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第三章 函数
第四节 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的相关概念 ☆ 二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
考点2 二次函数的图象与性质 ☆☆
考点3 二次函数的图象与a、b、c之间的关系 ☆☆
考点4 二次函数与方程、不等式之间的关系 ☆☆☆
■考点一　二次函数的相关概念
1、二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
■考点二　二次函数的图象与性质
1、二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （–，）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=–时，y最小值=。 当x=–时，y最大值=。
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
2、抛物线的图象变换
1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h) +k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h) +k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h) -k；
沿x轴翻折变为：y= -a(x-h) -k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h) +k；
2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
■考点三　二次函数与各项系数之间的关系
1.抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
2.对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0
3.与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
4.特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0；
5.其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
■考点四　二次函数与方程、不等式
1、二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。
2、二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点
ax2＋bx＋c>0的解集情况 xx2 取任意实数
ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1■易错提示
1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。
■考点一　二次函数的相关概念
◇典例1：（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断．
【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误；
B、由得到，是一次函数，故本选项错误；
C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：由于 是二次函数，
且，且，．故选B．
2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
【答案】A
【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形是矩形，∴，，
∴都是等腰直角三角形，∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
◇典例2：（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．
【详解】解：根据题意得，，即，故选：A．
【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【详解】解：A、若直线过点，则，解得，所以，
当时，，故不在直线上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入得
，解得，符合题意；D、由C可知，不合题意．故选：C．
【点睛】主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2．（2023上·山西太原·九年级校考阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，得展开得：
整理得： 根据题意，得解得：．
∴y与x之间的函数关系式为，故答案为：
■考点二　二次函数的图象与性质
◇典例3：（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，∴∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当时，即∴，
∴，故C选项正确，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）（多选题）
A．拋物线的开口向下 B．拋物线的对称轴是
C．抛物线与轴有两个交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
【答案】BC
【分析】将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】解：将点代入得：，解得，，
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；
方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点，选项C正确；
由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，
∴当时，与没有交点，
∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；故选：BC．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
2．（2023年四川省甘孜州中考数学真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，，
即图象与轴有两个交点，故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故此选项不符合题意；
D、，图象的顶点坐标是，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
◇典例4：（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
2.（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，∴顶点坐标为；故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 5 0 m ……
那么m的值为（ ）
A． B． C．0 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象的性质．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
【详解】解：由上表可知函数图象经过点和点，∴对称轴为，
∴当时的函数值等于当时的函数值，
∵当时，，∴当时，．故选：C．
◇典例5：（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
◆变式训练
1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
2.（2021·山东青岛·统考中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
◇典例6：（2023年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得:，且所以对称轴的取值范围在，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
◆变式训练
1.（2023年广东广州中考数学真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
2.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∵分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴
∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，
∴解得： 又∵，∴
∴解得：∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
◇典例7：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4/4或2
【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．故答案为：2或4．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
2.（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．
【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
3．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．
【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．
◇典例8：（2021·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；故选：A．
【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
◆变式训练
1. （2023上·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变
C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变
【答案】D
【分析】根据二次函数图像的平移规律分别判断A，B，根据翻折前后的开口方向，对称轴以及与y轴交点情况判断C，D．
【详解】解：A、若将图象沿y轴平移m个单位，则，
∴a值不变，b值不变，故正确，不符合题意；
B、若将图象沿x轴平移m个单位，则，
∴a值不变，b值变化；故不符合题意；
C、若将图象沿y轴翻折，则开口方向不变，对称轴变化，与y轴交点不变，
∴a值不变，b值变化，c值不变，故正确，不符合题意；
D、若将图象沿x轴翻折，则开口方向变化，对称轴不变，与y轴交点变化，
∴a值变化，b值变化，c值变化，故符合题意；故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，平移规律，以及翻折前后各部分的变化情况．
2．（2023上·福建南平·九年级校考期中）将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换．先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕原点旋转180°后，开口大小没有变化，开口方向与原来的相反，顶点坐标的横纵坐标与原顶点坐标的横纵坐标互为相反数，可据此得出所求的结论．
【详解】解：∵，
∴将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为；故选C．
3．（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移及旋转，将抛物线可化为：，再根据旋转及平移得到原抛物线的解析式，进而可求解，解题的关键是掌握旋转的性质及平移的性质．
【详解】解：抛物线可化为：，绕其顶点旋转得：，
把抛物线先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得：，
即：，，，故选B．
◇典例9：（2023年山东省泰安市中考数学真题）二次函数的最大值是 ．
【答案】
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：
二次函数开口向下，顶点处取最大值，即当时，最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．
◆变式训练
1. （2023年辽宁省大连市中考数学真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】D
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，∴，∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．
◇典例10：（2023·浙江·校联考统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A，B（点A在B的左侧），当时，函数的最大值为8，则b的值为（ ）
A．－1 B． C．－2 D．
【答案】D
【分析】抛物线（）的对称轴为直线，又抛物线开口向下，分和两种情况讨论二次函数在时的最大值，即可求得的值．
【详解】解：抛物线（）的对称轴为直线 ，
∵ ∴抛物线开口向下
当时，对称轴在直线和直线之间，如图1所示，
若，二次函数在顶点处取最大值8，
即当时，，解得，与不符，应该舍去；
当时，如图2所示，若，二次函数的函数值随着的增大而减小，
故二次函数在时取最大值8，
即当时，，解得，符合题意，综上可知，，故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的最值，当对称轴不固定时，正确的分情况讨论是解题的关键所在．
◆变式训练
1. （2022上·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得，根据函数图像可知的值越小，其对称轴越靠左，满足的的值越小，故令即可求得的最大值．
【详解】解：∵函数，且，
∴该函数图像的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，对于该函数图像的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，解得，，
∴满足的的最大值为，即的最大值为．故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质，解题关键是理解题意，借助函数图像的变化分析求解．
2．（2023·浙江·校联考二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由题意可得m＜0，n＞0，则y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．分两种情况讨论：①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，求出m的值，当x＝n时，y取最大值，可求得n的值，即可得到m+n的值；②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，求出m的值，当x＝1时，y取最大值，求出n的值，或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，分别求出m，n的值，故可求解．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10的大致图象如下：
∵mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，∴m＜0，n＞0，
①当n＜1时，x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．
当x＝n时，y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+10，解得：n＝3或n＝﹣3（均不合题意，舍去）；
②当n≥1时，当x＝m时，y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+10，解得：m＝﹣3．
当x＝1时，y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+10，解得：n＝5，
或x＝n时，y取最小值，x＝1时，y取最大值，
2m＝﹣（n﹣1）2+10，n＝5，∴m＝﹣3，所以m+n＝﹣3+5＝2．故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键．
■考点三　二次函数与各项系数之间的关系
◇典例11：（2022·四川遂宁·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴-＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，-2），∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案为：-4＜m＜0．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
◆变式训练
1.（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）

A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可．
【详解】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴，∴对称轴为直线，
当时，则，当时，则，∴a，b异号，故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
2.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）（多选题）

A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C；时函数值的情况，可判断选项D．
【详解】解：A、由函数图象得，抛物线开口向下，故，故A错误；
B、图象与y轴的交点在原点上方，故，故B正确；
C、因为抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误．
D、当时，，故D正确；故选：BD．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．
◇典例12：（2023年山东省聊城市中考数学真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数与直线有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确．
【详解】①∵抛物线开口向下，∴．∵抛物线的对称轴为直线，∴，
由图象可得时，，即，而，∴．故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．
故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∵，，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
故，故②正确；③由图象可知：二次函数与直线有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过，对称轴为直线，∴二次函数必然经过点，
∴时，的取值范围，故④正确；综上，②④正确，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023年湖南省娄底市中考数学真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，∴，∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，∴，∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴．故④符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
2．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【分析】根据抛物线开口方向可得a的符号，可对①进行判断；根据抛物线的对称轴，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对②进行判断；根据点A，点B 代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④．
【详解】解：∵抛物线开 向下，∴，故①错误，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴， 设点B坐标为
∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为，
∴，解得：，∴点B的坐标为，故②正确，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，∴
∴由得，即，故③正确；
∵，抛物线对称轴为直线，∴当时，时函数最大值，
当时，，∴，即，
综上所述：正确的结论有②③④，故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用和二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性是解题关键．
■考点四　二次函数与方程、不等式
◇典例13：（2023湖南省衡阳市中考数学真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，
直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，∴分别是A、B、C、D的横坐标，∴，故选B．

【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，
即二元一次方程的根为、，由根与系数的关系得：，，
一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，
，为异号，，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标即可求解．
【详解】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点是，∴关于x的一元二次方程的两根为：．
故答案为：．
3.（2023年四川省南充市中考数学真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，∴
即解得：或，
当时，如图所示，依题意，当时，，解得：，

当时，，解得，即，
当时，当时，，解得： ∴
综上所述，或，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
◇典例14：（2023·湖北武汉·校考一模）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标，画图草图，结合图像求值即可得出结论．
【详解】解：∵方程，∴，
∴方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，则它们的交点在第一象限，
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
∴方程的实根x所在范围为，故选：B．
【点睛】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
◆变式训练
1.（2023·湖北·校考模拟预测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．

【答案】，
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，，
∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即，
∴关于x的方程的解为，；故答案为，．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
2.（2023·福建福州·校考模拟预测）方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意，的根可视为抛物线与双曲线交点的横坐标，分别求得当时的函数值，根据函数图象即可求解．
【详解】解：依题意，的根可视为抛物线与双曲线交点的横坐标，
当时，，， 当时，，，，
∴方程的实根所在的范围是，故选：B．

【点睛】本题考查了抛物线与反比例函数的性质，根据交点求方程的解，熟练掌握抛物线与反比例函数的性质是解题的关键．
3.（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】A
【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案．
【详解】解：抛物线与一次函数交于两点，
联立，消元得，，
故选：A
【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键．
◇典例15：（2023年浙江省衢州市中考数学真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，，
点，都在直线的上方，且，可列不等式：，
，可得，设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，解得，
，的开口向上，的解为，
根据题意还可列不等式：，
，可得，整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，解得，
，抛物线开口向下，的解为或，
综上所述，可得，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023年四川省泸州市中考数学真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，∴对称轴，
当时，∵当时对应的函数值均为正数，∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，∴解得；当时，∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，∴解得，∴，
∴综上所述，当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
2.（2023·河北廊坊·统考模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．的解是或
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题关键．
1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，，解得：
设∴
∵∴有最大值，最大值为故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上 B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，当时：，
∵，∴，即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；
当时，，∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，∴当时，有最大值为，
当时，有最小值为，∴，故B选项错误；
∵，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当时，抛物线的对称轴为：，
∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
3．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点∴，即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，∴，即，
即，即，∴，，
∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【答案】D
【分析】先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：，
则，，，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，b≥﹣8，故选：D．
【点睛】主要考查的是二次函数图象的平移和两函数的交点问题，二次函数与一次函数图象有公共点．
5．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
6．（2023年湖北省中考数学真题）拋物线与轴相交于点．下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】二次函数整理得，推出，可判断①错误；根据二次函数的的图象与x轴的交点个数可判断②正确；由，代入可判断③正确；根据二次函数的性质及数形结合思想可判断④错误．
【详解】解：①由题意得：，∴，
∵，∴，∴，故①错误；
②∵抛物线与x轴相交于点．
∴有两个不相等的实数根，∴，故②正确；
③∵，∴，故③正确；
④∵抛物线与x轴相交于点．∴抛物线的对称轴为：，
当点在抛物线上，且，
∴或，解得：，故④错误，综上，②③正确，共2个，故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．
7．（2023年青海省西宁市中考数学真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，；④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解．
【详解】解：①直线经过点，，，
抛物线的对称轴为直线，故①正确；
②，由①得，，，，
抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；
③当时，，抛物线也过，
由得方程，方程的一个根为，
抛物线，，
抛物线的对称轴为直线，
与轴的一个交点为，，解得：，
抛物线与轴的另一个交点为，
关于x的方程有两个根，，故③正确；
④当，当时，，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
8．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
9．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．

【答案】4
【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点，
∴抛物线的对称轴为直线，∵当时，，即，
∵轴，∴，关于直线对称，∴，∴；故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
11．（2023·四川·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________．
【答案】或
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，解得，
函数的解析式为，当时，可得，解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
12．（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_______，点的坐标是_______；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】(1)①②或(2)(3)
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，
∴，∴，∴，
∴当时，，∴，
∴点的坐标是；故答案为：；
②，列表如下：
1 3 4
5 0 0 5
画出函数图像如下：

由图可知：当时，或；
（2）∵，∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，∴；
（3）∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，∴，∴，
∴，∴，
当时，有最小值，∴．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
1．（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵是二次函数，∴，解得：，故选A．
【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．
2．（2023·江苏南京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图像先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由折叠的性质，得到翻折后的解析式，然后再向上平移即可．
【详解】解：将函数y＝x2－2x的图像先沿x轴翻折，∴翻折后的解析式为，
∵函数图像再向上平移5个单位长度，∴解析式为：；故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
3．（2023·四川德阳·九年级校考阶段练习）若抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，其中C1的解析式为，则C2的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称，再结合关于原点对称的两个点的坐标关系可得答案.
【详解】解：∵抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，C1的解析式为，
∴C2解析式为： 整理得： 故选：A.
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“关于原点对称的两个函数的函数图象上的对应点也关于原点对称”是解本题的关键.
4．（2023·山东德州·九年级校考阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的增减性的应用，计算对称轴，比较点与对称轴的距离大小，结合性质判断即可．
【详解】∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越小，
∵，∴，故选：B．
5．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时函数值与（ ）
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等
C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的轴对称性质，根据解析式找到对称轴，结合对称性求解即可得到答案；
【详解】解：二次函数的对称轴为：，
∵自变量取两个不同的值，时，函数值相等，
∴，∴的对称点为：，
∴当自变量取时函数值与时的函数值相等，故选：D．
6．（2023·浙江·统考一模）二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3
【答案】D
【分析】按对称轴所在位置情况进行分别作图，由二次函数图像性质可知取到轴距离的最大值的点是图像顶点或两端点，分类讨论即可．
【详解】解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线．
当时，，记作顶点M）；
当时，；记作点P（1，）；当时，，记作点Q（0，-3）；
当时，图象上的点到轴距离的最大值为4，
I．若图像位于抛物线对称轴右侧，即对称轴，如图1：
则点Q为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，此时有 ，解得：，
II．若对称轴在PQ两点之间（包含PQ两点）时，即：对称轴满足，如图2，
①若P为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则 ，此时无解，
②若M为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，，解得：，
III．若图像位于抛物线对称轴左侧，即对称轴，如图3：
此时P为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，
，此时没有符合的解，综上，或3，故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图像的性质找到到轴距离的最大值是解题关键．
7．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】二次函数图象平移中，将和时代入直线和抛物线解析式，当点重合时求出的值，从而获得的取值范围．
【详解】抛物线的解析式为，时，，
将代入得，，
将代入和中得，，
，解得，（舍，
当直线与抛物线相切时，，则，
，则，解得，
的取值范围为．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
8．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ．
【答案】
【分析】根据梯形面积求出，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简即可得到答案；
【详解】四边形是梯形，下底，高为3，
由，得，设，，则，，
∵，∴．∴．∴①，
又顶点纵坐标②，①÷②，得，∴，故答案为；
【点睛】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系及二次函数的性质．
9．（2023·四川成都·统考二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】若，先求二次函数的对称轴，再利用二次函数的对称性对称两点的横坐标之和的一半等于对称轴横坐标即可解答；若，分两种情况：当对称轴在y轴右侧时，当对称轴在y轴左侧时，结合二次函数图象的特性分别进行解答即可．
【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线，
①∵，∴点P、Q关于对称轴对称，∴，解得；
②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或，
∴与关于对称轴对称，当对称轴在y轴右侧时，，
∵，∴，且，解得；
当对称轴在y轴左侧时，，此时，
P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大，
∵，∴，解得；
∴综上，m的取值范围是或．故答案为：；或．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质，并能够熟练运用数形结合是解题的关键．
10．（2023·山东·统考一模）若不等式对恒成立则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将不等式整理得，当x=0时，-6＜0，不等式不成立，得出x≠0，令y=，y是关于a的一次函数，即，根据一次函数的性质得出x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大，当a=-1时，当时y＞0恒成立，解不等式即可
【详解】解：不等式整理得
当x=0时，-6＜0，不等式不成立，∴x≠0，令y=,
∴y是关于a的一次函数，即，
∵x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大，
当a=1时，，
当a=-1时，，
当时y＞0恒成立，∴＞0，
解得，故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，二次不等式，掌握一次函数的性质，二次不等式解法是解题关键，
1.（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴抛物线对称轴为直线
当时， 抛物线对称轴为直线，把代入，得，
∵∴当，时，y有最小值，最小值为．故A正确，B错误；
当时， 抛物线对称轴为直线，把代入，得，
∵∴当，时，y有最小值，最小值为，故C、D错误，故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题关键．
2．（2023年四川省巴中市中考数学真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（ ）

①；②；③当线段长取最小值时，则的面积为；
④若点，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
【详解】直线与抛物线交于、两点，
∴，整理得：，∴，∴正确；
∵，解得：，，
∴，，∴；∴正确；
∵，当时，即轴时，有最小值，
∴，∴；∴正确；
当点时，假设，则：是直角三角形，
取的中点为点，连接，∴，
∵，∴，，
∴点，∴点，∵点，∴，
∴时，，即与不一定垂直；∴错误；∴正确的为：．故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点间的距离公式．
3．（2023·湖南岳阳·校考一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的的取值范围，将转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
①当时，抛物线开口向上，∵时，y随x的增大而减小，
∴，即．解得，∴，
∵，∴．
②当时，抛物线开口向下，∵时，y随x的增大而减小，
∴，即，解得， ∴，
∵，当时，有最大值，
∵，∴此情况不存在．综上所述，最大值为8．故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值．
4．（2023·广东·校联考模拟预测）二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出，与关系，再根据根与系数的关系以及分类讨论即可．
【详解】解：∵当时，该函数有最大值，
∴，解得：，∴，，
∵，∴，至少有一个负数，
当，都小于时，，不符合题意，
当，时，，∴，∴，解得：，
当，时，，∴，
∴，解得：，综上所述，的值为．故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
5．（2023·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
【答案】(1)函数表达式为：，顶点坐标为(2)，(3)
【分析】（1）根据当和时，二次函数的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为1，可写出抛物线的顶点式和顶点坐标，即可解答；
（2）根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，得出的判别式，以及，可求出a，b的值；（3）根据（2）中抛物线的解析式，再根据二次函数的平移规律求出平移后的解析式，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵当和时，二次函数（a，b是常数，）的函数值相等，∴二次函数的对称轴为直线，∵该函数的最大值为1，∴该函数的顶点坐标为，
设函数的解析式为，即，∴，解得，
∴函数表达式为：，∴该函数的顶点坐标为；
（2）∵该函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，∴，
∵对称轴为，∴，将代入中，解得（舍去），，
∴，∴，；
（3）由（2）可得的解析式为：，
∵将抛物线向上平移2个单位得到抛物线，∴，即
∴当时，，
∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，
且，∴，随x的增大而增大，
∴当时，，，
∴，∴，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
备考指南
知识导图
知识清单
考点梳理
真题在线
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第三章 函数
第四节 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的相关概念 ☆ 二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
考点2 二次函数的图象与性质 ☆☆
考点3 二次函数的图象与a、b、c之间的关系 ☆☆
考点4 二次函数与方程、不等式之间的关系 ☆☆☆
■考点一　二次函数的相关概念
1、二次函数的概念：一般地，形如 （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
■考点二　二次函数的图象与性质
1、二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 .
顶点 .
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=–时，y最小值= . 当x=–时，y最大值= .
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
增减性 当x<–时，y随x的增大而 ；当x>–时，y随x的增大而 . 当x<–时，y随x的增大而 ；当x>–时，y随x的增大而 .
2、抛物线的图象变换
1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h) +k，绕顶点旋转180°变为： ；绕原点旋转180°变为： ；
沿x轴翻折变为： ；沿y轴翻折变为： ；
2）二次函数平移遵循“ ”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
■考点三　二次函数与各项系数之间的关系
1.抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上， ；抛物线开口向下， .
2.对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则 ，即ab＜0
3.与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则 ；交于y轴正半轴，则 .
4.特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则 ；若对应的函数值y在x轴上方，则 ；若对应的函数值y在x轴的下方，则 ；
5.其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
■考点四　二次函数与方程、不等式
1、二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。
2、二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 个交点 个交点 个交点
ax2＋bx＋c>0的解集情况 xx2 取任意实数
ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1■易错提示
1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。
■考点一　二次函数的相关概念
◇典例1：（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023上·山东临沂·九年级校考阶段练习）若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系
◇典例2：（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
2．（2023上·山西太原·九年级校考阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ．
■考点二　二次函数的图象与性质
◇典例3：（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大
◆变式训练
1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）（多选题）
A．拋物线的开口向下 B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
2．（2023年四川省甘孜州中考数学真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
◇典例4：（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1. （2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
2.（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 5 0 m ……
那么m的值为（ ）
A． B． C．0 D．5
◇典例5：（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·山东青岛·统考中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2023年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年广东广州中考数学真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
2.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
◇典例7：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
2.（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2021·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2023上·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变 B．将图象沿x轴平移，则a的值不变
C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变 D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变
2．（2023上·福建南平·九年级校考期中）将抛物线绕原点旋转180°得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如果将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，然后绕其顶点旋转，得到新的抛物线，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
◇典例9：（2023年山东省泰安市中考数学真题）二次函数的最大值是 ．
◆变式训练
1. （2023年辽宁省大连市中考数学真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
2.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
◇典例10：（2023·浙江·校联考统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A，B（点A在B的左侧），当时，函数的最大值为8，则b的值为（ ）
A．－1 B． C．－2 D．
◆变式训练
1. （2022上·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023·浙江·校联考二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（　　）
A．3 B． C．2 D．
■考点三　二次函数与各项系数之间的关系
◇典例11：（2022·四川遂宁·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．
◆变式训练
1.（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）

A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
2.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）（多选题）

A． B． C． D．
◇典例12：（2023年山东省聊城市中考数学真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1. （2023年湖南省娄底市中考数学真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
2．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）

A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
■考点四　二次函数与方程、不等式
◇典例13：（2023湖南省衡阳市中考数学真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
3.（2023年四川省南充市中考数学真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A． B．或 C． D．或
◇典例14：（2023·湖北武汉·校考一模）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·湖北·校考模拟预测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．

2.（2023·福建福州·校考模拟预测）方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
3.（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．20
◇典例15：（2023年浙江省衢州市中考数学真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年四川省泸州市中考数学真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．或 C．或 D．或
2.（2023·河北廊坊·统考模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．的解是或
1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是( )
A．点在该函数的图象上 B．当且时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧
3．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
4．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
5．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
6．（2023年湖北省中考数学真题）抛物线与轴相交于点．下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023年青海省西宁市中考数学真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，；④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
8．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
9．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．

11．（2023·四川·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________．
12．（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数（为常数）．
(1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_______，点的坐标是_______；②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；(3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
1．（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数是二次函数的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏南京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝x2－2x的图像先沿x轴翻折，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线所对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川德阳·九年级校考阶段练习）若抛物线C1与抛物线C2关于原点成中心对称，其中C1的解析式为，则C2的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东德州·九年级校考阶段练习）已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当自变量取两个不同的值，时，函数值相等，则当自变量取时函数值与（ ）
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等
C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
6．（2023·浙江·统考一模）二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3
7．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知抛物线，现将其图象向上平移个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川南充·统考二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ．
9．（2023·四川成都·统考二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ．
10．（2023·山东·统考一模）若不等式对恒成立则x的取值范围是 ．
1.（2023年浙江省杭州市中考数学真题）设二次函数是实数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
2．（2023年四川省巴中市中考数学真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（ ）

①；②；③当线段长取最小值时，则的面积为；
④若点，则
A． B． C． D．
3．（2023·湖南岳阳·校考一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
4．（2023·广东·校联考模拟预测）二次函数与轴的两个交点横坐标，满足．当时，该函数有最大值，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江杭州·校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（a，b是常数，a≠0）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．(3)记（2）中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为8，求m的值．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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