资源简介

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平均数、众数、中位数
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【学习目标】
1.能够充分了解算术平均数、加权平均数、众数、中位数等几种统计量的概念，并会熟练求各种统计量的值；
2.会用平均数、众数、中位数描述一组数据的集中趋势.
【重难点分析】
1.能够充分理解几种统计量的意义与求法，可以结合实际统计图求相应的统计量；
2.掌握从不同角度分析一组数据的集中趋势，进行决策分析.
【情景导入】
有关平均数的趣味题目：
刘木头开了一家小工厂,生产儿童玩具.工厂的管理人员由刘木头、他的弟弟及其他6个亲戚组成.工作人员由5个领工和10个工人组成.现在需要一个新工人,刘木头正在与一个叫小王的青年人谈招聘问题.刘木头说:“我们这里报酬不错,平均每个人的薪金是每周300元,但在学徒期间每周是75元,不过很快就可以加工资.”
　小王上了几天班以后,要求和厂长谈谈.小王说:“你骗我,我已经和其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元.每人平均工资怎么可能是一周300元呢 ”
　刘木头皮笑肉不笑地回答:“小王,不要激动嘛!每人平均工资确实是300元,不信你自己算一算.”刘木头拿出一张表,说道:“这是我每周付出的薪金.我得2400元,我弟弟得1000元,我的6个亲戚每人得250元,5个领工每人得200元,10个工人每人得100元.总共是每周6900元,付给23个人,平均每人得300元,对吗 ”
　“对,对,你是对的,每人的平均工资是每周300元.可你还是骗了我.”小王生气地说.
　刘木头拍着小王的肩膀说:“这我可不同意,你自己算的结果也表明我没骗你呀!小兄弟,你根本不懂得平均数的含义,怪不得别人哟!”
　同学们,你能当个小法官来判一下谁说的对吗
【要点集结】
【精讲精练】
平均数与加权平均数
一．平均数
一组数据中，有n个数据，分别记为x1、x2、……xn，则它们的平均数为：
注意：一组给定的数据的平均数是唯一的，它不一定是数据中的某个数据。
二、加权平均数
1.权：
含义：权表示数据的重要性。
表示形式：百分比或者整数比。例如：毕业成绩评估中：平时成绩占40%，期末考试成绩占60%
2.加权平均数
加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算：若n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，xn出现fn次，那么： 叫做x1、x2、……xn的加权平均数．f1、f2、……fn是x1、x2、……xn的权。
例1. 一组数据2，3，5，7，8的平均数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】解：数据2，3，5，7，8的平均数==5．
故选D．
练习1.小明期末语、数、英三科的平均分为92分，她记得语文是88分，英语是95分，把数学成绩忘记了，你知道小明数学多少分吗？（ ）
A．93分 B．95分 C．92.5分 D．94分
【答案】A
【解析】解：设数学成绩为x，
则（88+95+x）÷3=92，
解得x=93；
故本题选A．
练习2.为了满足顾客的需求，某商场将5kg奶糖，3kg酥心糖和2kg水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖为每千克20元，水果糖为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克（ ）
A．25元 B．28.5元 C．29元 D．34.5元
【答案】C
【解析】解：根据题意得：
（40×5+20×3+15×2）÷（5+3+2）=29（元），
答：混合后什锦糖的售价应为每千克29元．
故选C．
练习3.某中学举行校园歌手大赛，7位评委给选手小明的评分如下表：
评委 1 2 3 4 5 6 7
得分 9.8 9.5 9.7 9.8 9.4 9.5 9.4
若比赛的计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均值作为该选手的最后得分，则小明的最后得分为（ ）
A．9.56 B．9.57 C．9.58 D．9.59
【答案】C
【解析】解：根据题意得小明的最后得分=（分）．
故选C．
练习4.已知5个数a1、a2、a3、a4、a5的平均数是a，则数据a1+1，a2+2，a3+3，a4+4，a5+5的平均数为（ ）
A．a B．a+3 C．a D．a+15
【答案】B
【解析】解：a+[（a1+1+a2+2+a3+3+a4+4+a5+5）﹣（a1+a2+a3+a4+a5）]÷5
=a+[1+2+3+4+5]÷5
=a+15÷5
=a+3
故选：B．
【小结】
关于平均数的与加权平均数的题型不但考察平均数与加权平均数的定义、计算方法。而且还可能与方程等知识联系起来。
例2. 某学校要招聘一名教师，分笔试和面试两次考试，笔试、面试和最后得分的满分均为100分，竞聘教师的最后得分按笔试成绩：面试成绩=3：2的比例计算．在这次招聘考试中，某竞聘教师的笔试成绩为90分，面试成绩为80分，则该竞聘教师的最后成绩是（ ）
A．43分 B．85分 C．86分 D．170分
【答案】C
【解析】解：∵（90×3+80×2）÷（3+2）
=430÷5
=86（分）
∴该竞聘教师的最后成绩是86分．
故选：C．
练习1.假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表：从平均价格看，谁买得比较划算？（ ）
价格/（元/kg） 12 10 8 合计/kg
小菲购买的数量/kg 2 2 2 6
小琳购买的数量/kg 1 2 3 6
A．一样划算 B．小菲划算 C．小琳划算 D．无法比较
【答案】C
【解析】解：∵小菲购买的平均价格是：（12×2+10×2+8×2）÷6=10（元/kg），
小琳购买的平均价格是：（12×1+10×2+8×3）÷6=（元/kg），
∴小琳划算；
故选C．
练习2.某次歌咏比赛，最后三名选手的成绩统计如下：
测试项目 测试成绩
王飞 李真 林杨
唱功 98 95 80
音乐常识 80 90 100
综合知识 80 90 100
若唱功，音乐常识，综合知识按6：3：1的加权平均分排出冠军、亚军、季军、则冠军，亚军，季军分别是
（ ）
A．王飞、李真、林杨 B．李真、王飞、林杨
C．王飞、林杨、李真 D．李真、林杨、王飞
【答案】B
【解析】解：王飞的成绩是：（98×6+80×3+80）÷10=90.8（分）；
李真：（95×6+90×3+90）÷10=93（分）；
林杨：（80×6+100×3+100）÷10=88（分）．
∵93＞90.8＞88，
∴冠军是李真、亚军是王飞、季军是林杨．
故选B．
练习3.有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．
甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果
单价（元/千克） 20 25 30
千克数 40 40 20
（1）求该什锦糖的单价．
（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？
【答案】（1）24元；（2）最多0千克
【解析】解（1）根据题意得：（元/千克）．
答：该什锦糖的单价是24元/千克；
（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果（100﹣x）千克，根据题意得：
解得：x≤0．
答：最多可加入丙种糖果0千克．
【小结】
1.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
2.平均数能反应数据的一种集中趋势，并多结合统计图.
众数与中位数
一、众数
定义：一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数。
注意：1、一组数据可能没有众数；如：2,3,4,5
2、众数也可能有两个；如：2,3,2,3,7,5,8
二、中位数
定义：将一组数据按照由小到大（或者由大到小）的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么称处于中间的数为这组数据的中位数；如果这组数据的个数为偶数，那么称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
求中位数的步骤：1、排列数据；2、确定数据总数；3、确定中位数
例1.数据21、12、18、16、20、21的众数和中位数分别是（ ）
A．21和19 B．21和17 C．20和19 D．20和18
【答案】A
【解析】解：在这一组数据中21是出现次数最多的，故众数是21；
数据按从小到大排列：12、16、18、20、21、21，中位数是（18+20）÷2=19，故中位数为19．
故选A．
练习1.2015年1月1日起，杭州市城区实行全新的阶梯水价，之前为了解某社区居民的用水情况，随机对该社区20户居民进行了调查，下表是这20户居民2014年8月份用水量的调查结果：那么关于这次用水量的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ）
居民（户） 1 2 8 6 2 1
月用水量（吨） 4 5 8 12 15 20
A．平均数是10（吨） B．众数是8（吨） C．中位数是10（吨） D．样本容量是20
【答案】C
【解析】解：A、平均数=（4×1+5×2+8×8+12×6+15×2+1×20）÷20=10（吨），正确，不符合题意；
B、众数是8吨，正确，不符合题意．
C、中位数=（8+8）÷2=8（吨），错误，符合题意；
D、样本容量为20，正确，不符合题意．
故选C．
练习2.一组数据：﹣1，1，3，4，a，若它们的平均数为2，则这组数据的众数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：根据题意得：（﹣1+1+3+4+a）=2，
解得：a=3．
则组数据的众数是3．
故选C．
练习3.某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ）
A．94分，96分 B．96分，96分 C．94分，96.4分 D．96分，96.4分
【答案】D
【解析】解：总人数为6÷10%=60（人），
则94分的有60×20%=12（人），
98分的有60﹣6﹣12﹣15﹣9=18（人），
第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96；
这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60
=（552+1128+1440+1764+900）÷60
=5784÷60
=96.4．
故选：D．
练习4.甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
请回答下列问题：
（1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数；
（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数；
（3）如果你是顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？
【解答】解：（1）甲厂：平均数为，众数为5，中位数为6；
乙厂：平均数为，众数为8，中位数为8.5；
丙厂：平均数为，众数为4，中位数为8；
（2）甲厂用的是平均数，乙厂用的是众数，丙厂用的是中位数；
（3）平均数：乙大于丙大于甲；众数：乙大于甲大于丙；中位数：乙大于丙大于甲，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品．
【小结】
牢记一组数据中位数及众数的求值方法：
众数：一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数。
求中位数的步骤：1、排列数据；2、确定数据总数；3、确定中位数
例2. 在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【解析】解：由题意可得：
一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数，
故选D．
练习1.某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】C
【解析】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
练习2.某公司员工的月工资情况统计如下表：
员工人数 2 4 8 20 8 4
月工资（元） 5000 4000 2000 1500 1000 700
（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数；
（2）你认为用（1）中计算出的哪个数据来代表该公司员工的月工资水平更为合适？请简要说明理由．
【分析】（1）根据平均数公式求平均数；
按从小到大的顺序排列得到中间的两数的平均值为中位数；出现次数最多的数为众数；
（2）众数，因为它出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平．
【解答】解：（1）平均数
（元）
中位数=1500（元）
众数=1500（元）
（2）众数代表该公司员工的月工资水平更为合适．因为1500出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平．
练习3.某餐厅共7名员工，所有员工的工资情况如下表所示：
人员 经理 厨师甲 厨师乙 会计 服务员甲 服务员乙 勤杂工
人数 1 1 1 1 1 1 1
工资额 3000 700 500 450 360 340 320
回答下列问题：
（1）餐厅所有员工的平均工资是多少元？
（2）所有员工工资的中位数是多少？
（3）用平均数还是用中位数来描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？
（4）去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是多少元是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？
【分析】（1）平均工资等于工资总数÷总人数．
（2）7个数据，中位数应是第4个数据．
（3）根据平均数和中位数的意义判断；
（4）其他员工的平均工资=其余人的工资总数÷6．
【解析】解：（1）餐厅所有员工的平均工资=（3000+700+500+450+360+340+320）÷7=810（元）；
（2）表中的数是按从大到小的顺序排列的，因而第四个数450（元）是中位数．
（3）用中位数来描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当
（4）去掉经理的工资后，其他员工的平均工资=（700+500+450+360+340+320）÷6=445（元）．
能反映该餐厅员工工资的一般水平．
【小结】
中位数：仅与数据排列位置有关，反应的是这组数据的中等水平。可靠性较差但是某些较大的数据变化对它没有影响。
众数：对一个数据出现次数的考察，大小只与数据中某部分数据有关。
【当堂总结】
一、平均数
把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为平均数和加权平均数。平均数＝（+++…）。加权平均数=。
二、众数、中位数
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
注意：
要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个。

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