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第八章 机械能守恒定律
8.1 功和功率
高中物理·必修第二册·人教版
列车在机车的牵引力作用下动能增加了
握力器在手的压力下弹性势能增加了
能与能之间可以相互转化
电能
风能
太阳能
原子能
化学能
光能
电能
风能
太阳能
原子能
化学能
光能
可以相互转化
功是能转化的量度
功的概念起源于早期工业发展的需要
Coriolis·Gustave Gaspard
科里奥利
初中：力与物体在力的方向上通过的距离的乘积，是一个有物理意义的量，在物理学中，我们把这一乘积称为机械功，简称功。
功用W表示，F表示力，s表示物体在力的方向上通过的距离
功的概念
W = F?s
?
实例：一质量为m=2kg的物体置于μ=0.2的水平面上。g=10m/s2，则：
在力与物体速度同方向时，
（1）用水平拉力F=3N拉物体，求在4s时间中F对物体做的功
做功的两个要素是：力和在力方向上的位移
（2）用水平拉力F=10N拉物体，求拉了4m中F对物体做的功
（3）用水平拉力F=10N拉物体，求拉了4m中G、N分别对物体做的功
在考虑做功时，应明确是哪个力做功！
做功的两个要素是：
力和力方向上的位移
当物体不运动或力F与物体运动方向垂直时，力F不做功！
没有做功
40J
均没有做功
1、功的概念：一个物体受到力的作用，如果物体在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。
F
F
l
（1）作用在物体上的力
（2）物体在力的方向上发生的位移
2、做功的两个不可缺少的因素（缺一不可）
F
?
F
?
l
拉力做功了吗？
一个物体在与水平面夹角为α、大小为F的力作用下沿着水平方向运动，位移为l，则力对物体所做的功是多少？
l
功的计算
F
F1
F2
α
把F分解为跟位移方向一致的分力F1，跟位移方向垂直的分力F2
设物体在力F的作用下发生的位移的大小是l
方法（一）
因此，力F对物体所做的功W等于F1l，F1=Fcosα,所以： W=Flcosα
则分力F1所做的功等于F1l
分力F2的方向跟位移的方向垂直，F2所做的功等于0
F
α
F
α
l
l2
l1
将位移沿力的方向和垂直于力的方向分解，分别为l1和l2。此时力F做的功W=Fl1 。因为l1=lcosα，所以，W=Flcosα
方法（二）
功的一般计算公式
功是标量,在国际单位制中单位是焦耳，简称焦，符号是J
1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m的位移时所做的功1J=1N×1m=1N?m
两质量相等的物体A、B分别放在粗糙水平面上和光滑的水平面上，在同样的拉力F作用下，产生相同的位移S，则拉力：
A、对A做的功多 B、对B做功多
C、一样多 D、以上都有可能
粗糙 光滑
A B
F F
θ θ
C
1.公式只能用于求恒力的功
2.α角是“力的方向和位移方向的夹角”
3.功与物体受力后通过这段位移做什么运动无关
4. 同一物体的运动，相对于不同参照系，位移不同，为避免结果的不确定性，在计算功时，位移都是以地面为参照系的。
辨认力的方向与位移方向的夹角
450
F
L
甲
答案：450
450
F
L
乙
答案：1350
450
F
L
丙
答案：450
450
F
L
丁
答案： 1350
方法：将力、位移矢量的箭尾移到同一个作用点上。
（1）当α=π/2时，cosα=0，W=0。这表示力F的方向跟位移l的方向垂直，力F不做功
FN
G
v
α
小球在水平桌面上运动时，重力G和支持力FN都跟位移方向垂直，这两个力不做功
（2）当α＜π/2时，cosα＞0，W＞0。这表示力F对物体做正功。力F对物体产生位移有一定的贡献。（促进运动，动力做功）
s
α
F
v
（3）当π/2 ＜α≤ π时，cosα＜0，W＜0。这表示力F对物体做负功，F对物体产生位移起着阻碍作用。（阻碍运动，阻力做功）
s
α
F
α
正功和负功
某力对物体做负功，往往说成“物体克服某力做功”（取绝对值）
时，cosα＞0
W＞0 力对物体做正功
时，cosα＜0
W＜0力对物体做负功
时，cosα=0，
W =0 力对物体不做功
关于功的论述，下列说法正确的是：
A、大的力一定比小的力做的功多
B、+5J的功比-5J的功多
C、+10J功比+5J的功多
D、力F做功-5J表示物体克服力F做功5J
CD
功的正负不表示功的大小（表示动力还是阻力）比较大小要看绝对值
总功的求法
W总=W1+W2+W3+??????
1、功是标量
故合力的功（即总功）就等于各分力做功的代数和：
W总=F合 Lcos α
2、力是矢量
故可以先求合力，再求合力做的功：
各个力都是恒力，且作用时间相同
一辆质量m＝2kg的小车，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F1=10N，在水平地面上移动的距离l=2m。小车与地面间的摩擦力F2=4.2N。求外力对小车所做的总功。
F1
37°
F2
l
解：小车所受到的合力为：
F合 = F1x-F2 = F1cos37°–F2
外力对小车所做的总功为：
W = F合lcos0°=（F1cos37°-F2）lcos0°
= F1lcos37°–F2s
= 16J +（-8.4J）= 7.6J
v
解：拉力F1对小车所做的功为：
W1=F1l cosα1= F1l cos37°
摩擦力F2对小车所组的功为：
W2=F2l cosα2= F2lcos180°
外力对小车所做的总功W等于W1和W2的代数和：
W=W1+W2= F1lcos37°+F2lcos180°
=16J+（-8.4J）=7.6J
F1
37°
F2
FN
G
F1y
F1x
v
如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块当中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则
A.F对木块做功为Fl
B.F对木块做功为F(l＋d)
C.F对子弹做功为－Fd
D.F对子弹做功为－F(l＋d)
√
√
如图所示，一个质量为m木块，放在倾角为α的斜面上，当斜面与木块保持相对静止，沿水平方向向左匀速移动距离L的过程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？合力做功又是多少？
v
) α
L
mg
Ff
FN
α
α
如图，木块A放在木块B的左端，用恒力F将A拉至B的右端，第一次将B固定在地面上，F对A做功为W1，第二次让B可以在光滑的地面上自由滑动，F对A做功为W2，比较两次做功，应有(　　)
A．W1B．W1＝W2
C．W1>W2
D．无法比较
A
a
G
N
f
1、静摩擦力做功：
v
摩擦力做功
一个木箱放置在匀加速上升的自动扶梯上，随自动扶梯一起上升，跟扶梯保持相对静止。木箱所受的重力对木箱做________功，木箱所受的弹力对木箱做_______功。木箱所受的摩擦力对木箱做_______功。
负
正
正
小木块置于旋转的水平转台上，随转台一起匀速转动，小木块受到的摩擦力对木块做——功。
f
0
若小木块随转台一起加速转动而没有相对滑动，则小木块受到的摩擦力对木块做————功。
正
F
A
B
相对静止一起向右做匀加速运动移动S
A
a
B
f2
f1
F
W1= -f1 S
W2= f 2 S
W1 + W2= 0
静摩擦力做功的特点
① 静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
③ 相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能．
物体m放在粗糙水平桌面上，以初速度v0做减速滑行，则滑动摩擦力对物体m做———功，滑动摩擦力对桌面———功；若物体m在力F作用下从静止开始在桌面上滑动，则滑动摩擦力对物体m做————功，滑动摩擦力对桌面————功。
负
负
v0
m
F
m
不做
不做
滑动摩擦力做功
AB两物体叠放在光滑水平面上，A物体用线系在墙上，B 物体在力F作用下向右运动，则f1对A————功，f2对B做————功。
F
B
A
f1
f2
不做
负
滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
负
正
F
A
B
S2
S1
B
A
AB两物体叠放在光滑水平面上，A物体在力 F作用下在B物体上相对滑动，则f1对A做————功，f2对B做————功。
ΔS
S1
W1= － f S1
W2= f S2
W1 + W2= f (S2 － S1 )= －f Δ S
v
f1
f2
A
B
S2
一对滑动摩擦力对物体作功之和必定为负功
滑动摩擦力做功特点
(1)一对滑动摩擦力的总功：W总=-fΔS
（ΔS为相对位移或者物体间的相对路程）
(2)摩擦生热 ： Q=W总=fΔS
（ΔS为相对位移或者物体间的相对路程）
作用力与反作用力做功
N
N
S
S
A
B
V
V
N
N
S
S
A
B
V
V
3.作用力与反作用力等大反向，但是W=Flcosα，故作用力与反作用力做功不一定相等、也不一定一正一负
2.作用力与反作用力可同时做正功或同时做负功。（例如磁铁间或者两车相撞时）
1、作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做负功。反之亦然。
作用力和反作用力做功特点
把滑块放在圆弧轨道上运动，转动一周过程中摩擦力做功?
变力做功——微元法
适用对象：力的大小不变，方向变化且始终与运动方向共线
在曲线运动或往复运动中，滑动摩擦力等变力的功是力对路程的积累
用水平拉力拉着物块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，已知水平拉力大小不变，方向始终和速度方向从成夹角α，求此过程中水平力拉力F做的功。
F
⌒
α
答案：WF = F2πRcosα
F-x 图像和坐标轴围成的面积表示该力的做功
变力做功——图象法
变力做功——平均力法
跳跳杆将人弹起的过程中，弹簧弹力在不断变化，如何求解此过程中弹簧对人做的功？
弹起过程中，弹力与位移成线性关系，可用弹力平均值乘以位移计算功：
注意：只有当 F 和 x 成线性关系时，力的平均值才是算术平均值
F-x 图像和坐标轴围成的面积表示该力的做功
拓展
变力做功——图象法
O
F
l
O
F
l
O
F
l
适用条件：一般适用于方向不变，大小相对位移成线性变化的变力。（大小非线性变化也可以表示，只是中学阶段可能不能求出具体数值）
O
l
F
f
F
O
l
F
若某变力的功和某恒力的功相等,则可用该恒力的功作为变力的功
变力做功——等效法
恒力F通过滑轮将物体从A拉到B的过程中，绳子拉力是变力
由于轻绳并不会存储能量，恒力F 做功应该等于绳子对物体做的功：
A
B
h
F
α
β
绳子绕过滑轮做功
着眼于受力物体，它受到水平向右两条绳的拉力，合力为2F，因而W=2Fs
着眼于绳子的Q端，即力F的作用点，则可知物体向右滑动s位移过程中，Q点的位移为2s，因而力F拉绳所做的功W=F·2s=2Fs
如图 ，A为静止在水平桌面上的物体, 其右有一个动滑轮, 跨过动滑轮的细绳的P端固定在墙壁上,于细绳的另一端Q用水平力F向右拉,物体向右滑动s的过程中, 力F对物体做多少功? (上、下两段绳均保持水平)
A
Q
F
P
质量为m的物块放在光滑的水平面上,绳的一端固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图，将物块由A点拉至B点，前进S，求外力对物体所做的总功有多大？
F
α
A
B
s
F
α
A
B
s
S合
s
s
S合
F
α
A
S合=2S cosα/2
W=F S合cosα/2 =FS(1+cosα)
W=FS+FS cosα =FS（1+cosα)
一台起重机甲在 1min 内把1吨的货物匀速提到预定的高度。另一台起重机乙在 30s 内把1吨的货物匀速提到相同的高度
F
M
1min
F
M
30s
哪一个做功快呢？
做功相同，时间越短，做功越快
一台起重机甲在 30s 内把1吨的货物匀速提高了10m，另一台起重机乙在 30s 内把1吨的货物匀速提高了5m。
F
M
10m
F
M
5m
哪一个做功快呢？
时间相同，做的功越多，做功越快
物理上是利用单位时间内做功的多少来度量做功的快慢
1、定义：功与完成这些功所用时间的比值，叫作功率。
2、公式：
1 W＝1 J/s
3、物理意义：反映物体做功的快慢。
4、单位：瓦特（国际单位制）,简称瓦，符号是 W
5、功率是标量
长时间运动时人的功率为数10W，优秀运动员可达1kW
长时间运动马的功率为数百瓦
鲸游动时功率可达350kW
小汽车的功率为数十千瓦至两百千瓦
高速列车的功率可达数万kW
万吨豪华游轮的功率可达1万kW以上
一个质量是1.0kg的物体，从地面上方20m高处开始做自由落体运动， (g取10m/s2)
①第1s内下落的位移是多少？
②这1s内重力对物体做多少功？
③第2s内物体下落的位移是多少？
④这1s内重力对物体做多少功？
⑤前1s和后1s重力对物体做功的功率各是多大？
⑥这2s时间内重力对物体做功的功率是多大？
h1=5m
w1=50J
h2=15m
w2=150J
P1=50W P2=150W
P3=100W
即使是同一个力做功，做功的功率也可能变化，在一段时间内力对物体做功的功率，是这段时间内力对物体做功的平均功率
平均功率：描述一段时间内做功的平均快慢
瞬时功率：表示在某一时刻做功的快慢
P＝
t
W
当 t 很短很短时，此式表示瞬时功率
当 t 表示一段时间时，此式表示平均功率
W＝Fl
P＝Fv
P＝
t
Fl
v＝
t
l
P ＝
t
W
若力与位移的方向在同一直线：
若力与位移的方向成某一角度 α 时 ：
功率与速度的关系
W＝Fscosα
P＝
t
W
P＝Fvcosα
P＝
t
Fscosα
v
F
α
v1
v2
F
α
v
F2
F1
P＝vFcosα
P＝Fvcosα
v＝
t
S
功率与速度的关系
额定功率：机器在额定转速下可以长时间工作的最大输出功率
实际功率：机器在工作中实际输出的功率
机器正常工作时实际功率总是小于或等于额定功率，机器只能在短暂时间内实际功率略大于额定功率。
日常生活中，某物体做功的功率，实际上是指某个力对物体做功的功率
例如：汽车的功率是汽车牵引力的功率
起重机吊起货物的功率是钢绳拉力的功率
物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移s，( )
A．力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
B．力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
C．力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
D．力F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
D
质量为2kg的物体，受到24 N竖直向上的拉力，由静止开始运动，经过5s，求5s内拉力对物体所做的功是多少？5s内拉力的平均功率及5s末拉力的瞬时功率各是多少？
600 J 120 W 240 W
一质量为m的物体，从倾角为θ的光滑斜面顶端由静止下滑，下滑时离地面的高度为h，如图所示，当物体滑到斜面底端时，重力的瞬时功率为（ ）
A.
B.
sinθ
cosθ
sin2θ
C.
D.
B
用轻绳悬挂一小球，将小球拉至如图所示的水平位置，然后放手使小球从静止开始向下摆动，在小球摆向最低点过程中，重力对小球做功的功率（ ）
A.保持不变 B.不断变大
C.不断变小 D.先变大，后变小
D
P额：额定功率
P实：实际功率
F： 牵引力
v： 瞬时速度
f： 阻力
机车启动问题
加速度逐渐减小的变加速运动
匀速直线运动
以恒定功率启动
vm
v
t
0
P
t
0
功率恒定不变
质量为m=5×103 kg的汽车在水平公路上行驶，阻力是车重的0.1倍。让车保持额定功率为60 kW,从静止开始行驶，求（g取10 m/s2）：
（1）汽车达到的最大速度vmax;
（2）汽车车速v1=2 m/s时的加速度.
答案：12m/s； 5m/s2
列车在恒定功率的机车牵引下，从车站出发沿平直轨道行驶10 min，速度达到108 km/h的最大速度，那么这段时间内列车行驶的距离（ ）
A.等于18 km B.等于9 km
C.一定小于9 km D.一定大于9 km，小于18 km
D
当P= P额时，功率不再变化
加速度逐渐减小的变加速运动
匀速直线运动
匀加速直线运动
以恒定加速度启动
v
t
0
vm
P
t
0
功率先增大后不变
以恒定加速度启动
质量为m=4.0×103 kg的汽车，发动机的额定功率为P=40 kW，汽车从静止开始以a=0.5 m/s2的加速度行驶，所受阻力F阻=2.0×103 N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速度为多少？
【答案】20 s 20 m/s
一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v—t图象如图所示.已知汽车的质量为m=2000 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，则（ ）
A.汽车在前5 s内的牵引力为4000 N
B.汽车在前5 s内的牵引力为6000N
C.汽车的额定功率为60 kW
D.汽车的最大速度为30 m/s
BCD
质量为m的汽车，其发动机的额定功率是P，当它匀速沿倾角θ的盘山公路(实为斜面)向山顶行驶时，受到的摩擦阻力为车重的k倍．那么，该汽车行驶的最大速度vm应是 (　　)
解析：当F＝kmg＋mgsinθ时，速度最大为vm，又额定功率P＝Fvm，则有vm＝
C

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