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2009年高考数学第二轮复习精品资料一 选择题 全国通用
选择题是高考数学试卷中的三大题型之一．
它的基本特点是：(1)知识覆盖面广，题型灵活多变，经常出现一些数学背景新颖的创新题．这些创新题目注重基础性，增强综合性，体现时代气息；在注重考查基础知识、技能、方法的同时，加大了对能力考查的力度，考潜能，考应用，体现着高考数学命题改革的导向作用．(2)绝大多数选择题题目属于低中档题．因为主要的数学思想和教学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次，解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以使之成为具备较佳区分度的基本题型之一．(3)选择题不要求书写解题过程，不设中间分，因此一步失误，就会造成错选，导致全题无分．(4)选择题的分数一般占总分的40％左右．
选择题得分率的高低及解题速度的快慢直接影响着每位考生的情绪和全卷的成绩．因此，准确、快速是解选择题的策略．准确是解高考选择题的先决条件，这要求考生要仔细审题，认真分析，合理选择解题方法，正确推演或判断，谨防疏漏，确保准确；快速是结合高考数学单项选择题的结构，题目本身提供的条件、特征或信息，以及不要求书写解题过程的特点，灵活选用简单、合理的解法或特殊化法，避免繁琐的运算、作图或推理，避免“小题大做”，给解答题(特别是中高档题)留下充裕的时间，争取得高分．具体说来，就是要突出解题方向的探索、解题思路的分析、解题方法的选择以及解题思维过程的展示和解题回顾反思等环节；熟练掌握各种基本题型的一般解法，在此基础上逐步掌握解选择题的解题思路、常用方法、规律及相关技巧；注重提高口算、心算和笔算的能力，做到“基本概念理解透彻，基本联系脉络清晰，基本方法熟练掌握，基本技能准确无误”，达到“既然会解，就要解对”的地步，而且需要思维清晰、敏捷、通畅，解法合理、简捷．为此，研究和探索选择题的解题思路、常用方法与技巧就显得非常必要和重要．下表是对近三年高考数学试卷选择题适用解法的分值统计结果：
直接对照法
概念辨析法
图像分析法
特例检验法
逆向思维法
2004年
35
10
25
5
5
2005年
40
10
35
15
10
2006年
35
10
10
15
10
说明：因为有些试题可用多种解法，所以统计的分值有重复现象．其中表格为（全国卷）：
第一讲 直解对照法
直解对照法是直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关的概念、性质、公式、公理、定理、法则等知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确选择支的方法.
【调研1】如果函数的导函数的图像如下图，给出下列判断：
① 函数在区间内单调递增；
② 函数在区间内单调递减；
③ 函数在区间内单调递增；
④ 当时，函数有极小值；
⑤ 当时，函数有极大值；
则上述判断中正确的是（ ） A. ① ③ B. ③ ④ C. ③ D. ① ③ ⑤
答案：Ｂ
解析:根据原函数与导函数的图像间的关系，并列表得：
2
4
－
0
＋
0
－
0
＋
极小值
极大值
极小值
由上表不难得出正确答案为Ｂ.
【误点警示】
本例是一道甄别个性品质的好题，具有较强的迷惑性，有利高校选拔.求解本例时，易出现审题偏差以及原函数与导函数的单调区间、极值等相混淆，误判命题②、⑤.求解这类题目最直接、最有效的方法是利用表格，分析整理相关信息.
【调研2】已知第I象限的点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：Ｄ
分析：本例涉及不等式与直线以及初中数学等相关知识，具有一定的综合性.求解过程中，需去掉其数学形式，还原其数学本质：将本例转化为“已知，求的最小值”，转化为条件最值问题求解.
解析：＝
（当且仅当时取等号）
【方法点拨】因导数工具的引入与广泛运用，利用均值不等式求最值的高考要求已大大降低；但若能掌握一些关于利用均值不等式求最值的技巧，对提高解题的速度与准确程度很有帮助.利用均值不等式求最值有以下四个常用技巧：
技巧①：等分相拆　如求函数（）的最大值时，要保证和为定值以及等号成立，只能等分相拆成，而不能拆或等形式；
技巧②：平方升次　　如求函数（）的最大值时，无法直接构造和为定值，但可以尝试两边平方后再构造和为定值；
技巧③：分离常数　　如求函数（）的最值时，可以先强行分离常数：，再利用均值不等式求解；
技巧④：常数活用　如本例中“活用常数1”：.
（文科）
【调研3】二次函数,当，2，3，…，，…时，其图像在轴上截得的弦长依次为，，…，,…，则为（ ）
A. B. 　 C. 　 D.
答案：Ｄ
解析：设二次函数与轴的分布交点为，，则令得
∴，解之得，　∴弦长
令得
＝
【方法探究】
（理科）
【调研3】二次函数,当，2，3，…，，…时，其图像在轴上截得的弦长依次为，，…，,…，则的值是（ ）
A.4 　　 B.3 　　　 C.2 　　　 D.1
答案：Ｄ
分析：本例应先找出弦长表达式，再求和，最后求极限，次序井然，不容一丝马虎.
解析：设二次函数与轴的分布交点为，，则令得
∴，解之得，　∴弦长
令得
∴.
（文理科）【方法探究】
本例求弦长很容易想到利用韦达定理，走“设而不求”的道路；但就本题而言直接求根的这种“原始手段”反而更为简便.
至于何时用“设而不求”求弦长，何时直接求根再求弦长，这个问题比较辩证，应具体问题，具体分析.一般地说，方程根比较容易解出时，应首先考虑直接求根.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
1.我国的《洛书》记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，……，9填入的方格内，使三行、三列、二对角钱的三个数之和都等于15，如图所示：
一般地，连续的正整数1，2，3，……，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方. 记阶幻方的对角线上数的和为，如上图的幻方记为，那么的值为（ ）
A.505 　　 B.506 　　 C.504 　 D.507
2.在中，，则的大小为（ ）
A. 　B. 　　C. D.
3.定义在R上的偶函数满足，且在[－3，－2]上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（　　）
Ａ.　　　　　　Ｂ.
Ｃ.　　　　　　Ｄ.
（文科）
4.设命题：在直角坐标平面内，点与（），在直线的异侧；命题：若向量，，满足，则的夹角为锐角．以下结论正确的是（ ）．
A.“”为真，“”为真 B.“”为真，“”为假”
C.“”为假，“”为真　　　　D.“”为假，“”为假
（理科）
4.已知函数在点处连续,则＝( )
A. B. C. D.
【参考答案】
1.答案： A
解析: 由阶幻方的定义可知：十阶幻方是将1，2，3，……，100填入表格中，每行、每列、每条对角线上的数的和相等
故＝505.
点评：本题看似复杂，关键在于善抓住有效信息：阶幻方的定义.
2.答案：Ａ
解析：由平方相加得
又∵、、是△ABC的内角，即
∴，即或.
若，则　　∵　　∴
又∵　　　∴，　故
点评：本题要注意充分挖掘题目条件，隐含条件比较隐蔽，极易误选为.
3.答案：D
解析：∵是偶函数，且在上是减函数　∴在上是增函数
又∵　　∴是以周期的周期函数.
故在上是增函数
∵是钝角三角形的两个锐角　　∴，即
∴　即
又∵ ∴
（文科）
4.答案：Ｂ
解析：判断复合命题、的关键是准确判断命题与命题的真假.
∵　　∴
又∵　∴，即
故点与在直线的异侧，命题为真命题.
又∵向量和向量共线也有　　　∴命题为假命题.
从而有“”为真，“”为假”，所以本题的答案为Ｂ.
（理科）
4.答案：D
解析：
∵　函数在点处连续
∴　，即 ∴
∴
第二讲 概念辨析法
从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，少量运算或推理，直接选择出正确结论，我们称这种方法为概念辨析法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要同学们在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时需加小心，准确审题以保证正确选择.一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易掉入命题者设置的陷阱.
【调研1】已知是偶函数，定义域为，则＝（　　）　Ａ.　　　　　Ｂ.　　　　Ｃ.　　　　Ｄ.无法确定
答案：Ｃ
分析：本例主要考查函数奇偶性概念，破题的关键在于明确函数定义域必须关于原点对称，从而确定的值.
解析：∵是偶函数
∴，且定义域为关于原点对称，即 ∴
∴ 　　　故
【技巧点拨】函数奇偶性是函数五大性质之一，求解与奇偶性相关的题目，注意运用以下结论，提高解题速度.
①.函数奇偶性是整体性质，其定义域必须关于原点对称，从而有函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.
②.二次函数为偶函数的充要条件是，一次函数为奇函数的充要条件是；
③.若奇函数在原点有定义，则其函数图像必过原点，即；
④.偶（奇）函数在对称区间单调性相同（反）.
【调研2】已知集合、、，下列式子正确的是 ( )
A. B. 　　 C. D.
答案：Ｃ
分析：本例涉及直四棱柱、正四棱柱以及长方体的概念，有一定的迷惑性.求解本例的关键是理清正四棱柱、长方体的内涵与外延，明确相互关系.
解析：四棱柱的概念如下图
用集合语言表示为：，即
∴、、，从而排除Ａ、Ｂ、Ｄ.
【方法探究】
本例是以四棱柱相关概念为内核，以集合为形表，有一定的新颖性和迷惑性.
集合与向量一样，都是重要的数学语言，在各省市高考卷和各地高考模拟卷中，常常出现以其他板块知识为内核，集合语言进行包装，改头换面，有一定的新意和灵活度.如以下两例分别是由集合和向量进行包装：
①集合，，，若，点，则的最大值为_ __.
②已知在平面直角坐标系中，，，，，，动点满足不等式，，，则的最大值为_____.
以上两题看似毫不相干，但都是由线性规划“变量x、y满足约束条件，则的最大值为__________”进行包装而来.
求解这类题目的关键是“去掉数学形式、理解数学本质”.
（文科）
【调研3】如图, 已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A.　　　 B.　　　 C. D.
答案：A
分析：求解本例的关键是中有理清各对向量的模长与夹角.
解析：设边长为，在正六边形
、 、
、和
∴ ；
和
∴数量积中最大的是.
【方法探究】本例主要考查向量夹角及数量积的概念，求解过程中注意利用正六边形的几何性质，同时注意向量的方向，准确找出相应向量的夹角.
　　本例可以简化以上求解过程，由和直接排除Ｃ、Ｄ，只需比较与即可.
（理科）
【调研3】下列随机变量的分布列不属于二项分布的是（　　）
A.某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对他们进行年度考核，每人考核结论为优秀的概率是．假设每人年度考核是相互独立的，为考核结论为优秀的人数；
B.某汽车总站附近有一个加油站，每辆车出汽车总站后，再进加油站加油的概率是且每辆车是否加油是相互独立的.某天出汽车总站有50辆汽车，为进站加油的汽车数；
C.某射手射中目标的概率为，设每次射击是相互独立的.为从开始射击到击中目标所需要的射击次数；
D.某周内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.5.表示下载的次数据后电脑被病毒感染的次数．
答案：Ｃ
分析：如何识别二项分布？关键在于紧扣二项分布的概念，抓三点判断：①.每次实验只有两类对立的结果；②.次相同事件相互独立；③.每次实验的某一结果的概率是恒定的.
解析：选项Ａ：每人考核结论只有“优秀”、“ 不优秀”两个对立结果，且每人考核结论为优秀是相互独立，并且概率为常数，所以随机变量服从二项分布；
选项Ｂ：每辆车出汽车总站后，只有进站加油和不进站两个结果，同时每辆车进站加油的概率为常数，而且相互独立的，所以随机变量服从二项分布；
选项C：在一次又一次的射击中，第一次射中我们关注的事件A，随机变量表示第一次击中目标时射击的次数，显然随机变量服从几何分布，不服从二项分布.
选项Ｄ：同选项Ａ、Ｂ，可判断随机变量服从二项分布.
【技巧点拨】三类特殊分布及判定技巧
二项分布、几何分布与正态分布是中学数学的三大特殊分布，在实际中有着广泛的应用.《2006年理科数学考试大纲》对这三种特殊分布仅要求到“了解”层次，但近年的高考试卷中多有涉及，甚至在2006年湖北卷出现关于正态分布的解答题，应予以重视.现将这三大特殊分布相关知识以及判定技巧整理到下表：
二　项　分　布
几　何　分　布
正　态　分　布
定
义
如果随机变量表示在次独立重复试验中事件发生的次数，那么，我们称随机变量服从二项分布．
如果随机变量表示在独立重复试验中事件第一次发生时试验的次数，那么我们称随机变量服从几何分布．
由密度函数
确定的分布叫正态分布.
属性
离散型随机变量
离散型随机变量
连续型随机变量
数学期望
若，则
密度函数中的
方差
若，
密度函数中的
判断技巧
(1)每次实验只有两类对立的结果； (2)次相同事件，相互独立； (3)每次实验某类结果的发生的概率是一个常数.
在独立重复试验中，事件首次发生.
把握总体密度曲线特征：两头底、中间高、左右对称.
1.若成立的充分不必要条件是（ ）
A. B. C.　　D.
2.有下列命题（1）若，则；（2）直线的倾斜角为，纵截距为1；（3）直线 与直线 平行的充要条件是且；（4）当且时，；（5）到坐标轴距离相等的点的轨迹方程为；其中真命题的个数是（ ）Ａ.0　Ｂ.1　 Ｃ.2 Ｄ.3
3.函数的反函数是（ ）
A. B.
C. 　　 D.
4.函数的最大值为，最小值为，则的值为（　　）
A.1　　　　　B.2　　　　　　　C.3　　　　D.4
【参考答案】
1.答案：Ｄ
解析：根据充分不必要条件的概念知，本题等价于“（ ）”.
2.答案：B
解析：（1）当C＝0时，不等式不成立；
（2）重点考查直线倾斜角、截距等概念，的倾斜角为，纵截距应为－1，这是易错点；
（3）小题是教材结论，本命题为真命题；
（4）小题考查均值不等式成立条件，的成立条件应为，即；
（5）小题是由教材第69页变化而来，显然为假命题.
3.答案：A
解法一 ：回归概念
∵ ∴ 兑换、得
又∵ ∴的值域为R.
∴函数的反函数为.
解法二 ：特值排除
∵ 函数过点，
∴ 函数的反函数过点、，排除B、C、D.
点拨：反函数问题是中学数学的重要概念，也是历届高考的热点.在求解以选择题的形态出现的“求某函数的反函数”问题时，注意运用结论“” 快速求解.
4.答案：Ｂ
解析：∵ 是奇函数，奇函数的最大值与最小值的和等于
∴是由奇函数的图象向上平移1个单位得到的　　∴的最大值与最小值的和等于
点拨：本题主要考查函数奇偶性的灵活运用，函数不具有奇偶性，但局部具有奇偶性时，再如求解“已知（为常数）且，则＝__________”，可类比本题处理技巧，请同学们自己动手完成.
第三讲 图像分析法
“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化；而图像分析法正是在这一学科特点的基础上发展而来，使用数形结合与数形分离的思想进行解题，题干中图像意义比较明显，丰富的问题，一般可用图像分析法求解.
【调研1】符号表示不超过的最大整数，如，，新定义一个函数，对于下列命题：
①.函数的定义域为R，值域为；　②.函数为偶函数；
③.函数在R上是增函数；　　　　　　④.函数是周期函数；
⑤.方程有无数解，其中命题的正确个数为（ ）
A.1 　　 B.2 　　 C.3 　　 D.4
答案：Ｂ
分析：求解本例的关键是绘制新定义函数的图像.
解析：∵ 符号表示不超过的最大整数，新定义一个函数
∴ 对于函数
当时，有，∴
当时，有，∴
当时，有，∴　………
故函数的图像为：
由图可知：函数的值域为，且非奇非偶函数，在区间（）上是单调增函数，所以命题①、②、③都是错误的命题，只有命题④、⑤是正确命题，即本题的答案为Ｂ.
【技巧点拨】函数图像与函数性质是函数的双翼，二者结合，使函数在数学天空任意驰骋.这包括两个基本方面：
（1）研究函数图像的性质，再绘制函数图像，在本书的《解答题专题》的第四讲的例１属于这一问题，这要求对数学有比较深刻的认识与理解；
（2）绘制函数图象，再由函数图像观察函数性质，属于“看数学图说话”问题，在本例运用到这一技巧.
【调研2】已知向量,，，则向量与的夹角范围为　( )
A. 　 B. 　C. 　 D.
答案：Ｄ
解析：∵，　　∴，
∵　　∴点的轨迹是以为圆心,为半径的圆.
过原点作此圆的切线,切点分别为，连、，如图所示，则向量与的夹角范围是
∵　　∴
知，但
∴,　故，即本题的答案为D.
【方法探究】数形结合大致有以下两条途径：
（1）以数解形 通过对数量关系的讨论，去研究曲线的几何性质，这种思想在解析几何中最常见；
（2）以形助数 一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有体现，特别是方程解的个数，解不等式，求最值等问题中的应用更常见.
【调研3】（1）已知椭圆，则其内接三角形面积的最大值为（ ）
A.6 B.9 C.12 D.12
（2）M是抛物线上一点，是圆上的动点，则的最小值是（ 　 ）　A. B. 　 C. 2＋ D.
答案：（1）Ｂ　　（2）Ａ
分析：本例两个小题都是解析几何的最值问题：
对于第（1）小题，因椭圆内接三角形没有直接的面积计算公式，无法先列函数式求最值；但对于圆而言，这却是轻而易举的事.那将椭圆的内接三角形向圆转化是求解本例的关键；对于第（2）小题，求解的关键是将两动点距离转化为抛物线上动点Ｍ到定点（圆心Ｃ）的距离问题.
解析：（1）如图椭圆的长、短轴之比为4∶3
将椭圆按投影到平面，得到半径为的圆，圆内接正△的面积最大，此时最大面积为=
∴椭圆内接三角形最大面积为.
（2）如图设是上一点，＋≥，所以的最小值即为点Ｍ到圆心C的距离减去半径Ｒ.设M是抛物线上一点，则
∴时，　　∴
【技巧点拨】解析几何最值问题是解析几何板块的最基本题型之一，这类问题大致有四条求解途径：
（1）利用圆锥曲线的定义，特别是圆锥曲线的第二定义求解；
（2）构造函数表达式后，再求最值，如本例第（2）小题建立二次函数求的最值；
（3）转化为对称问题求解，这类问题比较常规；
（4）构造特殊结构求解，如本例第（1）小题，将椭圆倾斜，保证其投影为圆，将“椭圆内接三角形问题”转化为“圆内接三角形问题”求解，颇有参考意义.
1.（湖南04理－12）设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A. 　B. 　C. 　D.
2.不等式的解集是,则的取值范围是（ ）
A.（- 　　　B.[ 　　　C.(-) 　　　D.(-
3.若函数满足, 且时,则函数的图象与函数的图象的交点个数为 ( )
A.16 B.18 C.20 D.无数个
4.若连掷两次骰子,分别得到的点数是、, 将、作为点P的坐标, 则点P落在区域内的概率是( )
A. B. C. D.
【参考答案】
1.答案：Ｄ
解析：设，则
∵当时，
∴在上是增函数
∵分别是定义在R上的奇函数和偶函数　　　∴为奇函数
又∵　∴
又∵是奇函数 ∴，
故根据以上特点，不妨构造如图1所示的符合题意的函数的图象，由图直接观察出所求解集是，所以本题的答案为Ｄ.
2.答案：Ａ
解析：设, ，在同一坐标系内作及的图象，的图象是半圆()，的图象是斜率为的直线系.
依题意得，的图象必须在如图的切线上方，而圆心（－2，0）到直线
的距离必须成立，解得.
3. 答案：B
解析: 由知是以周期的周期函数.
又∵时　　∴可作出函数、的图像如下图所示.
∴由图象可得函数、函数的交点的个数左右边有9个，共计18个.
4.答案:Ｄ
解析: 如图4作出的可行域,可得在可行域内的点共有11个, 而点P的坐标共有个,故所求的概率.
第四讲　　特例检验法
特例检验法（也称特例法或特殊值法）是用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而作出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.
特例检验法是解答选择题的最佳策略之一，适于解答“对某一集合的所有元素，某种关系恒成立”这样类以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，从而达到肯定一支或否定三支（去谬）的目的，完成“小题小做”或“小题巧做”的解题策略.
【调研1】定义在区间的奇函数为增函数，偶函数在区间的图象与的图象重合，设，给出下列不等式，其中成立的是（ ）
①；　②
③；　④
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
答案：C
解法一：图像分析法
任作奇函数的图像如图，偶函数在第1象限与函数重合，所以偶函数也相应确定.
∴
∴　本题的答案为Ｃ.
解法二：直接对照法　　由函数奇偶性概念知
；
；
∵是奇函数　　∴
∵在上是增函数　∴
故本题的正确答案为Ｃ.
解法三：特例检验法（取特殊函数）
令奇函数，偶函数，同时令，，则给出的4个不等式分别是①；②；③；④
由②不成立，排除B、D，又④不成立，排除A.
【方法探究】本例是一道经典题，至今仍散发活力，综合考查函数奇偶性、单调性；试题比较长，数学符号多，兼考查阅读、理解能力，对综合应用数学知识，解决数学问题的能力要求较高.在本例所给的三种解法中，显然第三种取特殊函数比较简洁，出错概率相对小些，求解速度相对快些.
【调研2】设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　 ）
Ａ．（0，1） 　 Ｂ．（－∞，0） Ｃ．（－∞，1） Ｄ．（－∞，）
答案：Ｃ
解法一：直接对照法
∵函数是奇函数，又是R上的增函数
又∵ 　　∴，即有
令，由知，则
恒成立问题转化为函数（）恒成立问题
　∴，即　　故本题的答案为Ｃ
解法二：特例检验法
令时，有成立，从而排除A、B
又时，f（成立，从而排除D.
【方法探究】本例综合考查函数单调性、奇偶性、恒成立问题的处理方法，具有一定的综合性，这种“小题综合化”是现代数学新高考的一个重要趋势.求解这类题目常常有两条求解策略：
　（1）常规解法　　　在扎实的数学基本功和较好的耐心下，每步稳扎稳打，讲究思维严密，环环相扣，但常常有“小题大做”的嫌疑，费劲又费时；
（2）非常规解法　　分析这类小题的特点，采用特值验证、数形结合、构造模型等技巧，快速求解，不追求思维严谨，讲究策略，力争“小题小做”，甚至“小题巧做”.
一般地说，求解这类小题，首先思考第二条策略，看看是否可以巧解，不到万不迫已不采用第一条求解策略，正所谓“磨刀不误砍柴工”！！
1.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（　　）
Ａ.１个　　Ｂ.3个　　　Ｃ.3个　　　Ｄ.4个
2.已知为等比数列，，，和，，是两个等差数列，则＝（　　）
Ａ.4　　　　Ｂ.3　　Ｃ.2　　　　Ｄ.1
3.过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则（ ）　A. B. C. D.
4.已知是定义在上的单调函数，实数，，，
，若，则（　　）
A.　　 B.　 　C. 　　D.
【参考答案】
1.答案：Ｄ
　解析：构造特殊模型
在正方体中，四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有4个，故本题的答案为Ｄ.
2.答案：Ｃ
　解析：构造特殊数列
　令等比数列为常数列，显然　　∴
　取等比数列为2，4，8，则，　∴
3.答案：Ｃ
解析：取特殊位置
令PQ⊥OP时，则　　∴.
4.答案：Ａ
解析：取特殊数值
令，，，则不成立，从而排除B；
令或时，是以轴上以数，为端点的线段的内分点．
作图可知，从而排除C、D.
第五讲　　逆向思维法
逆向思维是指由果索因，追溯推理，经中间状态回到初始状态，从而最终解决中心问题的思维方法.凡选择题的题干提供信息较少或结论是一些具体的数字时，我们可以考虑用逆向思维进行推理，从选择肢入手，逐一验证是否与题干相容而作出选择.
【调研1】（1）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ）
Ａ.三棱锥 　　Ｂ.四棱锥 　　 Ｃ.五棱锥 　　　Ｄ.六棱锥
（2）某地对空导弹击中目标的概率是90％，至少以（　　）枚这样的导弹同时发射一次，才能使击中目标的概率超过99％.
　Ａ.2　　　　Ｂ.3　　　　Ｃ.4　　　　Ｄ.5
答案：（1）Ｄ　　（2）Ｂ
分析：对于第（1）小问，正向思考难以着手，可以借助反证法，逆向进行探讨；对于第（2）小问，设同时发射枚导弹，由题意知有1枚导弹击中、或2枚导弹击中，……，都是符合要求的，分类情况比较多，采取“正难则反”策略，逆向思考.
分析：（1）假如是六棱锥，则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长都相等，这是不可能的.故答案为Ｄ.
（2）∵枚导弹都未击中目标的概率为　∴至少有一枚导弹击中目标的概率为
∵击中目标的概率超过99％　　∴，即有答案Ｂ.
【技巧点拨】本例两小问分别利用反证法、补集思想进行逆向思考，做题的效率大大提高.在中学数学中，逆向思维主要有以下四种方式：
（1）利用反证法进行逆向思维；　　（2）利用补集思想进行逆向思维；
（3）利用可逆原理进行逆向思维；　（4）利用选择题特征，进行逆向检验.
【调研2】过点、，且圆心在直线上的圆方程是（ 　）
Ａ.　　　Ｂ．
Ｃ. 　　　Ｄ.
答案：Ｃ
解法一：直接对照法1（设圆的标准方程）
设圆的方程为，则
解之得，故本题的答案为Ｃ．
解法二：直接对照法2（设圆的一般方程）
设圆的方程为＝0，则
解之得，故本题的答案为Ｃ.
解法三：直接对照法3 (利用圆的定义)
∵圆心在直线上　　∴设圆心为
又∵、Ｂ在圆上　　∴＝，解之得
∴该圆的圆心为(1，1)，排除Ａ、Ｂ、Ｃ．
解法四：直接对照法4（分析圆心位置）
所求圆的圆心应在线段ＡＢ的垂直平分线（即一、三象限的角平分线）上，又在直线上，显然交点（即圆心）在第一象限内，故本题的答案为Ｃ.
解法五：逆向思维法
由选项Ｂ、Ｄ的圆心坐标不在直线上，故排除Ｂ、Ｄ；又由选项Ａ的圆不过点，从而排除Ａ．
【方法探究】本例所给的五种解法中，解法一与解法二分别利用圆的标准方程和一般方程求解，计算量大，这与一道解答题没有任何区别，属于“小题大做”； 解法三与解法四从圆心着手，充分抓住题目隐性特征，计算量小，属于“小题小做”； 解法五逆向入手，检验选项是否符合要求，充分把握选择题的特征，属于“小题巧做”.
1.设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.某校按淘汰赛制举办了第21届校篮球运动会，全校共有48个教学班，则本届篮球运动会需安排（　　）场比赛.
Ａ.48　　　Ｂ.　　　　Ｃ.　　　Ｄ.47
3.命题：不等式关于的表达式和的解集相同命题：，则命题是命题的（ ）
A.充分非必要条件　B.必要非充分条件　　C.充要条件　D.既非充分又非必要条件
【参考答案】
1.答案：Ｂ
解法一：回归定义
∴ .
解法二：特值检验
时 即，则 排除A、C
时 即，则 排除D.
点拨：求解集合问题有两条途径：①直接求解；②特值排除；其中以选择题形态出现的集合问题常常用特值检验，效率更高.
2.答案：Ｄ
　解法一：常规解法
　第一轮要举行24场，留下24个班；第二轮要举行12场，留下12个班；第三轮要举行6场，留下6个班；第四轮要举行3场，留下3个班；第五轮要举行1场，留下1个班，一个班轮空；最后进行冠亚军决赛，共进行24＋12＋6＋3＋1＋1＝47.
　解法二：逆向思考
　每场比赛淘汰一个班级，需淘汰47个班才能产生冠军，所以共进行47场比赛.
3.答案：Ｄ
解析：设不等式和，表明必要条件不成立，又设不等式和，则充分条件也不成立，所以本题的答案为Ｄ.
第六讲　　综合运用法
解任何一道选择题目，解法都不是单一的.由选择题的特性决定了其解法的多样性，所以求解选择题，选对就行，常常“不择手段”，无论用什么“策略”，“手段”都是无关紧要.在求解选择题过程中，常常同时采用几种方法进行分析、推理，联合作战，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速.
【调研1】已知，两点，其中，是的中点，是的中点，是的中点，…，是的中点，则点的极限位置是（　　）
A.　　　　B.　　　　　C.　　　　D.
答案：Ｃ
解法一：直接求解
设，则由是的中点得，
由特征方程得，
∴，，　　　∴，
∴　　故，同理
解法二：寻找规律
数列的前几项依次是： ，，，，，…，
于是，即
∴
∴
解法三：数形结合
作为选择题，可以先画一条如图的线段，再进行观察：
∵，，是的中点　　　∴的坐标为，可排除选项A.
又∵是的中点　　∴的坐标为，可排除选项B.
∵是的中点
∴是的中点，即；是的中点，即
∵是的中点　∴极限点应在与之间，从而排除Ｄ.
【方法探究】本例所给的三种解法中：
解法一是作为解答题求解，推理严密，环环相扣，但比较费时；
解法二相对简洁，罗列各点，寻找规律，逻辑性差些，但速度快；
解法三紧扣选择题特点，运用排除法，准确、快速求解.
本例作为选择题，更推荐第三种解法，又快有准！！
【调研2】设，则函数的最小值是( )
A.3 B.2 C. D.2-
答案：Ｃ
分析：本例属于分式型三角函数最值问题，有多条求解途径：或转化为正弦型函数最值问题求解，或平方后再利用判别式求解，或利用万能代换转化为一般函数的最值问题求解，当然也可以采用数形结合.具体求解过程如下：
解法一：直接对照法1（利用三角函数的有界性求最值）
∵　　∴，即
又∵　　∴，即
∵　　∴，即
解法二：直接对照法2（平方后，再利用判别式求解）
∵　∴
将上式整理得
△＝＝
∵　　∴，即
解法三：直接对照法3（利用万能代换转化为常规函数求最值问题）
设，则　　　故ymin=
（当且仅当，即，即x=时，取等号）
解法四：数形结合法
如图的单位圆中，（其中），
，
∵，，且
故，
∴，即
∵　　∴
【技巧点拨】求解三角函数的最值问题是历届高考的热点题型之一，此类问题大致有以下五条求解途径：
（1）利用三角函数的值域或有界性求最值；
（2）利用配方法转化为二次函数的最值问题；
（3）利用换元法转化为某种常规的函数最值问题
（4）合理匹配，利用均值不等式求解；
（5）合理构造模型，利用数形结合求解.
【调研3】已知函数的图像如下图所示，则（　　）
A.　　B.
C.　　　D.
答案：Ａ
分析：由图像过特殊点等特征有：
（1）由过坐标原点有，即；
由过点（1，0）有，即；
由过点（2，0）有，即；
（2）函数与轴的交点的横坐标为0，1，2，所以可设函数为；
（3）当时，　　∴得；
当时，　　∴得.
巧妙合理地运用以上信息，有以下三种简洁解法：
解法一：直接对照法1
∵　　　　　　　　∴　故本例的答案为Ａ.
解法二：直接对照法2
由上分析知，　　∴
∵　　　∴　故本例的答案为Ａ.
解法三：特例验证法
取特殊函数得　故本例的答案为Ａ.
【技巧点拨】求解与函数图像相关联问题，注意分析图形特征，抓图形过特殊点、特殊位置或特殊范围等，往往能优化解题过程，提高解题速度与准确程度.
1.若，则对任意实数的取值为（ ）
A. 1 B. 区间（0，1） C. D. 不能确定
2.不等式的解集非空, 则实数的取值范围是（ ）
A. 　 　 B. 　　　C. 　　D.
3.函数的反函数是（ ）
A.　 B. C. D.
4.在的边上取个点，在边上取个点(均除点外)，连同点共个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【参考答案】
1.答案：A
解法一　设点，注意隐含条件
∴此点满足 　　∴
∴
解法二　用赋值法，令 同样有
2.答案：Ａ
解法一：数形结合 运用零点分段法作出函数图像求解，比较麻烦.
解法二：特值检验　　令时，满足条件，答案中应包含，排除B、D，再令时，也满足条件，故排除C.
解法三：运用结论 　　∴本题的答案为Ａ.
3.答案 A
解法一 回归定义
∵ ∴ 即
∵ ∴ 对换得
∴ 函数的反函数为.
解法二 特值排除
∵ 函数过点
∴函数反函数过点，排除B、C、D.
4.答案：Ｃ
解法一 直接求解
“任取其中三个点为顶点作三角形”可分三类：
（1）从边上(不包括顶点)中任取一点与从边上(不包括顶点)中任取两点，可构造一个三角形，有个；
（2）从边上(不包括顶点)中任取两点与边上(不包括顶点)中任取一点，可构造一个三角形，有个；
（3）从边上(不包括顶点)任取一点与边上(不包括顶点)中任取一点，与顶点点可构造一个三角形，有个.
解法二　间接求解
从中任取三点共有个，其中三点均在射线(包括顶点点)，有个，三点均在射线(包括顶点点)，有个.
∴可作的三角形有个.可以检验与答案C是一致的，但过程比较繁琐，所以本题不宜用此法求解.
解法三 逐项排除
在选择支中有不合要求的三点，如中包括有、 、（ 、表示直线边上不同于点）三点不能构成三角形，应排除；在选择支中漏掉△，应排除；在选择支中有重复的三角形.如中有△，而中也有△，重复计算，应排除.
5.答案 C
解法一：特值排除
过焦点F且倾斜角为的直线为
令时，双曲线的渐近线是，此时与直线平行
∴ 直线与双曲线的右支交于一个点，从而排除B、D；
令时，双曲线即为
∴ ∴
∴两根之积 ∴直线与双曲线的右支交于一个点.从而排除A.
解法二：数形结合
∵要满足“直线与双曲线的右支交于一个点”有两种可能
（1）渐近线；
（2）过焦点的直线平行或从该位置绕原点按逆时针旋转时
∴ 不难算出

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