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2024年中考数学一轮专题：不等式与不等式组
一、单选题
1．下列关系式不成立的是（　　）
A． B． C．若，，则 D．若，，则
2．若，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且
4．八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
5．若，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
7．对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．对于实数x,符号可表示不超过x的最大整数，如．若有正整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
9．“x与7的和大于2”用不等式表示为 ．
10．关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围为 ．
11．某商家以元件的价格购进一批玩具套装礼品，以高出进价标价进行出售，“双十一”搞打折促销，为了保证利润率不低于，则每件套装礼品最多可打 折
12．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
13．已知，试比较大小： （填“”或“”）．
14．某校组织开展了“诗词大会”的知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加10分，答错或不答每题倒扣5分，小辉在初赛得分超过170分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于 x 的不等式为 ．
15．若关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的方程有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为 ．
16．如图，，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若只能摆放5根小棒，的取值范围为 ．

三、解答题
17．解不等式组：
(1)
(2)
18．先化简：； 再在不等式组中选取一个合适的整数解，代入求值．
19．平然中学计划为体育组购买A、B两种规格的足球，若购买2个A型足球和3个B型足球需用130元；若购买3个A型足球和2个B型足球需用120元．
(1)求每个A型足球和B型足球各多少元？
(2)平然中学决定购买以上两种足球共70个，总费用不超过1800元，那么平然中学最多可以购买多少个B型足球．
20．奥达玩具商店根据市场调查，用元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快脱销，接着又用元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的倍，但每套进价多了元．
(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元？
(2)如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套悠悠球售价至少是多少元？
21．艺术节期间，某班因表演节目的需要，准备采购部分表演服装和表演道具．班上几名班委干部到商场进行了实地考查，其中一家店铺报价为：每套服装100元，每件道具15元，给出的优惠方案如下：方案A，以原价购买，购买一套服装赠送两件道具；方案B，总价打八折．该班级计划购买a套服装和b件道具（）．
(1)请用含a，b的代数式分别表示出两种方案的实际费用．
(2)当，时，哪种方案更合算呢？请通过计算说明．
(3)当时，你能确定哪种方案更合算吗？请说明理由．
22．设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“”：例如：；；（这里）参照上面的材料，解答下列问题：
(1)（ ），（ ）
(2)解方程：
(3)解不等式：
23．同学们学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题：
阅读理解：
解不等式（x＋1）（x-3）＞0．
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或
解不等式组得x＞3；解不等式组得x＜-1．
∴原不等式的解集为x＞3或x＜-1．
问题解决：
(1)根据以上材料，不等式（x-2）（x＋3）＜0的解集为________；
(2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足xy＞0，求m的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了不等式的性质，分式的基本性质，准确熟练地进行计算是解答本题的关键．
根据不等式的性质，分式的基本性质对每个选项进行分析，只有选项，若，，则，选项中说法不成立，进而选出答案．
【详解】解：选项，此关系式成立，故不符合题意；
选项，此关系式成立，故不符合题意；
选项若，，则，此关系式成立，故不符合题意；
选项若，，则，此关系式不成立，故符合题意；
故选：．
2．B
【分析】本题考查了二次根式的性质；根据，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，又，
∴，；
解得：，
故选：B．
3．C
【详解】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．解分式方程，得到含有得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于的不等式，解之即可．
【分析】解：，
方程两边同时乘以得：，
解得：，
，
即，
解得：，
又方程的解是负数，
，
解不等式得：，
综上可知：且，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设同学人数为x人，植树的棵数为棵，有植树但植树棵数不到3棵意思是植树棵数在1棵和3棵之间，包括1棵，不包括3棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入列出不等式组，解不等式组即可得解，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．
【详解】设同学人数为x人，植树的棵数为棵，
∵有1位同学有植树但植树的棵数不到3棵，植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为
解不等式组得：，
∵人数要取非负整数，
∴
故选：A．
5．D
【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：对于A选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；
对于B选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；
对于C选项，由，可得，原变形错误，不符合题意；
对于D选项，由，可得，原变形正确，符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：，
则，
∵，
∴，解得：，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查的是举反例的应用，理解举反例即满足条件，不满足结论的实例，本题当，，满足，而不满足，从而可得答案．
【详解】解：∵，与，既满足条件，也满足结论，不是反例，
，不满足条件，不是反例，
∴“若，则”，能说明它是假命题的反例是，，
故选D
8．C
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，首先根据题意列出不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵有正整数解，a是正数，
∴，即x可取1、2，
当时，，即，
当时，，即，
∵，
∴，
综上，a的取值范围是或．
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查了列不等式，x与7的和即为，则x与7的和大于2即为．
【详解】解：由题意得，“x与7的和大于2”用不等式表示为，
故答案为：．
10．/
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解每个不等式，然后根据解的情况得到关于a的不等式组，然后解不等式组即可．
【详解】解：解不等式组得，
∵已知不等式组有且仅有3个整数解，
∴，解得：，
故答案为：．
11．/七五
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设每件套装礼品最多可以打x折，根据题干为了保证利润率不低于，列不等式即可求解．
【详解】解：设每件套装礼品最多可以打x折，
∴，
解得：
∴每件套装礼品最多可打7.5折，
故答案为：．
12．/
【分析】本题主要考查了不等式组无解的条件．先整理不等式组，根据无解的条件列出不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：
13．
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式两边同乘一个正数不等号不变求解即可．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；小明答对题的得分：；小明答错题的得分：．根据小明得分要超过170分列出不等关系，即可求解．
【详解】解：设他答对道题，则答错或不答的题数为道，
根据题意，可列出关于的不等式为，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组；先解该不等式组并求得符合题意的的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的的取值范围，然后确定的所有取值，最后计算出此题结果．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
由题意得，
解关于的方程得，，
由题意得，，
解得，
的取值范围为：，且为整数，
的取值为，，，，，，，，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
为整数，且为整数，
符合条件的整数为，，，，
，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角形“等边对等角”，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．根据等腰三角形的性质，三角形的外角定理推出，，，，，根据只能摆放5根小棒，列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，，
∵只能摆放5根小棒，
∴，解得：，
故答案为：．

17．(1)
(2)
【详解】（1）解不等式①，得．解不等式②，得．这个不等式组的解集是．
（2）解不等式①，得．解不等式②，得．
这个不等式组的解集为．
18．，1
【分析】本题考查的是分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的解集，在其解集范围内选取合适的a的值代入分式进行计算即可．
【详解】解：
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其整数解有、0、1．
∵，
∴，则原式．
19．(1)每个A型足球20元，每个B型足球30元
(2)最多可以购买40个B型足球
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识；解题的关键是：
（1）设每个型足球为x元，每个B型足球y元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买B型足球m个，则购买A型足球个，由题意：总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设每个A型足球为x元，每个B型足球为y元
，解得：
答：每个A型足球20元，每个B型足球30元．
（2）解：设购买B型足球m个，则购买A型足球个
解得：
答：最多可以购买40个B型足球．
20．(1)元
(2)元
【分析】本题考查了列分式方程解实际问题，列一元一次不等式解实际问题；
（1）设第一批悠悠球每套的进价是元，则第二批的进价是每套元，根据两次购买的数量关系建立方程求出其解即可；
（2）设每套的售价为元，先由（1）求出两次购买的数量，再根据利润之间的关系建立不等式求出其解即可．
【详解】（1）解：设第一批悠悠球每套的进价是元，则第二批的进价是每套元，依题意，得
解得，，
经检验，是分式方程的解，符合题意．
答：第一批悠悠球每套的进价是元；
（2）设每套售价是元，由题意，得
∵(套)．
，
解得，，
答：那么每套售价至少是元．
21．(1)方案A的实际费用，方案B的实际费用
(2)方案A更合算，说明见解析
(3)若，则方案B更合算；若，则方案A更合算；若，则方案A、B一样合算，理由见解析
【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，根据题意列出代数式是解题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）将代入（1）中的代数式即可；
（3）当时，方案A的实际费用，方案B的实际费用，由于的值不确定，分类讨论即可．
【详解】（1）解：方案A的实际费用，
方案B的实际费用；
（2）解：方案A的实际费用(元)，
方案B的实际费用 (元)，
，
方案A更合算；
（3）解：当时，
方案A的实际费用，
方案B的实际费用，
当， 时，方案B更合算；
当，时，方案A更合算；
当， 时，方案A、B一样合算；
答：若，则方案B更合算；
若，则方案A更合算；
若，则方案A、B一样合算．
22．(1)，
(2)无解
(3)
【分析】本题考查新定义运算，解分式方程，解不等式：
（1）根据题中定义的运算法则计算即可；
（2）根据题中定义运算法则可得关于x的分式方程，去分母化为整式方程求解；
（3）根据题中定义运算法则可得关于x的不等式，解不等式即可.
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：，，
原方程可化为，
化为整式方程得，
解得，
经检验，当时，，
不是原方程的解，
原方程无解；
（3）解：，，
原不等式可化为，
解得．
23．(1)-3＜x＜2
(2)-1＜m＜1
【详解】（1）-3＜x＜2
（2）解方程组得
∵xy＞0，∴或
∴解得-1＜m＜1．
或此不等式组无解．
综上所述，m的取值范围是-1＜m＜1．

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