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2023-2024学年上海市重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是非零常数，则“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，且，有下列不等式：，，，其中成立的不等式的个数有( )
A. B. C. D.
4.已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭”函数已知给定两个命题：
：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数．
：若是“封闭”函数，则在区间上严格减．
则下列正确的判断为( )
A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是真命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若幂函数的图像经过点，则实数 ______ ．
6.已知全集，集合，则 ______ ．
7.不等式的解集为______．
8.在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合若点在角终边上，且，则 ______ ．
9.若角满足，，则 ______ ．
10.已知，，用及表示 ．
11.已知，且有，则 ．
12.函数的递增区间是______．
13.设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是______ ．
14.设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为______ ．
15.已知，若关于的方程有唯一解，则的取值范围是______ ．
16.已知，，若对任意，恒成立，则的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求解关于不等式：；
已知，且，求的值．
18.本小题分
设为实数，已知函数为偶函数．
求的值；
判断在区间上的单调性，并用定义法加以证明；
19.本小题分
已知函数，且不等式的解集为．
求实数，的值；
已知，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
第四届中国国际进口博览会于年月日至日在上海举行．本届进博会共有个国家和个国际组织参加国家展国家展今年首次线上举办，来自个国家和地区的近家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专业精品尖端特色产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调需另投入的资金万元．现每台空调售价为万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
求年企业年利润万元关于年产量千台的函数关系式；
年产量为多少千台时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
注：利润销售额成本．
21.本小题分
若函数在其定义域内给定区间上存在实数满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点．
判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由
若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围．
设函数是区间上的“平均值函数”，是函数的一个均值点，求所有满足条件实数对．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为可得，
当，即，当时，成立，所以“”不是“”的充分条件；
当时，因为，所以，所以“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”的既非充分也非必要条件，
故选：．
由“”不能推出“”成立，且由“”也推不出“”成立，进而判断“”是“”的什么条件．
本题考查不等式性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：令，
则，，
，
其中一个零点所在的区间为，
第二次应计算的函数值应该为．
故选：．
根据零点定理，说明在上有零点，已知第一次经计算，，可得其中一个零点，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值．
本题考查的是二分法研究函数零点的问题，在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，当且仅当时等号成立，故正确；
因为，，且，所以，可得，即成立，故正确；
因为，所以，即，故不正确；
因为，所以，当且仅当时等号成立，故正确．
综上所述，中成立的不等式有个，项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质与基本不等式，对各个不等式逐一加以验证，即可得到其中正确的不等式的个数，从而得出答案．
本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用、运用函数单调性比较两个实数的大小等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：命题：若是“封闭”函数，即对，都有，
对于集合，任意的，，使得，则，
而，
所以，故一定是“封闭”函数，
当时，命题正确；
命题：不妨设，，当时，
，
此时是“封闭”函数，但为单调递增区间，命题是假命题．
故选：．
通过定义进行证明若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数，判断命题，再举出反例判断命题．
本题考查了命题真假的判断和函数新定义问题，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：若幂函数的图像经过点，
则有，即，，．
故答案为：．
根据幂函数，代点求值即可．
本题考查了幂函数的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为全集，集合，
所以．
故答案为：．
根据全集和集合的范围，由补集概念直接得出结论．
本题考查集合的补集运算，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：不等式，可化为，即，
恒成立，
，
解得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
把分式不等式转化为整式不等式求解即可．
本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：点在角终边上，且，
则，解得，即，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
由题意得，，结合的范围即可求解．
本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，所以．
故答案为：．
先把转化为，再利用对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由二倍角公式化简得到，进而由的范围及同角的三角函数的基本关系，计算即可．
【解答】
解：由，得，
即；
又，所以，
所以；
由，解得．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：由，解得或，
原函数的定义域为，
令，该函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，
则该函数在上为减函数，开方不改变单调性，
而外层函数是定义域内的减函数，
由复合函数的单调性可得，函数的递增区间是．
故答案为：．
由根式内部的代数式大于等于求出原函数的定义域，在求出二次函数在定义域内的减区间，由复合函数的单调性得答案．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为关于的不等式的解集是区间的真子集，
当时，不等式的解集为，符合题意；
当时，不等式的解集为，则，
当时，不等式的解集为，不符合题意，
故的范围为．
故答案为：．
由已知结合二次不等式的求法对进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了含参二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，如图，旋转之前的图象如图中的虚线，
在第一象限的部分为象限的部分为射线，在第二象限的部分为象限的部分为射线，
旋转后的图象用实线表示，与、对应的部分为分别射线和，
当在第一象限时，在第二象限，得到的曲线可以看成是某一个函数的图像，
当和轴重合时，不能看函数的图象，
当到第二象限时，也不能看函数的图象，
故的最大值为．
故答案为：．
根据题意，作出函数的图象，结合函数的图象以及函数的定义，分析的最大值，即可得答案．
本题考查函数的图象，涉及函数的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：关于的方程有唯一解，
则函数的图象与直线有唯一一个交点，
的图象，是由的图象保留轴上方的部分，把轴下方的部分翻折到轴上方得到，
作出函数与的图象，如图所示，
由图可知，当或，即或时，函数的图象与直线有唯一一个交点，
则实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意得，函数的图象与直线有唯一一个交点，作出函数与的图象，数形结合可得答案．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：原不等式可化为，
令，，
则，，
作出图象如图所示，易知的零点为，
要满足题意需的图象始终位于图象的上方部分可重合，
则需或，
所以，当且仅当时取得最小值，显然没有上限．
故答案为：．
将不等式化为，结合分段函数的图象与性质数形结合计算即可．
本题考查了转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：由可得，
解得，，
故不等式的解集为；
因为，且，
所以，，
则．
【解析】由已知结合对数函数的性质及二次不等式的求法即可求解；
结合同角基本关系及两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了对数不等式及二次不等式的求解，还考查了同角基本关系及两角和的正切公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：的定义域为，
函数是偶函数，即，
，
整理得，即，于是得；
由知，，显然函数在上单调递增，
，，，
则，
因，则，，
即，因此在上单调递增．
【解析】求出函数的定义域，利用偶函数的定义计算作答．单调递增，再利用函数单调性定义推理作答．
本题考查函数的奇偶性，单调性的证明，属于中档题．
19.【答案】解：不等式，即因为不等式的解集为，
即，是方程的两根，将代入方程得，解得，
再由韦达定理得，故；
因为存在，，使得成立，
设，的值域为，，的值域为，
则，的对称轴为，
故在上单调递增，则，即，所以，
当时，，，不满足题意；
当时，在上单调递增，则，
即，所以，
由，则或，
解得，
所以时，；
当时，在上单调递减，则，即，
所以，
由，则或，
解得，
所以时，．
综上所述，．
【解析】由不等式的解集，可知，为方程的两根，由韦达定理可得，的值；
求出在上的值域，再分类可得的值域，要使成立，可得关于的不等式，求出的值．
本题考查分类讨论的思想，方程与不等式之间的转化，属于中档题．
20.【答案】解：由题意知，当时，，
所以，
当时，，
当时，，
所以．
当时，，
所以当时，有最大值，最大值为，
当时，，
当且仅当，即时，有最大值，最大值为，
因为，
所以当年产量为千台时，企业的利润最大，最大利润为万元．
【解析】由题意知，当时，，所以，再分，两种情况讨论，即可求解．
根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知，存在成立，
则是区间上的”平均值函数“；
由题意知存在，，知，即，
则，因为，所以，
而在有解，不放令，
解得或，则，解得；
由题意的，则，且，
由题意可知，即，
所以，
因为，所以，则，又因为，则，即当时，成立，
所以是满足条件的实数对．
【解析】根据条件可知，故满足；
由条件可知，则有，解出，再结合范围可求出范围；
根据条件表示出，化简整理可得，结合的范围可求出的范围．
本题是新定义问题，根据条件逐一进行判断即可，属于中档题．
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