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专题5.5 诱导公式-重难点题型精讲
1．诱导公式
(1)诱导公式
(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【题型1 利用诱导公式求值】
【方法点拨】
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表.
【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））已知则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用诱导公式化简】
【方法点拨】
在对给定的式子进行化简时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将
角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）（ ）
A． B．0 C． D．
【变式2-2】（2022·北京高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若，则化简=（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用互余（互补）关系求值】
【方法点拨】
诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般
解题步骤如下：
(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.
(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.
(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果.
【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知 ，，则cos()=（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·广西梧州·高二期末（理））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·北京市高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 诱导公式在三角形中的应用】
【方法点拨】
利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要
注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·全国·高一专题练习）在中，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022·上海高一阶段练习）已知、、是的内角，对于①；②；③；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）设，，为的三个内角，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①；②；③ ；④始终是常数的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4专题5.5 诱导公式-重难点题型精讲
1．诱导公式
(1)诱导公式
(2)诱导公式的作用
2．一组重要公式
(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有
(k∈Z).
类似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【题型1 利用诱导公式求值】
【方法点拨】
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表.
【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合，根据诱导公式求解即可.
【解答过程】解：因为，，
所以
故选：D.
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））已知则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由三角函数的诱导公式，化简得，代入即可求解，得到答案.
【解答过程】由三角函数的诱导公式，
可得，
又，所以.
故选：C.
【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.
【解答过程】因，则，即，而，于是得，
所以.
故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据及诱导公式即可求解.
【解答过程】∵，
∴.
故选:D．
【题型2 利用诱导公式化简】
【方法点拨】
在对给定的式子进行化简时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将
角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用诱导公式化简可得结果.
【解答过程】.
故选：C.
【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）（ ）
A． B．0 C． D．
【解题思路】由诱导公式直接化简可得.
【解答过程】
故选：A.
【变式2-2】（2022·北京高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】应用诱导公式化简即可得结果.
【解答过程】.
故选：D.
【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若，则化简=（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据诱导公式化简即可得答案.
【解答过程】解：
.
故选：D.
【题型3 利用互余（互补）关系求值】
【方法点拨】
诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般
解题步骤如下：
(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.
(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.
(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果.
【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知 ，，则cos()=（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.
【解答过程】，，
，，
，
故选：A.
【变式3-1】（2022·广西梧州·高二期末（理））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】整体代换法用诱导公式进行计算
【解答过程】，
故选：A.
【变式3-2】（2022·北京市高一期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】找出与之间的关系，进行整体转换即可.
【解答过程】.
故选：C.
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.
【解答过程】
故选：B.
【题型4 诱导公式在三角形中的应用】
【方法点拨】
利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要
注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角函数诱导公式对原式进行化简可得的值，利用平方关系得到的值，再结合三角形的内角，求解的值，进而得到的值，即可求解.
【解答过程】解：在中，，
平方得，，
因为A为三角形的一个内角，所以，，
所以，，
所以，结合，可得，，
所以.
故选：A.
【变式4-1】（2022·全国·高一专题练习）在中，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知可得，结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项即可得出答案.
【解答过程】在中，有，，故A错误；，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
等式一定成立的是C．
故选：C．
【变式4-2】（2022·上海高一阶段练习）已知、、是的内角，对于①；②；③；④；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解题思路】直接利用诱导公式判断每一个命题即得解.
【解答过程】解：①,所以正确；
②，所以正确；
③，所以正确；
④，所以正确.
故选：D.
【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）设，，为的三个内角，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①；②；③ ；④始终是常数的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】直接利用三角形的内角和，诱导公式化简四个选项，求出数值即可．
【解答过程】解：，，为的三个内角，所以，则不管三角形的形状如何变化，表达式：
①不是常数；
②是常数；
③是常数；
④是常数；
所以始终是常数的是3个．
故选：C．

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