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专题6.1 平面向量的概念（重难点题型精讲）
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量的模．
②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
4．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型1 向量的基本概念】
【方法点拨】
根据向量的基本概念，进行求解即可.
【例1】（2022秋·广东珠海·高一期中）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解题思路】既有方向，又有大小的量为向量
【解答过程】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，
故共有5个不是向量.
故选：C.
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
【解题思路】根据向量的定义判断．
【解答过程】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．
海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．
速度既有大小又有方向，是向量，
故选：D．
【变式1-2】（2022秋·福建·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【解题思路】由平面向量的相关概念判断.
【解答过程】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故选：B.
【变式1-3】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【解题思路】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【解答过程】A.和长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
【题型2 向量的几何表示与向量的模】
【方法点拨】
第一步：已给定向量的起点、方向和长度；
第二步：在坐标纸上找准方向、长度；
第三步：画出对应的向量.
【例2】（2022秋·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【解题思路】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可.
（2）由题设知，易知为平行四边形，即可求.
【解答过程】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．
（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，
∴在中，，故为平行四边形，
∴，则（海里）．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
【解题思路】(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【解答过程】(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
【变式2-2】（2022·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【解题思路】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【解答过程】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
【变式2-3】（2022·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标
（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.
【解题思路】利用向量的定义直接求解即可
【解答过程】如图所示.
（1）终点坐标为
（2）终点坐标为
（3）终点坐标为
【题型3 向量相等或共线】
【方法点拨】
判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量
所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【解题思路】根据向量相等与共线的概念即可解决.
【解答过程】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A.
【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项.
【解答过程】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；
因为，则，则，则，
即，即，
，则，，即为的中点，
所以，，C错，D对.
故选：D.
【变式3-2】（2022秋·全国·高一期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据相等向量的定义直接判断即可.
【解答过程】与方向不同，与均不相等；
与方向相同，长度相等，.
故选：D.
【变式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
【解题思路】根据向量共线概念即可求解结果．
【解答过程】因为与不平行，所以与不共线，A错
因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；
因为与不平行，所以与不相等，C错；
因为，则D错．
故选：B.
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【方法点拨】
(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.
(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合.
【例4】（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【解题思路】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；
根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.
【解答过程】（1）
解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）
证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
【解题思路】连接AC，易得，分别为和的中位线，进而可得，且，又向量与方向相同，从而得证.
【解答过程】证明：如图，连接AC，
因为，分别是，的中点，所以为的中位线，
所以，且，
同理，因为，分别是，的中点，所以，且，
所以，且，
因为向量与方向相同，所以.
【变式4-2】（2022·江苏·高一专题练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【解题思路】根据平行四边形及向量相等的定理即可证明；
【解答过程】解：因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：.
【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出.
【解答过程】证明：由可知且，
所以四边形为平行四边形，
从而.
又M，N分别是，的中点，于是.
所以且.
所以四边形是平行四边形.
从而.专题6.1 平面向量的概念（重难点题型精讲）
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
注：
①用字母表示向量便于向量运算；
②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
注：
①向量的模．
②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
注：
①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
注：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
4．向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.
注：
①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
【题型1 向量的基本概念】
【方法点拨】
根据向量的基本概念，进行求解即可.
【例1】（2022秋·广东珠海·高一期中）给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．
其中不是向量的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）以下选项中，都是向量的是（ ）
A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力
C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度
【变式1-2】（2022秋·福建·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
【变式1-3】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【题型2 向量的几何表示与向量的模】
【方法点拨】
第一步：已给定向量的起点、方向和长度；
第二步：在坐标纸上找准方向、长度；
第三步：画出对应的向量.
【例2】（2022秋·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
【变式2-2】（2022·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【变式2-3】（2022·高一课时练习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点，并求终点的坐标
（1），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（2），的方向与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为；
（3），的方向与轴、轴正方向的夹角都是.
【题型3 向量相等或共线】
【方法点拨】
判断两向量是否共线的关键是看两向量所在的直线是否平行或重合；判断两向量是否相等不仅要看两向量
所在的直线是否平行或重合，还要看两向量的模是否相等、方向是否相同.
【例3】（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2022秋·全国·高一期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022秋·湖北十堰·高一期中）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
【题型4 用向量关系研究几何图形的性质】
【方法点拨】
(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.
(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不重合.
【例4】（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
【变式4-2】（2022·江苏·高一专题练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【变式4-3】（2022·高一课时练习）如图，已知在四边形中，M，N分别是，的中点，又.求证：.

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