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2024年中考数学一轮专题：平面直角坐标系
一、单选题
1．已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴距离相等，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或3
2．如图，，且点A、B的坐标分别为，，则长是（　　）

A．2 B．5 C．4 D．3
3．若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，按照此方法可以将目标B的位置表示为（ ）
A． B． C． D．
5．若点的坐标为，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点和点都在坐标轴上，若反比例函数的图象经过矩形的对称中心，则的值为（ ）
A．3 B． C．1.5 D．
7．已知点的坐标为，点是轴上的一个动点，当、两点间的距离最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，下列说法：①有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的；②若，则点在第一、三象限角平分线上；③已知点，点，则轴；④若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，则点P的坐标；⑤若点在坐标轴上，则；⑥点在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为；⑦若，则，其中正确的有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是 ．
10．如图，已知在平面直角坐标系中，在中，，．已知点，，点的坐标为 ．

11．已知点，的半径为1，切于点，点为上的动点，当的坐标为 时，是等腰三角形．
12．在平面直角坐标系中，A在y轴正半轴上，B在x轴负半轴上，C在x轴正半轴上：的面积为8， ，点P的坐标是．若，则a取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，线段轴，且，若，则点B的横坐标为 ．
14．如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，D为的中点，点P在边上运动，当时，点P的坐标为 ．
15．如图，八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为 ．
三、解答题
17．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到．
(1)在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法）
(2)计算的面积；
(3)内有一点，内与点对应的点的坐标为__________．
18．如图，各顶点的坐标分别为 ．
(1)请画出 于 轴对称后得到的 ，并写出 点的坐标；
(2)在轴上找一点使 周长最小．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交轴的正半轴交于点A，交轴的正半轴于点，且，．
(1)求点A、B的坐标；
(2)点是线段上的一点（与点、A不重合），其横坐标为，点在第四象限内的直线上，且的纵坐标为，点在轴的负半轴上，线段的长为，连接、、，当时，求与之间的关系式；
(3)在（2）的条件下，连接，交线段于点，点在线段上，连接，若，，求点的横坐标．
20．对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即．
(1)点的“3衍生点”的坐标为__________；
(2)若点P的“5衍生点”P的坐标为，求点P的坐标；
(3)若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的6倍，求k的值．
21．设等腰三角形的底边长为 ，底边上的高长为 ，定义 为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点 ，若 为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点 的“逐梦三角形”.
(1)设 是底边长为2的等腰直角三角形，则 的“胖瘦度” _______；
(2)设 ，点 为 轴正半轴上一点，若 的“逐梦三角形”的“胖瘦度” ，直接写出点 的坐标：_______；
22．已知：如图1，平面直角坐标系中，点的坐标是，点在轴上，且，点是线段上的一点，以为边向下作等边．
(1)如图2，当时，连接，求证：平分；
(2)如图3，当点落在轴上时，求出点的坐标；
(3)点从点向点滑动的过程中，点也会随之滑动，利用图1探究点的运动轨迹，请在图1画出点的运动轨迹，并证明．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了坐标与图形性质；
根据到两坐标轴距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数列式计算即可．
【详解】解：∵点到两坐标轴距离相等，
∴或，
解得：或，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质等知识点．根据A、B点的坐标求出，根据全等三角形的性质求出，再求出的长即可．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题的关键，利用，可得顶点坐标为，根据顶点在第二象限，即可得到的取值范围．
【详解】解：∵，
∴顶点为，
∴顶点在第二象限，
∴，，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，以此即可解答．
【详解】解：∵目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，
∴目标B的位置表示为
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：∵点的坐标为，，
∴点在第三象限，
故选C．
6．A
【分析】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，先求得矩形的中心点坐标，然后根据待定系数法即可求解.
【详解】解：∵点和点都在坐标轴上，
∴矩形的中心点为，
∵反比例函数图象经过矩形的对称中心，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】此题考查了点的坐标、垂线段最短，根据当轴于点时，、两点间的距离最短，即可得到答案，熟练掌握点的坐标规律是解题的关键．
【详解】∵点的坐标为，点在轴上，
∴当轴于点时，、两点间的距离最短，
此时点与点的横坐标相同，
∴点的坐标是，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了平面直角坐标系、坐标与图形性质、算术平方根的非负性、有理数的乘方；根据平面直角坐标系、坐标与图形性质可判断①②③④⑤⑥；根据算术平方根的非负性求出，可得的值，再计算即可判断⑦．
【详解】解：①有序实数对和坐标平面内的点是一一对应的，正确；
②若，则点在第二、四象限角平分线上，原说法错误；
③已知点，点，则轴，正确；
④若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离为3，
则点P的横坐标为或，点P的纵坐标为或，
则点P的坐标为或或或，原说法错误；
⑤若点在坐标轴上，
则或，
则，正确；
⑥∵点在直角坐标系的y轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，正确；
⑦∵，且，，
∴，
∴，
∴，正确；
综上，正确的有5个，
故选：C．
9．3
【分析】此题主要考查点到坐标轴的距离，解题的关键是熟知坐标点的含义．平面直角坐标系内一个点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．根据平面直角坐标系内点的坐标含义即可判断．
【详解】解：点到y轴的距离是其横坐标的绝对值，
点到y轴的距离是3，
故答案为：3．
10．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，过作轴的垂线，交轴于点，证明，再根据性质即可求解，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质及其应用．
【详解】解：如图，过作轴的垂线，交轴于点，

∵，，
∴，，
∵，，
∴， ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：.
11．，，．
【分析】本题考查已知一条边构造等腰三角形的方法，注意分类讨论，根据题干条件找到当为腰时和当为底边时点所在位置，即可解题
【详解】解：如图，当的坐标为，，时，是等腰三角形．理由如下：
①连接，
，的半径为1，
，，
，
切于点，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，连接交轴于点，
切于点，
切于点，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
；
③，，
，
，
，
．
综上所述：当的坐标为，，时，是等腰三角形．
故答案为：，，．
12．或
【分析】题目主要考查坐标与图形，不等式的性质及三角形面积的计算，根据题意分两种情况：当时，当时，分别作出图形，利用面积求解即可．
【详解】解：如图，
∵的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，如图所示，连接，
，
∴，
∴，
∴；
当时，如图所示，连接，
，
∴，
∴；
综上，a的取值范围是或．
故答案为：或1413．或4/4或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标是解题的关键
【详解】解：∵轴，A点坐标为，
∴点B的纵坐标为3，
当点B在点A的左边时，
∵，
∴点B的横坐标为，
此时点，
当点B在点A的右边时，
∵，
∴点B的横坐标为，
此时点，
综上所述，点B的坐标为或．
故答案为：或4．
14．或
【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，作于H，分点P在H左边和右边两种情况，利用勾股定理求出，进而求出，即可得到点P的坐标．
【详解】解：如图，作于H，
∵D为的中点，，
∴，
∵，
∴，
当点P在H左边时，
在中，由勾股定理得，，
当点在H右边时，，
∴，，
∴P的坐标为或，
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质；设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，则，
∵直线l将这八个边长为1的正方形分成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∴，
∴点A坐标为，
设直线的解析式为，
代入得：，
∴，
∴直线l解析式为．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．观察所给图形可得，，…，每4个为一组，由于，
分别求出，，…的坐标，然后找出规律，再根据规律即可求解．
【详解】解：观察所给图形，看出，，…，每4个为一组，
，
点在轴下方，是506组中第二点，
点的坐标为，
，，是等边三角形，
的横坐标为，纵坐标为，即
，，是等边三角形，
的横坐标为，纵坐标为，即
……
∴点的坐标为，
点的坐标为 ．
故答案为：．
17．(1)见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了位似图形的性质，割补法求三角形的面积，坐标与图形：
（1）根据，，，和放大为原来的2倍得到，得点的各自坐标，再依次连接，即可作答．
（2）运用割补法进行列式计算，即可求三角形的面积；
（3）根据，，，和放大为原来的2倍得到，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：
所以的面积为；
（3）解：依题意，，且相似比为2，
结合位似中心为点O，
故内有一点，内与点对应的点的坐标为．
18．(1)作图见解析，
(2)作图见解析
【分析】本题考查了作图—旋转变换作图，以及轴对称确定最短路线问题，解题的关键是熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置；
（1）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为所求的点P．
【详解】（1）解：所作，如下图所示：
由图可知：；
（2）解：
要使周长最小，
则最小，
作点A关于x轴的对称点，连接与x轴的交点即为所求的点P，如上图所示．
19．(1)，
(2)
(3)的横坐标是4
【分析】（1）先证明三角形是等腰直角三角形，再根据面积即可求出边长，即可得到答案；
（2）过点作轴，垂足为H，证明，再证明，最终通过证明四边形为矩形求得答案；
（3）在轴负半轴上取一点，使，连接，在上取一点，使，连接，过作，垂足为，通过证明进一步证明，从而证得求得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
或（舍），
，；
（2）解：点在轴上，横坐标为，
，
，
过点作轴，垂足为H，如下图所示，
，
∵，
，
，
点纵坐标为，
，
，
，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
四边形中，，
，
四边形为矩形，
，
，
；
（3）解：在轴负半轴上取一点，使，连接，
是的中线，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
是的角分线，
，
∵
∴，
，，
∵
∴，
，
∵
∴，
∴
∵
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，在上取一点，使，连接，
∵
，
，
∵，，
∴
∴，
，
，
，
，
，
，
，
过作，垂足为，
，
，
，
的横坐标是4．
【点睛】本题考查全等三角形、等腰直角三角形和矩形的性质，属于全等三角形综合题，解题的关键是灵活添加辅助线，构造全等三角形．
20．(1)
(2)
(3)和
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
（1）直接利用新定义进而分析得出答案；
（2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案；
（3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的6倍，解之可得．
【详解】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
（2）解：设
依题意，得方程组
．
解得．
∴点；
（3）解：设，则的坐标为．
∵平行于y轴
∴
即，
又∵，
∴．
∴点P的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长度为．
∴线段的长为．
根据题意，有，
∴．
∴．
∴k的值为和
21．(1)
(2)或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和定义，坐标与图形．理解新定义，学会用数形结合、分类讨论解决问题是解题关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质求出底边的高为，再根据“胖瘦度”的定义求出k；
（2）根据“逐梦三角形”的定义，等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直分两种情况讨论，由点坐标结合“胖瘦度”，求出底边和底边的高即可解答.
【详解】（1）解：如图，
，
是等腰直角三角形，
于，
，
，
故答案为：；
（2）当点的“逐梦三角形”的底边在轴上时，如图，
是等腰三角形，是底边上的高，
，
是的“逐梦三角形”，且“胖瘦度”
，
，
∴；
②当点，的“逐梦三角形”的底边轴时，如图,
是等腰三角形，是底边上的高，，
根据，
，
，
；
综上, 点的坐标为: 或，
故答案为: 或 .
22．(1)答案见详解
(2)
(3)与x轴夹角为的直线上滑动
【分析】（1）根据等边三角形的性质得边相等，利用公共边即可证明三角形全等，进一步有角度相等，则有角平分线；
（2）根据等边三角形性质得，利用直角坐标系的垂直得，，则有，设，即可利用点A坐标求得点E的坐标；
（3）在x轴上取点C使得，连接，则可证明，得对应角度相等即可求得答案．
【详解】（1）证明： ∵为等边三角形，
∴，
在和中
∴
∴
则平分．
（2）∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
则，得，
故
（3）在x轴上取点C使得，连接，如图，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
故点E的运动轨迹为与x轴夹角为的直线上滑动．
【点睛】本题主要考查坐标与图形，等边三角形性质、含30度直角三角形性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．

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