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2024年中考数学一轮专题：二次函数
一、单选题
1．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是
2．把函数的图象向下平移1个单位长度，则平移后的图象所对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下结论：
①抛物线的开口向上
②抛物线的对称轴是直线
③抛物线与y轴的交点坐标为
④由抛物线可知的解集是
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．若二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的取值范围是（ ）
… …
… …
A． B． C． D．
6．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
7．反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知二次函数的部分图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②；③若时，，则点的坐标是；④若时，，则周长的最小值是．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题
9．二次函数的图像的顶点坐标是
10．关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则的最大值是 ．
11．某服装店购进一批单价为50元的衬衫，如果按90元销售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种衬衫的销售价每降低1元，其销售量相应增加2件．当降价 元时，该服装店的销售利润最大．
12．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点到的距离为，，、为桥拱底部的两点，且，点到直线的距离为，则的长为 m．
13．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，连接，．
（1）的度数是 ；
（2）若点P是上一动点，则的最小值为 ．
14．已知二次函数，当自变量分别取时，对应的函数值分别为，则关于的大小关系是 ．
15．已知函数，有下列结论：①图象具有对称性，对称轴是直线；②当时，函数有最大值是4；③点，点在该函数图象上，则当时，；④函数图象与直线有4个交点，其中正确结论的序号是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点．矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 ．
三、解答题
17．已知二次函数的图像的顶点为，且过点，求该二次函数的解析式．
18．我市干鲜经销公司，进了一种海味虾米共2000千克．进价为每千克20元，物价局规定其销售单价不得高于每千克50元，也不得低于每千克20元．市场调查发现：单价定为50元时，每天平均销售30千克；单价每降低1元，每天平均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用400元（天数不足一天时按整天计算）．设销售单价为每千克x元，每天平均获利为y元，请解答下列问题：
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当销售单价是每千克多少元时，每天平均获利最多，最多利润是多少元？
(3)若将这种虾米全部售出，比较每天平均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利润最多？多多少？
19．已知二次函数．
(1)将化成的形式；
(2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式．
20．如图，在中，．点D为线段上一动点（不与点A，C重合），把线段绕点B顺时针旋转后并延长为原来的2倍得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知，设，在点D的运动过程中，的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
21．从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离．
22．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断点是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由．
23．抛物线与x轴交于，，两点，与y轴交于A点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内．
①连接与直线交于点D，求的最大值；
②过点P作y轴的垂线交y轴于点M，若，求此时点P的横坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系；
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴时，随增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的，
把代入得
∴抛物线经过，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移；根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律可得答案．
【详解】解：把函数的图象向下平移1个单位长度得到的解析式为，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线，
∵时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，故选项①②正确；
∵当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项③正确；
∵和时，，
∴当，，
的解集是，故选项④正确，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的综合判定，根据二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：A、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的负半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误；
B、由二次函数图象开口向下 ，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，两者矛盾，故此选项错误；
C、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，符合要求，故此选项正确；
D、由二次函数图象开口向下 ，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误；
故选C．
5．C
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：由表格数据可得，当时，，当时，，
∴方程的一个解的取值范围是，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，由题意可知，以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过、、、，运用待定系数法求出解析式后，求函数值的最大值即可，解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标．
【详解】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
7．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，数形结合．根据反比例函数的图像与性质可得，从而得到抛物线的开口向下和对称轴为，进而得到的取值范围；由抛物线与轴交于点，可得，推出即可求出的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图像过第二象限，
，
当时，，
，
抛物线的开口向下，对称轴为，
抛物线的对称轴为直线，
，
依据题意得，
，
，
即，
故选：C．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数与轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式、轴对称的性质，由图象可得二次函数与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，从而得到二次函数与轴的另一个交点为，即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；待定系数法求出二次函数解析式为，由此即可判断③；作原点关于直线的对称点，则，连接交直线于，此时的值最小，此时周长有最小值，求出，从而即可得出答案，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：二次函数与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点为，
关于的方程的解是，，故①正确，符合题意；
由图象可得，当时，，故②正确，符合题意；
若时，，
二次函数的顶点坐标为，
将，，代入二次函数可得，
解得：，
二次函数的解析式为：，
在中，当时，，
，故③正确，符合题意；
若时，，此时，，
，
如图，作原点关于直线的对称点，则，连接交直线于，
，
，
此时的值最小，
此时周长有最小值，
，
周长的最小值为，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数图像的顶点式解析式，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．如果，那么函数图像的顶点坐标为，根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
【详解】解：二次函数 图像的顶点坐标是，
故答案为：．
10．2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，用配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程有两个不相等的实根，，
可得，，，
∵，可得，，即，
化简得∶，
则，
故最大值为2．
故答案为：2．
11．15
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设降价元，总利润为元，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设降价元，总利润为元，由题意，得：
，
整理，得：，
∴当时，的值最大；
故答案为：15．
12．
【分析】本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度较大．首先建立平面直角坐标系，设与轴交于点，求出的长，然后设该抛物线的解析式为：，根据题干条件求出a和k的值，再令，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，即可求解．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图：
设与轴交于点，
由题可知：
设该抛物线的解析式为：，
顶点坐标，
代入点
抛物线∶，
当时，，
故答案为： ．
13． 90 /
【分析】本题考查了二次函数的综合题，抛物线与坐标轴的交点，二次函数求最值：
（1）分别求出点A、B、C的坐标，判断是直角三角形即可得到答案；
（2）依据垂线段最短，利用等积法求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
解得或，
点B在点A的左侧，
点B的坐标为，点A的坐标为，
，
当时，，
点C的坐标为，
由勾股定理得，，
，
是直角三角形，且，
故答案为：90；
（2）当时，取最小值，
则，
，
解得：，即的最小值为，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，得到对称轴为直线，且开口向上，据此即可比较大小．
【详解】解：由二次函数可得：对称轴为直线，且开口向上，离对称轴越近函数值越小，
∵，
∴
故答案为：．
15．①③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意画出对应的函数图象，再利用函数图象进行求解即可．
【详解】解：如图所示，在x轴上方（包含x轴上）的函数图象即为，
∴的图象具有对称性，对称轴为直线，故①正确；
由函数图象可知，没有最大值，故②错误；
由函数图象可知，当，y随x增大而增大，
∴当时，，故③正确；
由函数图象可知，函数图象与直线有4个交点，故④正确；
故答案为：①③④．
16．13
【分析】本题考查了二次函数几何综合，数形结合是关键．设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可．
【详解】解：设点，
∴．
又抛物线的对称轴是直线，
∴C的横坐标为．
∴．
∴矩形的周长．
∴当时，周长L有最大值13．
故答案为：13．
17．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的解析式为，根据二次函数的顶点为，得到，再把点代入求出，问题得解．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的顶点为，
∴，
∵二次函数过点，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为．
18．(1)
(2)当销售单价是每千克元时，每天平均获利最多，最多利润是612.5元
(3)销售单价最高这种销售方式获总利润最多，多6200元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，依据：销售问题的数量关系日获利每千克的获利销售数量支出费用运用，求出函数的解析式是关键．
（1）由日均获利（售价成本）销售量其他费用400元，由此关系式列出函数关系式；
（2）由（1）中的关系式配方，求最大值．
（3）分别计算出日均获利最多时的利润额和销售单价最高时的利润额，做差比较即可．
【详解】（1）解： ，
答：与之间的函数关系式为；
（2）解：
，
二次函数开口向下，
当时，
答：当销售单价是每千克元时，每天平均获利最多，最多利润是612.5元；
（3）解：当每日平均获利最多时，，日销售量，
销售天数为，
获总利润为：（元；
当销售单价最高时，，日销售量，
销售天数为
获总利润为：；
故当销售单价最高时获总利润最多．
（元
答：销售单价最高这种销售方式获总利润最多，多6200元．
19．(1)
(2)先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可）
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式；
（2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
将化成的形式为；
（2）解：由（1）中抛物线可化为，
抛物线经过平移得到可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)20
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题：
（1）由旋转的性质可得，进而推出，再证明即可证明；
（2）由相似三角形的性质得到，则，即可证明；
（3）由相似三角形的性质得到，由勾股定理求出，则，进而得到，则当时，有最大值，最大值为20．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为20．
21．
【分析】本题考查了二次函数的应用；由题意可知顶点，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出的值，这样就可以求出的值．
【详解】解：依题意，顶点，
设抛物线的解析式为，将点代入，得
，
，
抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：舍去，，
∴，即水的落地点与点的距离为．
22．(1)二次函数的解析式为，
(2)在该二次函数的图象上，的面积为
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
（1）用打定系数法求解即可；
（2）把代入解析式即可判断点是否在该二次函数的图象上，然后根据三角形的面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵当时，，
∴点是在这个二次函数的图象上，
∴的面积．
23．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当时，由（1）可得点A坐标由勾股定理得即可求解；
（3）①过点P作轴垂线交直线于点E得将转化为即可求解；②由可得设出点P坐标即可求解．
【详解】（1）解：将，两点代入得
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）存在，
，
时，
即，
设点Q坐标为，
由（1）可知：，
，
，
，
解得：，
故Q点的坐标为；
（3）①过点P作轴垂线交直线于点E如图：
设直线的解析式为：，
将代入得，
，
解得：，
直线的解析式为：
设点P的坐标为则E的坐标为，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值为；
②过点P作y轴的垂线交y轴于点M如图：
设点则点，
，
，
，即，
解得：或（舍去），
故此时点P的横坐标．
【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，三角形相似的判定及性质，一次函数，平行线的性质，勾股定理，三角形外角和定理等知识，题目综合性强、难度较大，解题关键的正确做出辅助线及数形结合思想．为中考常考题型．

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