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考点23圆的基本性质（精讲）
复习目标
1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；
2.理解并运用圆周角定理及其推论；
3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；
4.理解并运用圆内接四边形的性质.
考点梳理
考点1： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形
成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。
圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点4：垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
考点5：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点6：圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点7：圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴
【题型1：垂径定理及推论】
【典例1】（2023 广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）
A．20m B．28m C．35m D．40m
【答案】B
【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故选：B．
1．（2023 长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　1　．
【答案】1．
【解答】解：如图，连接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴＝，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝OA＝×2＝1，
故答案为：1．
2．（2023 宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故选：B．
3．（2023 衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　10　cm．
【答案】10．
【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
故答案为：10．
【题型2：圆周角和圆心角】
【典例2】（2023 广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故选：D．
1．（2023 甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，
故选：C．
2．（2023 河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故选：D．
【题型3：弧、弦、圆心角】
【典例3】（2023 广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）
A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵＝，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故选：B．
1．（2023 泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：A．
解法二：∵∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
故选：A．
2．（2023 枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
3．（2023 宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（　　）
A．140° B．120° C．110° D．70°
【答案】A
【解答】解：连接OC，如图：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C为的中点．
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故选：A．
4．（2023 牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）
A．20° B．18° C．15° D．12°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝∠BOC＝15°．
故选：C．
【题型4：圆内接四边形】
【典例4】（2023 西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
【答案】C
【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故选：C．
1．（2023 朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长为＝2π，
故选：B．
2.（2023 宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　70　°．
【答案】70．
【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案为：70．
3．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故选：C．
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专题23圆的基本性质（精讲）
复习目标
1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；
2.理解并运用圆周角定理及其推论；
3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；
4.理解并运用圆内接四边形的性质.
考点梳理
考点1： 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形
成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。
圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点4：垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
考点5：圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
考点6：圆角角的概念
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点7：圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中， ∵四边是内接四边形
∴
【题型1：垂径定理及推论】
【典例1】（2023 广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（　　）
A．20m B．28m C．35m D．40m
1．（2023 长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　　．
2．（2023 宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2023 衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　　cm．
【题型2：圆周角和圆心角】
【典例2】（2023 广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
1．（2023 甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2023 河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【题型3：弧、弦、圆心角】
【典例3】（2023 广东）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（　　）
A．20° B．40° C．50° D．80°
1．（2023 泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
2．（2023 枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
3．（2023 宜宾）如图，已知点A，B，C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（　　）
A．140° B．120° C．110° D．70°
4．（2023 牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）
A．20° B．18° C．15° D．12°
【题型4：圆内接四边形】
【典例4】（2023 西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　）
A．65° B．115° C．130° D．140°
1．（2023 朝阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半径为3，则的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．6π
2.（2023 宁夏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝　　°．
3．（2023 温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（　　）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
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