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专题15 规律探索问题
类型一 数式规律探索
题型突破
1.解数字或数式规律探索题的方法
第一步：标序号；
　第二步：找规律，分别比较各部分与序号(1,2,3,4,…,n)之间的关系,把其蕴含的规律用含序号的式子表示出来；
　第三步：根据找出的规律表示出第 n个数式.
2.几个常用的数字归纳
　　(1)正整数:1,2,3,4,5,6,…,第n个数为n;正偶数:2,4,6,8,10,12,…,第 n个数为2n;正奇数:1,3,5,7,9,11,…,第 n个数为2n-1.
　　(2)1,4,9,16,25,36,…,第 n个数为 n ;1,8,27,64,125,…,第 n个数为 3,3×4,4×5,5×6,…,第 n个数为n(n+1).
　　(3)正整数和: (n≥1);正奇数和: (n≥1);正偶数和: 1)(n≥2).
　　(4)符号规律：序号是奇数的项的符号是负号，序号是偶数的项的符号是正号，如 1,-1,1,-1,1,-1,1,…,第 n 项可表示为 序号是偶数的项的符号是负号，序号是奇数的项的符号是正号,如1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…, 第 n项可表示为 或 (一般使用前者).
例1 按规律排列的一组数据： ，□， ， ， ,…，其中□内应填的数是( )
解题思路 分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，根据规律即可得到答案.
例2 将从1 开始的连续自然数按以下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 5 6 7 8 9
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
……
若有序数对(n，m)表示第 n行，从左到右第 m个数，如(3，2)表示 6，则表示 99 的有序数对是_________.
解题思路 利用第n行的最后一个数是n ，第n行有(2n-1)个数进行计算.
题型训练
1.观察下列各式: 根据其中的规律可得_____________(用含 n 的式子表示).
2.右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15， ，我们把第一个数记为a ，第二个数记为 a ,第三个数记为a , ,第n个数记为 则
类型二 几何图形规律探索
题型突破
1.解答图形排列规律探索题的方法
第一步：标序数，按图号标序；
　第二步：找关系，找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是和差倍分以及幂的关系)或找出图中的所求量与序数之间的关系；
　第三步：找规律，对每幅图中所求量的个数进行一定的变形，使其呈现一定的规律；
　第四步：归纳，归纳所求量与序数之间的关系，即可得到第n个图中所求量的个数；
　第五步：验证，代入序号验证所归纳的式子是否正确.
2.对于图形循环变换类规律题，求经过N次变换后对应的图形的解题步骤
　第一步：通过观察这组图形，得到该组图形经过一个循环变换需要的次数，记为n；
　第二步:用N除以n,当商b余m(0≤m＜n)时，第N次变换后对应的图形就是一个循
环变换中第 m次变换后对应的图形；
　第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第N次变换后对应的图形.
例3 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图有4个圆点，第二幅图有 7个圆点，第三幅图有10个圆点，第四幅图有13个圆点， ，按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是 ( )
A.297 B.301 C.303 D.400
解题思路 观察前四幅图可知，每幅图都比前一幅图多3 个圆点，从而可推出第一百幅图中圆点的个数.
例4 如图,正方形 ABCD 的边长为1，以 AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF 为边作第3个正方形FCGH, ,按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为 ( )
解题关键 正方形的对角线长是边长的 倍.
例5 在直角坐标系中，点 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为： -1),A (2,-1),A (2,2),….若到达终点 ,则 n的值为_________.
解题思路 终点 在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值.
题型训练
3.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为 ( )
A.148 B.152 C.174 D.202
4.如图，某电子装置中，红、黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点 A 处.两枚跳棋的跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3 秒跳1 个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒后，两枚跳棋之间的距离是( )
A.4 C.2 D.0
类型三 坐标变化规律探索
题型突破
　　图形在直角坐标系中的变化实质是点的坐标变化，解决此类问题应先分析图形的变化规律，有时需结合所给函数的图象及性质，连续求出点的坐标，再结合点在直角坐标系中的位置变化找出坐标的变化规律，仿照猜想数式规律的方法得最终的结论.
例 6 规定:在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转 由数字0 和 1 组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如:如图,点 O(0,0)按序列“011 ”作变换，表示点 O 先向右平移一个单位得到0),再将 绕原点顺时针旋转 得到 再将 绕原点顺时针旋转 得到 依次类推,点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为__________.
解题思路 根据题意得出点(0，1)坐标变化规律，进而得出变换后的坐标.
例7 如图, …是等边三角形，直线 经过它们的顶点A， 点 …在x轴上，则点 的横坐标是___________.
解题思路 设直线与x轴交于点C，求出OA，OC的长度，易证 再结合等边三角形的性质证得 从而得 即 观察找规律可得的长度，即可得点 的横坐标.
题型训练
5.如图，一次函数 与反比例函数 0)的图象交于点A，过点A作 交x轴于点B；过点 B作 ∥交反比例函数图象于点 过点 作 交 x 轴于点 再过点 作 ∥交反比例函数图象于点 依次进行下去 ，则点 的横坐标为___________.
巩固练习
1.如图，在直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为 1个单位长度，以点 P为位似中心作正方形 正方形 PA A A , ,按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 的顶点坐标分别为 则顶点 的坐标为 ( )
A.(31,34) B.(31,-34) C.(32,35) D.(32,0)
2.已知一列均不为1 的数 an满足如下关系： 若 则 a 的值是 ( )
C.-3 D.2
3.数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+…+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到 人们借助于这样的方法,得到1+2+3+4+…+n= (n是正整数).有下列问题：如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 ,其中i=1,2,3,…,n,…,且x ,y 是整数.记 如 0),即 即 即 0， ，以此类推.则下列结论正确的是 ( )
4.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”.
...
则 展开式中所有项的系数和是 ( )
A.128 B.256 C.512 D.1 024
5.人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，图中的每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③ 的次序铺设地砖，把第 n个图形用图n表示，那么图 中的白色小正方形地砖的块数是 ( )
A.150 B.200 C.355 D.505
6.观察下列式子:
…
按照上述规律，________________
7.如图，图中数字是从1 开始按箭头方向排列的有序数阵.从3 开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3，5);(7,10);(13,17);(21,26);(31,37);…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出第 n个数对:____________.
8.如图，在以 A为直角顶点的等腰直角三角形纸片 ABC 中,将B 角折起,使点 B 落在AC边上的点D(不与点A，C 重合)处，折痕是EF.
如图1，当 时,
如图2，当 时,
如图3，当 时,
依此类推，当 (n为正整数)时， __________.
9.如图,线段 ，以AB 为直径画半圆，圆心为 以 为直径画半圆①；取 的中点 以 为直径画半圆②；取 的中点 以 为直径画半圆③； 按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为___________.
10.如图,正方形 中, AB 与直线所夹锐角为延长 交直线于点
作正方形 延长 交直线于点作正方形 延长 交直线 于点作正方形 依此规律，则线段
11.如图，在平面直角坐标系中，已知直线 和双曲线 在直线上取一点，记为 过 作x轴的垂线交双曲线于点 过 作y轴的垂线交直线于点 过 作x轴的垂线交双曲线于点过 作y轴的垂线交直线于点A ， ，依此进行下去，记点 的横坐标为 an，若 则
参考答案
例 1 D 根据排列规律，第n个数的分母为 分子为 则第3个数为
例2 答案 (10,18)
解析 ∵ 第n行的最后一个数是第 n 行有( 个数，
∴99为第10行倒数第二个数，即从左到右第18个数.
故表示 99 的有序数对是(10,18).
1.答案
解析 各式的分母依次为 3，5，7，9，…，则第 n项的分母为
观察各项的分子，奇数项的分子为偶数项的分子为 即第n项的分子是 故
2.答案 20110
解析
则
例 3 B 第一幅图有4个圆点，第二幅图有7个圆点，比第一幅图多3个圆点，第三幅图比第二幅图多3个圆点，第四幅图比第三幅图多3个圆点， ，照此规律，第 n 幅图有 个圆点.所以第一百幅图中圆点的个数为
例4 C 第 1 个正方形(以AB为边)的边长为1；
第2个正方形(以 AC为边)的边长为
第3个正方形(以 CF为边)的边长为
第4个正方形(以GF 为边)的边长为
……
则第6个正方形的边长为
例5 答案 2022
解析 ∴此点在第四象限，
在第四象限内的点为 -505).
∵6=4×1-1|+2,10=4×|-2|+2,14=4×1-31+2,……∴ n=4×1-5051+2=2022.
3. C 由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2;
第二个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3+4)×2+2×1;
第三个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3+4+5)×2+2×2;
第四个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3+4+5+6)×2+2×3;
……
第n个图案需要黑色棋子的个数为[1+2+3+…+(n+2)]×2+2(n-1),
∴第10个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+2×9=174.
故选 C.
4. B ∵红跳棋从 A 点按顺时针方向1秒钟跳1 个顶点，
∴红跳棋每过 6秒返回到 A 点，2022÷6=337,∴经过 2 022 秒后,红跳棋回到A点.
∵ 黑跳棋从 A 点按逆时针方向 3秒跳 1个顶点，∴ 黑跳棋每过 18秒返回到A 点，
2022÷18=112……6,
∴经过 2 022 秒后,黑跳棋跳到E点.
如图,连接AE,过点F作FM⊥AE,交 AE 于点M,
由题意可得
在 中,AM=cos 30°·AF
∴经过 2 022 秒后，两枚跳棋之间的距离是 故选 B.
例6 答案(-1,-1)
解析 点(0,1)按序列“011011011”作变换，表示点(0，1)先向右平移一个单位得到(1,1),再将(1,1)绕原点顺时针旋转 得到(1,-1),再将(1，-1)绕原点顺时针旋转 得到(-1，-1)，然后向右平移一个单位得到(0,-1),再将(0,-1)绕原点顺时针旋转 90°得到(-1,0),再将(-1，0)绕原点顺时针旋转( 得到(0，1)，然后向右平移一个单位得到
(1,1),再将(1,1)绕原点顺时针旋转 得到(1,-1),再将(1,-1)绕原点顺时针旋转90°得到(-1,-1).
例7 答案
解析 设直线 与x轴交于点 C,易得 A(0,2),
是等边三角形，
同理可得
∴点 的横坐标是(
5.答案
解析 如图,分别过点A,A ,A 作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E，
联立 得 A(1,1),
是等腰直角三角形，
设 BD=m,则
∵点A 在反比例函数 的图象上,∴ m(m+2)= 1,解得 m(负值舍去)，
-2,
∥
设 则
解得 (负值舍去)，
同理可求得
以此类推，可得点 的横坐标为
1. A 由题图可知点. 所在的射线的位置三次一循环，33……1,∴ 点. 在射线 上. 射线 上的点的坐标规律为
当 时, 故
故选 A.
易知每4个数为一组依次循环.因为 2023所以 故选 A.
3. B 根据坐标系中点的分布可以看出第一象限的角平分线上的第一个点为 第二个点为第三个点为 可以推知第四个点为 ,第n 个点为 1).根据上述规律可知当 时, 故选 B.
4. C 由“杨辉三角”的规律可知,(a 展开式中所有项的系数和为故选 C.
5. C 图①中白色小正方形地砖有7(块)，图②中白色小正方形地砖有 (块),图③中白色小正方形地砖有 (块)， ，图n中白色小正方形地砖有 块.当 时, .故选 C.
6.答案
7.答案
解析 每个数对的第一个数分别为3,7,13,21,31,…
即 5×6+1,…
则第 n个数对的第一个数为
每个数对的第二个数分别为 5，10,17,26,37,…
即 …
则第 n个数对的第二个数为
∴第n个数对为
8.答案
解析 观察可知，正切值的分子是3,5,7,9,…,2n+1,
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40, 中每组中间位置的数.
9.答案
解析 半圆①的弧长为 同理 半圆②的弧长为 半圆③的弧长为半圆⑧的弧长为
∴8个小半圆的弧长之和为
10.答案
解析 在 Rt△AA B 中,∠A AB
易得
11.答案 2
解析 当 时,易得 A (2,3
将 代入 y=x+1,得 x=
将 代入 得
将 代入y=x+1,得
将 代入 得
将 代入 y=x+1,得 ∴A (2,3);
……
由上可知，
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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