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第三章 函数
第三节 反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的概念 ☆ 反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点。
考点2 反比例函数的图象和性质 ☆☆☆
考点3 反比例函数中|k|的几何意义 ☆☆☆
考点4 反比例函数与一次函数的综合 ☆☆☆
考点5 反比例函数的实际应用 ☆
■考点一　反比例函数的概念
反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
■考点二　反比例函数的图象和性质
1、反比例函数的图象和性质
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
2、待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式（k≠0）；2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；3）解这个方程求出待定系数k；4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
■考点三　反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
■考点四　反比例函数与一次函数的综合
1.涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。
2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
■考点五　反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
■易错提示
1.反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2.利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。
■考点一　反比例函数的定义
◇典例1：（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象；综上可知：①②符合要求，故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
◆变式训练
1.（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数解析式判断求解．
【详解】解：根据反比例函数解析式，知：A. ，符合定义，本选项不符合题意；
B. ，符合定义，本选项不符合题意；C. ，不符合定义，本选项符合题意；
D. ，得，符合定义，本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，理解解析式的特征是解题的关键．
2.（2023上·浙江九年级期中）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如： ()或或的函数是反比例函数．
【详解】解：由题意得：，且，，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．()或或的函数是反比例函数．
◇典例2：（2023年重庆市中考数学真题）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答．
【详解】解：将代入反比例函数得到，故项不符合题意；
项将代入反比例函数得到，故项不符合题意；
项将代入反比例函数得到，故项符合题意；
项将代入反比例函数得到，故项不符合题意；故选．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数图象上则其坐标一定满足函数解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年广东省中考数学真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ．
【答案】4
【分析】将代入中计算即可；
【详解】解：∵，∴故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
2.（2023·陕西榆林·统考二模）若点在反比例函数的图像上，则代数式 ．
【答案】
【分析】由点A在反比例函数图像上，可以求出的值，然后再代入计算即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，理解点在反比例函数图像上可以得出点的横纵坐标之积为定值是解答本题的关键．
■考点二　反比例函数的图象与性质
◇典例3：（2023上·山东泰安·九年级统考期中）反比例函数的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一象限和第三象限；当时，图象位于第二象限和第四象限．根据反比例函数的图象和性质即可进行解答．
【详解】解：，，
反比例函数的图象的两个分支分别位于第二象限和第四象限，故选：B．
◆变式训练
1．（2023·福建三明·统考一模）反比例函数的图像如图所示，则的值可以是下列中的（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函图像经过第二、四象限，此时，即可得出答案．
【详解】解：由图像可知，反比例函图像经过第二、四象限，，，故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，熟练掌握知反比例函数图像所在的象限与k的关系是解题的关键．
2．（2023下·天津红桥·九年级统考阶段练习）已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数（，为常数，）的图象判定，确定图象分布，判断即可．
【详解】解：根据一次函数（，为常数，）的图象判定，
∴的图象分布在二四象限，反比例函数的图象分布在二四象限，故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键．
◇典例4：（2023·广东广州·校考一模）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查反比例函数图象的性质．根据反比例函数的图象位于二、四象限，则，解不等式即可得到a的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限，，．故选：C．
◆变式训练
1．（2023·福建莆田·校考三模）若双曲线在第一、三象限，则k可以是 ．（写出一个k的值即可）
【答案】2
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由即可解得答案．
【详解】解∶∵反比例函数的图象在第一、 三象限内．
∴．故答案为∶ 2 (答案不唯一，大于0即可) ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质∶当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
2.（2022·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用反比例函数增减性得出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，
则有，解得．故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
◇典例5：（2023年湖北省武汉市数学真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故不符合题意．故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键．
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，若x越大，则对应的y值也越大
D．若、是其图象上两点，则不一定有
【答案】C
【分析】根据函数关系式画出函数图象，根据函数图象，逐项判断即可．
【详解】解：函数的图象如图所示：

A、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意；
B、由图示知，当时，y随x的增大而增大．故本选项结论正确，不符合题意；
C、由图示知，在同一象限内，当时，若x越大，则对应的y值也越大．若不在同一象限内则时，，时，，故本选项结论错误，符合题意；
D、由图示知，若，，则．故本选项结论正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性，反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大．
2．（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象性质进行逐项分析即可作答．
【详解】解：A、∵，∴，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C、反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意；
D、当时，则，∴函数图象经过点，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，当，反比例函数经过第一、三象限；当，反比例函数经过第二、四象限；难度较小．
◇典例6：（2023年山东省济南市中考数学真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，此函数图象在二、四象限，
，点，在第二象限，，，
函数图象在第二象限内为增函数，，．
，点在第四象限，，，，的大小关系为．故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
◆变式训练
1．（2023年天津市中考数学真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，，∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，∴，∴；故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
2．（2023年湖北省中考数学真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．
【详解】解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，∴解得：，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．
◇典例7：（2023·江苏盐城·统考二模）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
(1)当时，y的值；(2)当时，y的取值范围；(3)当且时，x的取值范围．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】作出反比例函数图象，如图所示，（1）把代入反比例解析式求出y的值即可；
（2）分别求出与时y的值，结合图象确定出y的范围即可；
（3）分别求出与时x的值，结合图象确定出x的范围即可．
【详解】（1）解：作出反比例函数的图象，把代入得：；

（2）解：当时，；当时，，根据图象得：当时，y的取值范围为；
（3）解：当时，；当时，，
根据题意得：当且时，x的取值范围为或．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．
◆变式训练
1. （2022·陕西·中考真题）已知点A( 2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
【答案】y=
【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A( 2，m)，∴A′(2，m)，
∵点A′在正比例函数的图象上，∴m=×2，解得：m=1，∴A( 2，1)，
设这个反比例函数的表达式为y=，∵A( 2，1) 在这个反比例函数的图象上，∴k=-2×1=-2，
∴这个反比例函数的表达式为y=，故答案为：y=．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
■考点三　反比例函数系数k的几何意义
◇典例8：（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，

∵轴，∴轴，∵点A在函数的图象上，∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，∴四边形的面积等于；故选B．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）

A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
【详解】解：轴于点M，轴于直N，，四边形是矩形，
四边形的面积为2， ，
反比例函数在第一、三象限，，故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
2．（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，

∵，，∴．
∴．∴．∵点在第二象限，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
◇典例9：（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

【答案】 2
【分析】根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．
【详解】解：∵，∴，∴，
过点B作轴于点D，交于点E，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，
∴，整理得：，
令，则，解得：（舍），，
∵，∴，即，∴，故答案为：，2．

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用面积关系建立方程．
◆变式训练
1. （2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．

【答案】
【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为8，当时，的纵坐标为4，当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，当时，的纵坐标为，…则；
；；；…；
，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．
2.（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为，过点B作轴于点C，连接，则的面积为（ ）

A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据点A在反比例函数图象上，设，根据位似比为1∶2得，设过点B的反比例函数解析式为：，计算得，可得过点B的反比例函数解析式为：，根据反比例函数中k的几何意义，可得的面积，再算出的面积即可得．
【详解】解：∵点A在反比例函数图象上，∴设，
∵以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1∶2，∴，
设过点B的反比例函数解析式为：，则，
∴过点B的反比例函数解析式为：，∴，
∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了位似比，待定系数法求反比例函数，反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
■考点四　反比例函数与一次函数综合
◇典例10：（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D．
【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键．
◆变式训练
1.（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和反比例函数图象的性质进行判断即可．
【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k，∴两个函数图象必有交点，
交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有选项C，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质．
◇典例11：（2023年内蒙古中考数学真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点，∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式的解集是：，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．
◆变式训练
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】先利用对称性求出点B的坐标为，再利用函数图象法进行求解即可．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，
∴由对称性可知，点B的坐标为，
由函数图象可知，当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，即此时，
∴若，则的取值范围是或，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确找出正比例函数图象在反比例函数图象的下方时自变量的取值范围是解题的关键．
2．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）

A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；
B、当时，，则此项正确，符合题意；
C、当时，，则此项错误，不符合题意；
D、当时，，则此项错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
◇典例12：（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．(1)求k、b的值；(2)求的面积；(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．
【答案】(1)k的值为16，b的值为；(2)的面积为6(3)点P的坐标为
【分析】（1）将点代入反比例函数，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点的公式，求得，再根据菱形的性质，得到，，进而得到，将代入，利用待定系数法即可求出b的值；
（2）先求出直线与坐标轴的交点坐标和，再求出 ，，即可得到的面积；
（3）作关于x轴的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，根据坐标两点的公式，求得，再根据轴对称的性质，得到，进而得到，即当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，利用待定系数法求出直线的解析式为，令，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，，解得：；
点A的坐标为，点D的坐标为，，
四边形是菱形，，，轴，，
将代入，得：，解得：，的值为16，b的值为；
（2）解：由（1）知，直线解析式为，
令，则，令，则，解得：，，，，
点A的坐标为，，，
，，
；的面积为6；
（3）解：如图，作关于x轴的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接， ，，，
、关于轴对称，，，
当P、、C构成三角形时，，即，
当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，
设直线的解析式为，
，解得：，直线的解析式为，
令，则，解得：，，
取得最大值时，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代行系数法求函数解析式，坐标两点的公式，菱形的性质，三角形面积问题，轴对称的性质等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和． (1)求一次函数的表达式；(2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将点 和 代入反比例函数的解析式，求得的值，确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图像的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得 值．
【详解】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点，
∴，，解得，，∴，，
∵，在一次函数（）的图像上，
∴，解得，所以，一次函数的表达式是；
（2）将直线沿轴负方向平移个单位，可得，
联立，消去y可得，整理可得，
因为只有一个交点，所以，解得，
所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移问题、一元二次方程的应用等知识，综合运用相关知识是解此题的关键．
2．（2023·湖南娄底·九年级统考期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)写出的解集；(3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标．
【答案】(1)，(2)或(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质求出点C坐标，然后利用待定系数法分别求出反比例函数与一次函数的解析式即可；（2）联立两函数解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象可得答案；（3）设P点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积列方程求出x，然后可得对应的P点坐标．
【详解】（1）解：∵正方形，，，∴，∴，
把代入得：，∴，∴反比例函数解析式为；
把，代入一次函数得：，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）联立，解得：或，∴，，
由函数图象可得，的解集是：或；
（3）设P点的坐标为，∵，∴，解得：，
当时，；当时，；∴P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积计算等知识．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键．
■考点五　反比例函数的实际应用
◇典例13：（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
【答案】D
【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
∵当时，，月份的利润为万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；C、设一次函数解析式为：，
则，解得：，故一次函数解析式为：，
当时，，解得：，
∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．
D、当时，，解得：，
∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·河北保定·统考一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为
【答案】C
【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可．
【详解】解：∵，∴玻璃加热速度为，故A选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，
代入点可得，，∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是，
故B选项不合题意；∴设玻璃温度上升时的函数表达式为，
由题可得，在正比例函数图象上，代入点可得，，
∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是，
∴将代入，得，∴将代入，得，
∴，∴能够对玻璃进行加工时长为，故C选项符合题意；
将代入得，，∴，
∴玻璃从降至室温需要的时间为，故D选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键．
2．（2023·河南信阳·校考三模）湿度是指空气的干湿程度，或含有的水蒸气的多少，天气预报中最常用的是相对湿度，相对湿度是空气中实际水蒸气含量与同温度下的最大可容纳水蒸气含量的百分比值，符号为%RH．人体感觉舒适的湿度一般为40%RH~70%RH．如图1所示为某实验室的自动除湿机简化后的电路图，R为装在除湿机内的湿敏电阻，其阻值随相对湿度变化的图象如图2所示，当湿敏电阻R的阻值发生变化时，控制电路中线圈的电流I随之发生变化，控制电路中总电阻（调控电阻和湿敏电阻R的阻值之和，其他忽略不计）与电流I的关系图象如图3所示，当电流大于或等于20mA时，L的两个磁性弹片相互吸合，工作电路的压缩机开始带动系统进行除湿．下列说法不正确的是（ ）

A．相对湿度越高，湿敏电阻R的阻值越小
B．当相对湿度为35%RH时，湿敏电阻R的阻值为150Ω
C．当湿敏电阻R的阻值为50Ω时，实验室内的相对湿度在人体感觉舒适的湿度范围内
D．当相对湿度为45%RH时，若要压缩机开始工作，则调控电阻的阻值不能低于500Ω
【答案】D
【分析】根据所给条件和函数图象，逐条分析判断即可．
【详解】由题图2，可知湿敏电阻R的阻值随相对湿度的增大而减小，且当时，，故选项A，B说法正确，不符合题意．
当时，，在40%RH~70%RH范围内，故选项C说法正确，不符合题意．
当时，湿敏电阻．若要压缩机开始工作，则电流，．
∴调控电阻，故选项D说法错误，符合题意．故选D
【点睛】本题考查了函数及其图象的意义，正确读取图象信息是解题的关键．还要明白在电压一定时，电阻越大电流越小．
1．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
2．（2023年广东广州中考数学真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限，
∴正比例函数经过二、四象限，∴，
∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数的图象一定不经过第三象限，故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质．
3．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
4．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，故选：B．
【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．
5．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则

∴∴ ∵,∴∴解得：
∵点在上，∴解得：
∴直线的解析式为当时，即
又反比例函数在第一象限内的图象交于点∴,故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．
6．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，当时，，即，
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，解得，
，即，解得，故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
7．（2023年江苏省南通市中考数学真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．

【答案】2500
【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得，
即反比例函数为：，将代入，得，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
8．（2023年山东省日照市中考数学真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
【答案】（满足都可以）
【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可．
【详解】解：，一次函数的图象必定经过第二、四象限，
，反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限，，∴，
∵，∴，∴满足条件的k值可以为1.5，故答案为：1.5（满足都可以）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．
9．（2023年河北省中考数学真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为∴k可以取4．故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
10．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．

【答案】(1)，(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，∴将代入
∴，∴将代入得，，∴，
∵点的纵坐标是，∴将代入得，，∴，
∴将代入得，，∴解得，∴；
（2）如图所示，

由题意可得，，，∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，∴，∴当时，，∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式的解集；(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．

【答案】(1)，图见解析(2)或(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；（2）图象法求出不等式的解集即可；（3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，∴，∴，∴，
∴，解得：，∴，图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：设直线与轴交于点，
∵，当时，，当时，，∴，
∴，∴，解得：；∴；
当点在轴负半轴上时：，

∴解得：或（不合题意，舍去）；
∴．综上：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】C
【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断．
【详解】由杠杆平衡条件：，
∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，
∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系．故选：C
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键．
2．（2023·河南信阳·统考一模）下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：当时，函数的图象在第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；当时，函数的图象在第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，选项B正确，符合题意. 故选：B．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解答的关键．
3．（2023·河南南阳·统考二模）已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（ ）
A．该双曲线的解析式为 B．点在该双曲线上
C．该双曲线在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：双曲线经过点，可得，即，A选项正确，不符合题意；
将代入得，，B选项正确，不符合题意；
∵∴该双曲线在第二、四象限，C选项正确，不符合题意；
当时，y随x增大而增大，D选项错误，符合题意；故选：D
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．
4．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，，，为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，当时，图象过二四象限，再根据 ，可判断各选项内的取值范围，进而求解．
【详解】解：∵，∴双曲线图象在第二，四象限，
A、当时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；
B、当时，则，∴在第二象限，在第四象限，
∴，选项正确，符合题意．
C、当时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；
D、当 时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，∴双曲线过一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，
∵，∴在第三象限，在第一象限，∴，解得：；故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
6．（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A．2 B． C．m D．4
【答案】A
【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到．
【详解】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为，∴，
∵点A在点第一象限，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
7．（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是 ．（写出一个即可）．

【答案】2（答案不唯一）
【分析】先确定的取值范围，然后在范围内去一个值即可．
【详解】如图，在上任取一点，作轴，交与点，作轴，过点作轴，设，则，∴，．

∵，∴．∵，∴．∴k的值可以是2．故答案为：2．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，C，D两点在双曲线（）上，A、B两点在双曲线（，）上，若轴，且，则三角形的面积 ．

【答案】
【分析】如图，过点C作轴于点F，作轴于点G，过点D作轴于点E，则四边形是矩形，设点C和点D的坐标，得到点A和点B的坐标，得到和的长，然后由列出方程，化简得到a与b的关系，然后用切割法求得五边形的面积，由反比例系数k的几何意义求得、、矩形的面积，从而得到梯形的面积和的面积相等，最后求得的面积．
【详解】解：如图，过点C作轴于点F，过点D作轴于点E，

设，，∴点，，
∴，，，，，
∵，∴，化简得，，
∴，
∵点C和点D在反比例函数上，∴，，
∴，∴，
∵，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
9．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率与电阻函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识，（表示电压为定值6V，表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
... 5 10 15 20 25 ...
... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ...
第四步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想大于30W，的取值范围．
【答案】(1)A(2)，第五组数据是错误的(3)详见解析(4)
【分析】（1）根据上面日记中，数据分析过程即可得到答案；（2）由和可得关于的函数表达式为，在代入数据即可判断第几组数据是错误的；（3）先描点，再用平滑的曲线连起来即可；（4）若想大于30W，则，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：上面日记中，数据分析过程，利用函数图象来观察功率与电阻的关系，主要运用的数学思想是数形结合；故答案为：A；
（2）解：由和可得关于的函数表达式为，
，，当时，不在函数表达式上，
时，是明显错误的；P关于R的函数表达式是：；
（3）解：在该坐标系中描出表中前4组数据对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点，作出此函数的图象如图所示：
（4）解：若想大于30W，即，则，且，
则的取值范围．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意求出反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质，采用数形结合的思想，是解题的关键．
10．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数的图象过点和两点．

(1)求和的值；(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和的值分别为，；(2)，(3)点或。
【分析】（1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值；
（2）设点，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标；（3）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：函数的图像过点和两点，
，解得，故和的值分别为，；
（2）解：，，设直线的解析式为：，
把代入，得，解得，∴直线的解析式为：，
过点作轴于点，交直线于点，

设，，，
，或（不符合题意舍去），
（3）解：，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，
点在直线上，，，即，直线的解析式为：；
当时，，∴，当时，，∴，
根据题意，分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；
如图，过做轴于点，可知：，
，，
又，，又，
，，
故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标，
，且在第二象限，即；
②以为直角边，为直角顶点；同①理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得．综上所述：点或
【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
11．（2023·四川成都·成都七中校考三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．

【答案】(1)；(2)点的坐标为或(3)
【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得的值，再列方程求得点B的坐标即可解答；（2）求出和的长，再利用三角函数求得点到的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答；（3）求出直线：与反比例函数，只有一个交点时的值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线：经过该对应点坐标时，与反比例函数翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的值，即可得到k的取值范围．
【详解】（1）解：代入，可得，解得，，
将代入，可得，解得，反比例函数的解析式为，
列方程，解得，，经检验，，是方程的解，
当时，，；
（2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，当时，得，解得，

当时，得，，，，
设，故，，，
，可得方程，解得，，
点的坐标为或；
（3）解：列方程，整理得，
当和，只有一个交点时，只有一个解，
此时，即，解得，
当时，方程为，解得，和的交点为，
如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，故，，，

当时，可得，解得，，，，
，，，
，点M的横坐标为，
当时，可得，，，
将代入，可得，解得，
满足条件的k的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键．
1．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将点代入，求出的值，再根据，即可求出的取值范围．
【详解】反比例函数的图象经过点，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键．
2．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，设点的坐标为，
∵矩形的对称中心M，∴延长恰好经过点B，，

∵点D在上，且，∴，∴，
∴ ∵在反比例函数的图象上，∴，
∵，∴，
解得：，∴，故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
3．（2023·江苏南通·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连接，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作轴于点M，求出，即可求出k的值．
【详解】解：设，，，
∵，轴，，
设AB的函数关系式为：，把代入得：，解得：，
∵，，
设的关系式为：，把代入得：，解得：，
∴的关系式为：，联立，解得：或，
∵点D在第一象限，∴，，
连接，设与轴交于点，，
∵，，
为的中点，，，，∴，
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∵，∴，∵，，
∵，∴，∴，
过点A作轴于点M，∵，，，
∴，，，，∴．故选：A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键．
4．（2022·福建三明·统考模拟预测）反比例函数（，为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
；四边形的面积为；当时，点是的中点；
若，则四边形为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【答案】
【分析】由反比例函数的几何意义可得答案；，进行计算即可得到答案；连接，根据已知条件得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；由知，，解得：，得到不一定等于，从而得出结论．
【详解】解：轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，轴，轴，
点在反比例函数上，，故正确，符合题意；
点在的图象上，轴于点，轴于点，，
，故正确，符合题意；
连接，，，
，
在函数的图象上，点在的图象上，
，，，，，
点是的中点，故正确，符合题意；
，由知，，解得：，
点在的图象上运动，不一定等于，
四边形不一定为正方形，与的取值无关，故错误；
综上所述，正确的是：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，所得三角形的面积为，熟练掌握此知识点是解题的关键．
5．（2023·广东深圳·校考模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)或
【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上；（2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；（3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，由题意得：，
∴四边形为矩形，∵，，∴，，
把点代入得：，∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，

由题意得四边形是矩形，∴，，，
∴，∴，∴
∵，∴．∴，
∵轴，∴，∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，
∴，解得：或（舍去），∴，∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，，
作于I，则，，，，
则，，即，
同理，当D点在上方时，有．
【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
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第三章 函数
第三节 反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的概念 ☆ 反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点。
考点2 反比例函数的图象和性质 ☆☆☆
考点3 反比例函数中|k|的几何意义 ☆☆☆
考点4 反比例函数与一次函数的综合 ☆☆☆
考点5 反比例函数的实际应用 ☆
■考点一　反比例函数的概念
反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做 ．
自变量x和函数值y的取值范围都是 的任意实数．
■考点二　反比例函数的图象和性质
1、反比例函数的图象和性质
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第 象限 第 象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而 。 在每个象限内，y随x的增大而 。
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
2、待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
1）设反比例函数解析式（k≠0）；2）把已知一对x，y的值代入 ，得到一个关于待定系数k的方程；3）解这个方程求出待定系数k；4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
■考点三　反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
■考点四　反比例函数与一次函数的综合
1.涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出 。若求时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象 反比例函数图象的部分所对应的x的范围；反之亦然。
2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有 ；②k值异号，两个函数可 交点，可有 交点，可有 交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的 的情况．
■考点五　反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定 ，再 找出解决问题的方案，特别注意 取值范围．
■易错提示
1.反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2.利用|k|的几何意义求出的k带有绝对值，需要结合图象分布象限来确定具体的符号。
■考点一　反比例函数的定义
◇典例1：（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
◆变式训练
1.（2023·湖北恩施·校考模拟预测）下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023上·浙江九年级期中）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ．
◇典例2：（2023年重庆市中考数学真题）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年广东省中考数学真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ．
2.（2023·陕西榆林·统考二模）若点在反比例函数的图像上，则代数式 ．
■考点二　反比例函数的图象与性质
◇典例3：（2023上·山东泰安·九年级统考期中）反比例函数的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·福建三明·统考一模）反比例函数的图像如图所示，则的值可以是下列中的（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2023下·天津红桥·九年级统考阶段练习）已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，则正比例函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
◇典例4：（2023·广东广州·校考一模）已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·福建莆田·校考三模）若双曲线在第一、三象限，则k可以是 ．（写出一个k的值即可）
2.（2022·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（2023年湖北省武汉市数学真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则
◆变式训练
1.（2023·广东深圳·深圳外国语学校校考模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，y随x的增大而增大
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，若x越大，则对应的y值也越大
D．若、是其图象上两点，则不一定有
2．（2023·山西晋城·统考一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点
◇典例6：（2023年山东省济南市中考数学真题）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年天津市中考数学真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年湖北省中考数学真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◇典例7：（2023·江苏盐城·统考二模）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：
(1)当时，y的值；(2)当时，y的取值范围；(3)当且时，x的取值范围．
◆变式训练
1. （2022·陕西·中考真题）已知点A( 2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
■考点三　反比例函数系数k的几何意义
◇典例8：（2023年湖南省湘西初中学业水平数学试题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）

A．2 B． C．1 D．
2．（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．3
◇典例9：（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，则的面积为 ；若的面积为，则 ．

◆变式训练
1. （2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．

2.（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为，过点B作轴于点C，连接，则的面积为（ ）

A．6 B．8 C． D．
■考点四　反比例函数与一次函数综合
◇典例10：（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1.（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
◇典例11：（2023年内蒙古中考数学真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
◆变式训练
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是 ．
2．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）

A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，
◇典例12：（2021·广东江门·校考三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、．(1)求k、b的值；(2)求的面积；(3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和． (1)求一次函数的表达式；(2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值．
2．（2023·湖南娄底·九年级统考期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)写出的解集；(3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标．

■考点五　反比例函数的实际应用
◇典例13：（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
◆变式训练
1．（2023·河北保定·统考一模）某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（ ）
A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为
C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为
2．（2023·河南信阳·校考三模）湿度是指空气的干湿程度，或含有的水蒸气的多少，天气预报中最常用的是相对湿度，相对湿度是空气中实际水蒸气含量与同温度下的最大可容纳水蒸气含量的百分比值，符号为%RH．人体感觉舒适的湿度一般为40%RH~70%RH．如图1所示为某实验室的自动除湿机简化后的电路图，R为装在除湿机内的湿敏电阻，其阻值随相对湿度变化的图象如图2所示，当湿敏电阻R的阻值发生变化时，控制电路中线圈的电流I随之发生变化，控制电路中总电阻（调控电阻和湿敏电阻R的阻值之和，其他忽略不计）与电流I的关系图象如图3所示，当电流大于或等于20mA时，L的两个磁性弹片相互吸合，工作电路的压缩机开始带动系统进行除湿．下列说法不正确的是（ ）

A．相对湿度越高，湿敏电阻R的阻值越小
B．当相对湿度为35%RH时，湿敏电阻R的阻值为150Ω
C．当湿敏电阻R的阻值为50Ω时，实验室内的相对湿度在人体感觉舒适的湿度范围内
D．当相对湿度为45%RH时，若要压缩机开始工作，则调控电阻的阻值不能低于500Ω
1．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023年广东广州中考数学真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
4．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．

A． B． C． D．
6．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）

A． B． C． D．1
7．（2023年江苏省南通市中考数学真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．

8．（2023年山东省日照市中考数学真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
9．（2023年河北省中考数学真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

10．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．

11．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式的解集；(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．

1．（2023·山西忻州·校联考模拟预测）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（ ）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系
2．（2023·河南信阳·统考一模）下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南南阳·统考二模）已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（ ）
A．该双曲线的解析式为 B．点在该双曲线上
C．该双曲线在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小
4．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，，，为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A．2 B． C．m D．4
7．（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是 ．（写出一个即可）．

8．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，C，D两点在双曲线（）上，A、B两点在双曲线（，）上，若轴，且，则三角形的面积 ．

9．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率与电阻函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识，（表示电压为定值6V，表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
... 5 10 15 20 25 ...
... 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 ...
第四步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想大于30W，的取值范围．
10．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数的图象过点和两点．
(1)求和的值；(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2023·四川成都·成都七中校考三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．

1．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023·江苏南通·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
4．（2022·福建三明·统考模拟预测）反比例函数（，为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
；四边形的面积为；当时，点是的中点；
若，则四边形为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

5．（2023·广东深圳·校考模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
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