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苏州市2023~2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高三数学参考答案
2024.1
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号12345678
答案DAD CBBAD
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号910
11
12
答案BD
BC BCD
ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.61.5
14.2
15.子（成-中
16.32+6
2
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.(10分)
解：(1)由2×2列联表得K:=100×40×20-20×20=2
2≈2.778>2.706，…3分
60×40×60×40
所以有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”。…4分
(2)由题意得，选择的6人中，有男生4人，女生2人，…5分
所以X的所有可能取值为0,1,2，
P(X=0)=
Cg方'PX=2)=
1
…8分
C15'
故X的分布列为
X
01
2
2
15
E)=0x2+Ix
2
+2
15
153·
4…10分
18.(12分)
解：(1)因为osB_0sA-3cosC
由正弦定理知C0sB_c0sA-3cosC
…1分
b
3c-a
sin B 3sinC-sin A
3sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A-3cosCsin B,
3(sin Ccos B+cosCsin B)=sin Bcos A+sin Acos B,
即3sin(C+B)=sin(B十)，…3分
因为sin(C+B)=sinA,sin(B+A)=sinC,
高三数学参考答案第1页（共5页）
所以3sinA=sinC,所以c=3a.…5分
在A0中，mCim.-子片
2BC.BD
在△ABC中，cosB=BC+AB-AC=。2+9a2-1l5.山
2BC·AB
6a2
36a'
所以51=5_11，所以a2=2,8分
所以cosB=},因为Be0,动，所以油8=小-o心B=
4
…10分
4
所以c=a30咖B=35
…12分
4
19.(12分)
解：(1)由题意得a,=-1+(n-l)=n-2,
所=n(1-
2,
…2分
2
所以b.=4S.-2n=2n2-8n.
因为6，4
4
又因为neN”,所以n=l,2,3,4,…4分
(2)因为{√B}是公差为d的等差数列，所以设√B,=d血+b,…5分
又圆为6=-西-网+空小-2=ma2a-，
所以dn+b=V2dn2+(4a,-2d-2)n对任意neN恒成立，
即2dn2+(4a,-2d-2)n=dn2+2dbn+b对任意meN恒成立，
[2d=d,
d=2,
3
所以4g-2d-2=2b.又因为d0,所以a-子所以6=4，…8分
b=0,
b=0,
所以(-)b=4(-n2.
当n为偶数时，T=4[-12+2-32+42-…-(n-12+n2]
=4(2-1)×(2+)+(4-34+3)+…+(n-(n-1Xn+n-1]
=41+2+3+4+…+)=2(n+):…10分
当n为奇数时，T=4-2+2-32+42-…+(n-)2-n2]
=4-1+(2-32+3)+(4-54+5)+…+(n-)-m(n-1+川
高三数学参考答案第2页（共3页）苏州市2023~2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高三数学 2024.01.22
注 意 事 项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求；
1．本卷共6页，包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)．本卷满分150分，答题时间为I20分钟．答题结束后，请将答题卡交回，
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在各题来的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合U＝R，集合M＝{x|log2x＜1}，N＝{x|x＞1}，则集合{x|0＜x≤1}＝
A．M∪N B．M∩N C．(CUM)∩N D．(CUN)∩M
2．设i为虚数单位，复数z满足(3－i)z＝4＋2i，则|z|＝
A． B． C．2 D．4
3．2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站(如图)．为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车．已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为
(第3题图)
A． B． C． D．
4．已知函数f(x)＝cos(ωx＋)＋1(ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)在区间[0，]上的最大值为
A． B．1 C． D．2
5．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，BC＝2AD＝2AB＝2，以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为
A． B． C． D．2π
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A是圆C1：x2＋(y－3)2＝1上的一点，B，C是圆C2：(x－4)2＋y2＝4上的两点，则∠BAC的最大值为
A． B． C． D．
7．已知正实数a，b，c满足＝2a－a，＝3b－b，＝4c－c，则a，b，c的大小关系为
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
8．若sin是函数f(x)＝ax3－bx＋1(a，b∈N*)的一个零点，则f(1)＝
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知a，b∈R，则“a＞b”的充分不必要条件有
A．＞ B．lga＞lgb
C．a3＞b3 D．a3＞a2b
10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x－2经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，l与抛物线相交于A，B两点，则
A．p＝2 B．|AB|＝16
C．线段AB的中点到y轴的距离为6 D．OA⊥OB
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝(x＞0)的图象为曲线C，点B1，B2，B3，…在C上，点A1，A2，A3，…在x轴上，且△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…分别是以B1，B2，B3，…为直角顶点的等腰直角三角形．记点Ai，Bi的横坐标分别为ai，bi(i＝1，2，3，…，n，…)，则
(第11题图)
A．|A1B2|＝ B．a3＝
C．{an2}为等差数列 D．＝10
12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝，AA1＝1，P为棱C1D1的中点，Q为底面ABCD上(含边界)的一动点．记点Q轨迹的长度为L，则下列说法正确的有
(第12题图)
A．若PQ⊥B1C，则L＝2
B．若PQ∥平面A1BC1，则L＝
C．若PQ＝，则L＝π
D．若C到平面A1PQ的距离为，则L＝2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度(单位：mm)，按从小到大排序结果如下：25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195，则估计这批棉花的第45百分位数为 ▲ ．
14．已知(x＋a)(x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a1＝13，则a＝ ▲ ．
15．已知单位向量a，b的夹角为θ，向量c＝b－a，若|c|∈Z，则cosθ＝ ▲ ．(写出一个可能值)
16．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过O的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若FB⊥AB，∠AFB＋∠AOF＝π，则C的离心率为 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
霹雳舞在2023年杭州举办的第19届亚运会中首次成为正式比赛项目．某学校为了解学生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了100名学生，统计得到如下2×2列联表：
男生 女生 总计
喜爱 40 20 60
不喜爱 20 20 40
总计 60 40 100
(1)请你根据2×2列联表中的数据，判断是否有90%的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”；
(2)学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学生中选择6人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派2人参加市级比赛，设X为这2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
▲ ▲ ▲
18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)求证：c＝3a；
(2)若点D在边AB上，且BD＝2DA，CD＝2，AC＝，求△ABC的面积．
▲ ▲ ▲
19．(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，设Sn为{an}的前项和，数列{bn}满足bn＝4Sn－2n(n∈N*)．
(1)若a1＝－1，d＝1，且bn＜an，求n；
(2)若数列{}也是公差为d的等差数列，求数列{(－1)nbn}的前n项和Tn．
▲ ▲ ▲
20．(12分)
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为平行四边形，AB＝2，AD＝2，∠ABD＝90°，矩形BDEF所在平面与底面ABCD垂直，M为CE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面AEF；
(2)若平面BDM与平面BCF夹角的余弦值为，求CE与平面BDM所成角的正弦值．
(第20题图)
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21．(12分)
已知函数f(x)＝．
(1)求f(x)的极值；
(2)证明：f(x)＜＋．
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22．(12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：(a＞b＞0)经过点A(－4，0)，B(2，3)，直线AB与y轴交于点P，过P的直线l与Γ交于C，D两点(异于A，B)，记直线AC和直线BD的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．
(1)求Γ的标准方程；
(2)求－的值；
(3)设直线AC和直线BD的交点为Q，求证：Q在一条定直线上．
▲ ▲ ▲

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