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第7章 万有引力与宇宙航行 第3讲 万有引力理论的成就
课前预习（看教材填空）
一、“称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于（ ）。
2．关系式：mg＝（ ）。
3．结果：m地＝（ ），只要知道地面的重力加速度g、地球的半径R、引力常量G的值，就可计算出地球的质量。
4．推广：若知道其他星球表面的重力加速度和星球半径，就可计算出该星球的质量。
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，（ ）提供向心力。
2．关系式：G＝mr。
3．结论：m太＝（ ），只要再知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
4．推广：若已知引力常量G、卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，就可计算出行星的质量。
三、发现未知天体
1．海王星的发现：英国剑桥大学的学生（ ）和法国年轻的天文学家（ ）根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的（ ）在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现：海王星之外残存着太阳系形成初期遗留的物质。近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了（ ）、阋神星等几个较大的天体。
四、预言哈雷彗星回归
1．英国天文学家（ ）从1337年到1698年的彗星记录中挑选了24颗彗星，依据万有引力定律，用一年的时间计算了它们的轨道。发现1531年、1607年和1682年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙。他大胆预言，这三次出现的彗星是（ ），周期约为（ ），并预言它将于（ ）再次回归。1759年3月这颗彗星如期通过了近日点。
2．海王星的发现和（ ）彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。
课堂讲解
知识点1、天体运动的分析与计算
1．基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．两个常用关系
(1)万有引力提供向心力：G＝ma向＝m＝mω2r＝mr。
(2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力：mg＝G，得gR2＝Gm天，这表明gR2与Gm天可以相互替代。gR2＝Gm天通常被称为黄金代换式。
3．四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
项目 推导式 关系式 结论
v与r的关系 G＝m v＝ r越大，v越小
ω与r的关系 G＝mω2r ω＝ r越大，ω越小
T与r的关系 G＝mr2 T＝2π r越大，T越大
a与r的关系 G＝ma a＝ r越大，a越小
说明：从以上四个关系式我们可以得出，在描述某一天体绕另一中心天体做圆周运动的四个物理量线速度、角速度、向心加速度和周期中，只有周期随半径增大而增大，其他三个物理量都随半径的增大而减小．这一结论在很多定性判断中很有用，因此要理解记忆．
4．解决天体运动问题时应注意的问题
(1)在用万有引力等于向心力的关系列式求天体的质量时，只能求出中心天体的质量，而环绕天体的质量在方程式中被消掉了．
(2)应用万有引力定律求解问题时要注意挖掘题目中的隐含条件．如地球公转一周是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等．
例1、“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
变式1、(多选)火星直径约为地球直径的，质量约为地球质量的，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是(　 　)
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
知识点2、计算天体质量的常用方法
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运行天体(天体环绕法) r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体 的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m G＝mr M＝
质量的计算 利用天体表面重力加速度(重力加速度法) 　 　 g、R mg＝G M＝ “黄金代换式” GM＝gR2
注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指行星或卫星距离中心天体表面的高度，三者关系：r＝R＋h。
例2、　(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)(　　)
A．已知地球绕太阳运动的周期和地球中心与太阳中心之间的距离
B．已知月球绕地球运动的周期和地球的半径
C．已知月球绕地球运动的角速度和月球中心与地球中心之间的距离
D．已知月球绕地球运动的周期和轨道半径
变式2、(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )
A. B．
C. D．
知识点3、计算天体密度的常用方法
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
密度的计算 利用运行天体(天体环绕法) r、T、R G＝mr M＝ρ·πR3 ρ＝， 当r＝R时，ρ＝ 利用近地 卫星只需 测出其运 行周期　
利用天体表面重力加速度(重力加速度法)　　 g、R mg＝G M＝ρ·πR3 ρ＝ —
例3、(多选)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T1，嫦娥4号飞船绕月球表面的运行周期为T2，引力常量为G，由以上条件可知( )
A．地球质量为 B．月球质量为
C．地球的密度为 D．月球的密度为
变式3、“嫦娥四号”卫星刚开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的卫星．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常量为G.(球的体积公式V＝πr3，其中r为球的半径)求：
(1)月球的质量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ.
课后巩固
1．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为(　 　)
A． B．1
C．5 D．10
2．因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的倍，半径为地球半径的倍，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的(　 　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．
3．银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　 　)
A． B．
C． D．
4．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(　 　)
A． B．4倍
C．16倍 D．64倍
5．(多选)如右图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ.下列说法正确的是(　 　)
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
6．有两个行星A、B，在这两个行星表面附近各有一颗卫星，如果这两颗卫星运行的周期相等，则行星A、B的密度之比(　 　)
A．1：1　　　　　　　　　 B．2：1
C．1：2 D．无法计算
7．若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R, 月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　 　)
A． B．
C． D．
8．人造卫星离地球表面距离等于地球半径R，卫星以速度v沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g，则(　 　)
A．v＝ B．v＝
C．v＝ D．v＝
9．一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　 　)
A． B．
C． D．
10．所有绕同一恒星运转的行星，其轨道半径的立方和运转周期的平方的比值即＝k，那么k的大小(　 　)
A．只与行星质量有关
B．只与恒星质量有关
C．与行星及恒星的质量都有关
D．与恒星质量及行星的速率有关
11．(多选)设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比(　 　)
A．地球与月球间的万有引力将变小
B．地球与月球间的万有引力将变大
C．月球绕地球运动的周期将变长
D．月球绕地球运动的周期将变短
12．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　 　)
A． B．
C． D．
13．土星和地球均可近似看作球体，土星的半径约为地球半径的9.5倍，土星的质量约为地球质量的95倍，已知地球表面的重力加速度g0＝10 m/s2，地球密度约为ρ0＝5.5×103 kg/m3，试计算：
(1)土星的密度；
(2)土星表面的重力加速度．
14．借助于物理学，人们可以了解到无法用仪器直接测定的物理量，使人类对自然界的认识更完善．现已知太阳光经过时间t到达地球，光在真空中的传播速度为c，地球绕太阳的轨道可以近似认为是圆，地球的半径为R，地球赤道表面的重力加速度为g，地球绕太阳运转的周期为T.试由以上数据及你所知道的物理知识推算太阳的质量M与地球的质量m之比为多大？(地球到太阳的间距远大于它们的大小)
本节课反馈（学生意见和建议反馈本节课掌握情况）：
参考答案
课前预习
地球对物体的引力 G
行星与太阳间的万有引力
亚当斯 勒维耶 伽勒 冥王星
哈雷 同一颗星 76年 1758年底或1759 哈雷
课堂讲解
答案 D
解析　由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr可得T＝2π，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据G＝m可得v＝，结合C选项，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据G＝ma可得a＝，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。
变式1、答案 AB
解析：由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，选项A正确；由G＝m2r得T＝2π，公转轨道半径大的周期长，选项B正确；周期大的线速度小(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，选项C错误；公转向心加速度a＝G，则火星公转的向心加速度比地球的小，选项D错误．
答案 CD
解析 已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，选项A错误；已知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项B错误；已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由G＝mrω2可以求出地球的质量，选项C正确；已知月球绕地球运动的周期和轨道半径，由G＝mr可求得地球质量为M＝，选项D正确．
变式2、答案 AC
解析　根据G＝mr得M＝，选项A正确，B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，D错误。
答案 AD
解析　月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得G＝m月r，解得地球的质量m地＝，A正确，B错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，C错误；飞船绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得G＝m0R，解得月球的质量m月＝，则月球的密度ρ＝＝＝，D正确。
变式3、答案 (1)　(2)(R＋h)3(3)(R＋h)3
解析：(1)万有引力提供向心力，
有G＝m(R＋h)
解得月球的质量M＝(R＋h)3；
(2)在月球表面，万有引力等于重力，有G＝mg
解得月球表面的重力加速度g＝(R＋h)3；
(3)月球的密度ρ＝，V＝πR3，M＝(R＋h)3
联立解得ρ＝(R＋h)3.
课后巩固
答案 B
解析：行星绕恒星做圆周运动，万有引力提供向心力，G＝mr2，M＝，该中心恒星的质量与太阳的质量之比＝·＝3×≈1.04，B项正确．
答案 C
解析：根据黄金代换式g＝，并利用题设条件，可求出C项正确．
答案 D
解析：设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和圆周运动规律得：对S1有G＝m12r1，解之可得m2＝.所以正确选项是D．
答案 D
解析：由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝4.
结合题意，该星球半径是地球半径的4倍．
根据M＝得＝·＝64.
答案 AC
解析：由G＝mR得T＝·2π，可知A正确．由G＝m得v＝，可知B错误．设轨道半径为R，星球半径为R0，由M＝和V＝πR得ρ＝3＝3，可判定C正确．当测得T和R而不能测得R0时，不能得到星球的平均密度，故D错误．
答案 A
答案 A
解析：无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为G＝mr，即M∝，所以＝，选项A正确．
答案 D
解析：人造卫星的轨道半径为2R，所以G＝m，又因为mg＝G，联立可得v＝，选项D正确．
答案 B
解析：由N＝mg得g＝.在行星表面G＝mg，卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝m，联立以上各式得M＝，故选项B正确．
答案 B
解析：由＝mr2得k＝＝，所以k的大小只与恒星质量有关，B正确．
答案 AD
解析：设地、月间的距离为r，它们的质量分别为M、m，则它们之间的引力大小F＝G，随着矿藏的开发，M变大，m变小，M·m变小，地、月间的万有引力变小，故A正确，B错误；由G＝mr得周期T＝2π，由于M变大，故月球绕地球运动的周期变短，C错误，D正确．
答案 B
解析：在两极处的物体所受的重力等于万有引力，即G＝mg0，在赤道处的物体重力等于万有引力与向心力的差值，则G－mg＝mR，则密度ρ＝＝·＝.B正确．
答案(1)0.61×103 kg/m3　(2)10.5 m/s2
解析：(1)星体的密度ρ＝＝，
＝＝≈0.11，
故土星的密度约为ρ＝0.11ρ0≈0.61×103 kg/m3.
(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力，有mg＝G，解得g＝
则＝＝≈1.05，
所以土星表面的重力加速度g＝1.05g0＝10.5 m/s2.
14、答案
解析：设地球绕太阳公转轨道半径为r，由万有引力定律得：
G＝mr，①
在地球表面：G·＝m′g，②
r＝ct，③
由①②③可得：＝.

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