确.
故选：B.
【变式2-1】（2022春·吉林四平·高三期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【解题思路】应用平面向量数量积的运算律展开所求的式子，根据已知向量的模和夹角求值即可.
【解答过程】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
【变式2-2】（2022·四川自贡·统考一模）在中，，，点M在边AB上，且满足，则（ ）
A． B．3 C．6 D．8
【解题思路】结合向量的数量积运算以及线性运算求得正确答案.
【解答过程】依题意，，，
所以
.
故选：B.
【变式2-3】（2022春·江苏徐州·高三学业考试）如图，在边长为3的正中，D，E分别在AC，AB上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合平面向量的线性运算得到，进而根据平面向量的数量积的定义即可求出结果.
【解答过程】因为，所以
，
又因为正边长为3，所以，，
故
，
故选：C.
【题型3 求向量的夹角（夹角的余弦值）】
【方法点拨】
求两非零向量的夹角或其余弦值一般利用夹角公式=求解.
【例3】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量，满足，且，则，夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的点乘关系，求出，即可求出，夹角.
【解答过程】解：由题意，
在向量，中，，
，
解得：
∴
故选：C.
【变式3-1】（2022春·云南曲靖·高三阶段练习）已知，则（ ）
A．0 B． C． D．
【解题思路】根据数量积的性质求解，再根据向量夹角余弦值公式可得的值.
【解答过程】解：，则
所以.
故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·模拟预测）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据，，，可求得，，最后利用数量积的公式求即可.
【解答过程】解：由题可得①，
②，
①②两式联立得，，
∴，而，
∴．
故选：D.
【变式3-3】（2022秋·山东聊城·高一期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案.
【解答过程】由题意可知向量在向量上的投影向量为，
则，即，
而，故，
故选：D.
【题型4 已知向量的夹角求参数】
【方法点拨】
根据题目条件，借助向量的夹角公式=，进行转化求解即可.
【例4】（2022秋·甘肃兰州·高一期中）已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据与的夹角为锐角，由且与不共线求解.
【解答过程】解：因为，
所以，
因为与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
解得，
当时，则，
即，解得，
当时，与共线且同向，
所以的取值范围为，
故选：B.
【变式4-1】（2022·高一单元测试）已知是正三角形,若与向量的夹角大于,则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【解题思路】由平面向量数量积的定义与运算律求解，
【解答过程】由题意得，设边长为，
则，解得，
故选：D.
【变式4-2】（2022春·北京顺义·高三期中）已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量公式表示出和夹角的余弦值，再讨论夹角为时的取值，最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.
【解答过程】，，
，当时，，即和夹角为,
故是和夹角为的充分不必要条件
故选：A.
【变式4-3】（2022秋·陕西渭南·高一期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得结果.
【解答过程】的夹角为锐角，且不同向，
，解得：且，
实数的取值范围为.
故选：B.
【题型5 向量的模】
【方法点拨】
或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数
量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形
的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
【例5】（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【解题思路】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【解答过程】∵向量满足，，，
，，
，
，
故选：D.
【变式5-1】（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量，，两两之间的夹角均相等，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意确定向量两两间夹角为，利用条件求出， 再求的平方即可得解.
【解答过程】因为平面向量，，两两之间的夹角均相等，且两两之间的数量积为负数，
所以两两之间的夹角均为，
，
且，
则解得，
所以，故.
故选：B.
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足 ，，的夹角为，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的数量积运算即可.
【解答过程】，，的夹角为，得 ，
， .
故选：D.
【变式5-3】（2022春·宁夏石嘴山·高三阶段练习）在边长为4的等边△ABC中，已知，点P在线段CD上，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】将用和表示，再根据三点共线，求出的值，再根据即可得出答案.
【解答过程】解：，
因为三点共线，所以，所以，
所以，
则.
故选：C.
【题型6 向量数量积的最值问题】
【方法点拨】
先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，利用求函数
最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形直观求出相关的最值.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）在四边形中，为的重心，，点在线段 上， 则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【解题思路】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到，再利用基本不等式性质即可得到答案.
【解答过程】如图所示：
因为，
所以，
于是有，
又，当且仅当时取等号，
所以.
故选：A.
【变式6-1】（2022春·辽宁抚顺·高三阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件作出图形，利用向量的加法法则及相反向量的定义，结合向量的数量积的运算律及勾股定理即可求解.
【解答过程】由题意可知，取的中点，如图所示
所以．
，
当点与点或点重合时，取的最大值，取得最大值，且最大值为，故的最大值为.
故选：D.
【变式6-2】（2022·全国·高一假期作业）已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，得恒成立，从而可得，再结合，即可求解
【解答过程】因为，
所以，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以，
所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：A.
【变式6-3】（2022秋·浙江·高三阶段练习）已知中，，，，是以为圆心的单位圆上的任意一条直径，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】计算出的值，利用平面向量的线性运算可得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值.
【解答过程】因为，，，则，
所以，，
由题意可知，点为线段的中点，且，，
，，
所以，
.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.
故选：B.

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