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专题5.9 三角恒等变换（重难点题型精讲）
1．两角差的余弦公式
对于任意角，有.
此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
7．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①：，，.
②：.
③：.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；.
【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【方法点拨】
公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.
【例1】（2022·四川省模拟预测（理））已知，都为锐角，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·江苏南京·高二期中）已知均为锐角，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式1-2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·天津市高一阶段练习）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用和（差）角公式求三角函数式的值】
【方法点拨】
解决三角函数求值的四个切入点：
(1)观察角的特点.充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.
(2)观察函数特点.向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦.
(3)利用辅助角公式求解.
(4)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式.
【例2】（2022·湖南·高三阶段练习）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2-1】（2022·宁夏·高三期末（文））（ ）
A． B． C． D．—
【变式2-2】（2022·河南高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022·山东·高一阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用和（差）角公式化简三角函数式】
【方法点拨】
(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可
能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.
(2)化简三角函数式的常用方法:
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.
【例3】（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)．
【变式3-1】设，化简：．
【变式3-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式3-3】（2022·全国·高一课前预习）化简：
(1)(tan 10°－)·；
(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
【题型4 利用和（差）角公式证明三角恒等式】
【方法点拨】
证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切入，然后用证明恒等式
的一般方法处理.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知，且，，.求证：.
【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）已知，，求证：
(1)；
(2).
【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：（1）；
（2）.
【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）求证：
（1）；
（2）；
（3）．
【题型5 利用二倍角公式化简】
【方法点拨】
解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”
的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同
角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”
的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围.
【例5】（2021·全国·高一专题练习）化简：
(1)coscos；
(2)cos4－sin4；
(3) .
【变式5-1】（2022·上海·高三专题练习）化简：（为锐角）
【变式5-2】（2022·江苏·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
【题型6 利用二倍角公式求值】
【方法点拨】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、
变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
【例6】（2022·全国·高一单元测试）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式6-1】（2022·湖北黄石·高一期中）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【变式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式6-3】（2022·北京高一期中）已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.专题5.9 三角恒等变换（重难点题型精讲）
1．两角差的余弦公式
对于任意角，有.
此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作
.
公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.
2．两角和的余弦公式
(1)公式的结构特征
(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧
两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.
①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.
3．两角和与差的正弦公式
(1)两角和与差的正弦公式的结构特征
(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧
两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.
①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.
4．两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式的结构特征
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用
尤为突出.
常用的角的代换形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其
中要特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式[或将形如
(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个
三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
7．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①：，，.
②：.
③：.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；.
【题型1 两角和与差的三角函数公式的应用】
【方法点拨】
公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.
【例1】（2022·四川省模拟预测（理））已知，都为锐角，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由同角三角函数的基本关系可得和，代入，计算可得．
【解答过程】解：，都是锐角，，，
，，
，
故选：A．
【变式1-1】（2022·江苏南京·高二期中）已知均为锐角，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解.
【解答过程】解：因为，
所以，
即，
又均为锐角，
所以，即.
故选：D.
【变式1-2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的正弦公式计算可得.
【解答过程】解：因为，所以，又，
所以，
所以
，
故选：D.
【变式1-3】（2022·天津市高一阶段练习）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【解答过程】由题意，可得，，
因为，，可得，，
则
.
故选：C.
【题型2 利用和（差）角公式求三角函数式的值】
【方法点拨】
解决三角函数求值的四个切入点：
(1)观察角的特点.充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.
(2)观察函数特点.向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦.
(3)利用辅助角公式求解.
(4)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式.
【例2】（2022·湖南·高三阶段练习）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解题思路】把分子中的化为，利用两角差的余弦公式进行计算即可.
【解答过程】原式=
.
故选：C.
【变式2-1】（2022·宁夏·高三期末（文））（ ）
A． B． C． D．—
【解题思路】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.
【解答过程】
.
故选：C.
【变式2-2】（2022·河南高三阶段练习（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用两角和的余弦公式和三角函数的基本关系式，化简的原式，代入即可求解.
【解答过程】由.
故选：B.
【变式2-3】（2022·山东·高一阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】化简得 ，再代值计算即可.
【解答过程】解：因为
＝＝
＝.
故选：B.
【题型3 利用和（差）角公式化简三角函数式】
【方法点拨】
(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可
能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.
(2)化简三角函数式的常用方法:
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.
【例3】（2022·湖南·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）由结合和差角公式化简即可；
（2）由结合和差角公式以及诱导公式化简即可.
【解答过程】(1)
；
(2)
.
【变式3-1】设，化简：．
【解题思路】利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简计算即可.
【解答过程】
，
，，
，
.
【变式3-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】（1）将67°写成，结合两角和的正弦、正切公式，即可求解；
（2）切化弦，结合辅助角公式，两角和的正弦公式运算即可求解；．
（3）将改成，改成的形式，结合两角和的正弦公式即可求解．
【解答过程】(1)
解：原式=
．
(2)
解：原式
．
(3)
解：原式
．
【变式3-3】（2022·全国·高一课前预习）化简：
(1)(tan 10°－)·；
(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
【解题思路】（1）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式计算出正确答案.
（2）结合两角和与差的正弦公式计算出正确答案.
【解答过程】(1)
原式＝(tan 10°－tan 60°)·＝·
＝·
＝－·＝－＝－2.
(2)
原式＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]
＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.
【题型4 利用和（差）角公式证明三角恒等式】
【方法点拨】
证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切入，然后用证明恒等式
的一般方法处理.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知，且，，.求证：.
【解题思路】转化，，用正弦的和差角公式展开，再利用同角三角函数的商数关系，即得解.
【解答过程】由题意，，
故，
又，
，
，
由于，，，
故，，
两边同除以：，
可得，即得证.
【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）已知，，求证：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相加即可得证；
（2）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相减即可得证；
【解答过程】(1)
证明：因为，即，
所以两式相加可得，
所以得证；
(2)
证明：因为，即，
所以两式相减可得，
所以得证.
【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：（1）；
（2）.
【解题思路】（1）直接根据差角的正弦公式与同角三角函数的商关系证明即可；
（2）由（1）得，由此可证．
【解答过程】证明：（1）；
（2）由（1）得，
∴ ，
∴．
【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）求证：
（1）；
（2）；
（3）．
【解题思路】直接利用两角和与差的三角函数化简等式的左侧，证明即可．
【解答过程】证明：（1）
；
（2）
；
（3）
等式成立．
【题型5 利用二倍角公式化简】
【方法点拨】
解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”
的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同
角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”
的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围.
【例5】（2021·全国·高一专题练习）化简：
(1)coscos；
(2)cos4－sin4；
(3) .
【解题思路】（1）利用诱导公式及二倍角正弦公式计算可得；
（2）利用平方关系及二倍角余弦公式计算可得；
（3）利用二倍角的正切公式计算可得；
【解答过程】（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：.
【变式5-1】（2022·上海·高三专题练习）化简：（为锐角）
【解题思路】根据二倍角正弦公式与二倍角余弦公式对根式进行配方，再根据角的范围去绝对值，即得结果.
【解答过程】
.
为锐角，.
∴ .
【变式5-2】（2022·江苏·高一课时练习）化简：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；
（2）逆用正切二倍角公式，结合特殊角的正切值进行求解即可；
（3）运用切化弦法，结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式进行求解即可；
（4）运用平方差公式，结合同角的三角函数关系式、余弦的二倍角公式进行求解即可；
（5）运用切化弦法，结合正弦和余弦的二倍角公式进行求解即可；
（6）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.
【解答过程】(1)
；
(2)
；
(3)
(4)
；
(5)
(6)
.
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
【解题思路】（1）对原式通分化简即得；
（2）利用诱导公式、同角的三角函数关系、二倍角的正弦余弦公式化简即得解.
【解答过程】（1）原式=.
（2）原式=
.
【题型6 利用二倍角公式求值】
【方法点拨】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、
变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
【例6】（2022·全国·高一单元测试）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解题思路】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答.
（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计算作答.
【解答过程】（1）
因，则.
（2）
因，则，又，
所以．
【变式6-1】（2022·湖北黄石·高一期中）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【解题思路】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；
（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【解答过程】（1）由，
所以；
（2）
【变式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系式求解即可.
（2）利用正弦及余弦的二倍角公式展开后分式上下同除以，然后代入的值即可求解.
【解答过程】(1)
∵
∴
∴.
(2)
.
【变式6-3】（2022·北京高一期中）已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.
【解题思路】（1）将已知等式分子分母同除，可构造关于的方程，求得；
（2）将所求式子利用二倍角公式化为正余弦的二次式，配凑分母，分子分母同除可构造出关于的方程，代入可求得结果.
【解答过程】(1)
，
，解得：.
(2)
.

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