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第四章 三角形及四边形
第五节 多边形与平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 多边形 ☆☆ 吉林中考中，有关多边形与平行四边形部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握多边形及平行四边形的判定及相关证明等考点。
考点2 平行四边形的判定及相关证明 ☆☆☆
■考点一　多边形
1.多边形定义：在平面内，由一些线段 组成的图形叫做 .
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的 .
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 .
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的 .
5.正多边形：
（1）定义：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫 .
（2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个 。
（3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的 。
（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的 。
（5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的 。
6.多边形的性质：
（1）多边形内角和公式：边形的内角和等于 .
（2）多边形的外角和：多边形的外角和为 .
（3）多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引 条对角线，把多边形分成 个三角形.②边形共有 条对角线.
■考点二　平行四边形的判定及相关证明
1.平行四边形的概念
定义 表示方法及解读 注意
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“口”表示；平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 平行四边形的表示一定按 依次注明各顶点
2.平行四边形的性质
性质 符号语言
边 平行四边形的 分别平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四边形的 分别相等， 互补 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2∠ABC+∠BAD=180°,°
对角线 平行四边形的 互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形，
此外，平行四边形是 图形，两条对角线的交点是对称中心且平行四边形具有一般四边形的一切性质。
3.平行四边形的性质的应用
平行四边形的 是我们研究平行四边形的角或边的重要依据.利用平行四边形的性质，可以求角的 、线段的 。
4.平行四边形的判定
(1)从边看：①两组对边分别平行的四边形是 (定义)。
②两组对边分别相等的四边形是 。
③一组对边平行且相等的四边形是 。
(2)从角看：④两组对角分别相等的四边形是 。
(3)从对角线看：⑤对角线互相平分的四边形是 。
5.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做 。
中位线与中线的区别：中位线是 的连线，中线是 的连线。
6.三角形中位线定理：三角形的中位线 ，并且等于第三边的 。
三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系
■易错提示
1.画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
2.几何图形的学习关键在于考虑构成图形的元素之间的关系（比如边与边的关系，角与角的关系，边与角的关系 ）及相关元素之间的关系（比如对角线之间的关系）。
3.平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
4.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
5.平行四边形的判定定理主要从三个元素方向认识：边、角、对角线。注意性质与判定之间的互逆关系。
6.作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知四边形问题转化为已知的关于三角形的问题．
7.由平行四边形的性质可得相等的边和相等的角，借助这些边和角证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题。
■考点一　多边形
◇典例1： （2023上·河南周口·七年级统考阶段练习）五边形至少可以分割成（ ）个三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
◆变式训练
1．（2023上·江西吉安·七年级统考阶段练习）一个多边形过一个顶点有7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
2．（2023上·河南三门峡·八年级统考期中）如图，（ ）度．

A．450 B．540 C．630 D．720
■考点二　平行四边形的判定及相关证明
◇典例2：（2023下·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，在中，，D是的中点，，，若，，下列说法：①四边形是平行四边形；②是等腰三角形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
◆变式训练
1．（2023上·广东深圳·九年级统考开学考试）如图，在平行四边形中，，于F，于G，、交于E，、交于H，给出下列结论：①；②；③；④若点F是的中点，则；其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，点A、C、D分别在、、上，四边形为平行四边形，且，则的周长是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．12
1．（2023·吉林·统考一模）如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
2．（2022·吉林·统考一模）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林长春·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，再以E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，在射线AF上取点G，H为BG的中点，连接CH，若AG＝6，则CH长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在中，，对角线，则面积的最大值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
5．（2023·吉林延边·统考一模）若正n边形一个外角的度数为，则n的值为 ．
6．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．

7．（2021·吉林长春·校考二模）如图，在中，，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线长度的最小值是 ．
8．（2023·吉林长春·校联考一模）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则的度数为 ．
9．（2021·吉林·统考中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形．
10．（2021下·吉林延边·九年级统考阶段练习）如图，将平行四边形的对角线向向两个方向延长，分别至点和点，且使得，求证：四边形为平行四边形．

11．（2023·吉林松原·统考一模）如图，在中，是它的一条对角线，求证：．

12．（2023·吉林·统考一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，点G，H分别在，上，且．求证：．
1．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）如图，是在五边形ABCDE的一个外角，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，则（ ）
A．6 B．8 C． D．
3．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图．花瓣图案中的正六边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（）
A． B． C． D．
7．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，中，，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（）

A． B．1 C．2 D．
8．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
9．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）如图、在平行四边形中，对角线交于点O，若，，，的周长为（　　）
A．13 B．16 C．18 D．21
11．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）已知平行四边形，点E为边上任意一点，连结并延长，与的延长线相交于点H，连结，，要算出的面积，则只需知道（ ）的面积．

A． B． C． D．
13．（2024上·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）过多边形的一个顶点能引出10条对角线，则这个多边形的边数是 ．
14．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．
15．（2024上·甘肃陇南·九年级统考期末）如图所示，点O是的对称中心，，，是边的三等分点；G，H是边的三等分点．若，分别表示和的面积则与之间的关系是 ．
16．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）平行四边形的长边是短边的2倍，一条对角线与短边互相垂直，则这个平行四边形的一个锐角为 ．
17．（2024下·宁夏中卫·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于 米．

（2020下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）已知一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
19．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，、分别是、的中点．

(1)求证：；
(2)如果平行四边形的面积为，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有面积等于的三角形．
20．（2024上·江西南昌·九年级校考阶段练习）已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
(1)如图①，点为上任意一点，在上找出另一点，使；
(2)如图②，点为上任意一点，在上找出一点，使．
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第四章 三角形及四边形
第五节 多边形与平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 多边形 ☆☆ 吉林中考中，有关多边形与平行四边形部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握多边形及平行四边形的判定及相关证明等考点。
考点2 平行四边形的判定及相关证明 ☆☆☆
■考点一　多边形
1.多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
5.正多边形：
（1）定义：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.
（2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。
（3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。
（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。
（5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
6.多边形的性质：
（1）多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°.
（2）多边形的外角和：多边形的外角和为360°.
（3）多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线.
■考点二　平行四边形的判定及相关证明
1.平行四边形的概念
定义 表示方法及解读 注意
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“口”表示；平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 平行四边形的表示一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点
2.平行四边形的性质
性质 符号语言
边 平行四边形的两组对边分别平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形，
此外，平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心且平行四边形具有一般四边形的一切性质。
3.平行四边形的性质的应用
平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据.利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度。
4.平行四边形的判定
(1)从边看：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2)从角看：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(3)从对角线看：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线与中线的区别：中位线是中点与中点的连线，中线是顶点与对边中点的连线。
6.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
三角形中位线定理的作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系
■易错提示
1.画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
2.几何图形的学习关键在于考虑构成图形的元素之间的关系（比如边与边的关系，角与角的关系，边与角的关系 ）及相关元素之间的关系（比如对角线之间的关系）。
3.平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
4.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
5.平行四边形的判定定理主要从三个元素方向认识：边、角、对角线。注意性质与判定之间的互逆关系。
6.作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知四边形问题转化为已知的关于三角形的问题．
7.由平行四边形的性质可得相等的边和相等的角，借助这些边和角证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题。
■考点一　多边形
◇典例1： （2023上·河南周口·七年级统考阶段练习）五边形至少可以分割成（ ）个三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此题主要考查了多边形的对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把多边形分成个三角形进行计算，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发引出的对角线把多边形分成个三角形．
【详解】从五边形的一个顶点出发，连对角线，可以得到3个三角形，
所以至少能分割成3个三角形．
故选：B．
◆变式训练
1．（2023上·江西吉安·七年级统考阶段练习）一个多边形过一个顶点有7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．
【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴，
解得．
故选：D．
2．（2023上·河南三门峡·八年级统考期中）如图，（ ）度．

A．450 B．540 C．630 D．720
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形内角和定理，根据，，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
∴
故选：B．
■考点二　平行四边形的判定及相关证明
◇典例2：（2023下·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，在中，，D是的中点，，，若，，下列说法：①四边形是平行四边形；②是等腰三角形；③四边形的周长是；④四边形的面积是．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、含角的直角三角形等知识点，熟记相关数学结论是解题关键．①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判断；②根据，且D是的中点，即可判断；③分别求出，即可判断；④根据四边形的面积，即可判断．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
∵，且D是的中点，
∴垂直平分
∴
故是等腰三角形，故②正确；
∵，，
∴
∴，
∴四边形的周长是：，故③正确；
四边形的面积是：，故④错误；
故选：B
◆变式训练
1．（2023上·广东深圳·九年级统考开学考试）如图，在平行四边形中，，于F，于G，、交于E，、交于H，给出下列结论：①；②；③；④若点F是的中点，则；其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质，根据题意得是等腰直角三角形，即可证明①正确；根据题意得成立，结合四边形内角和即可证得②正确；利用上述结论即可得，则有③正确；连接，根据③得，进一步有是等腰直角三角形，得，由于，根据，即可证得④正确．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；故①正确；
②∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴AG⊥AD，CF⊥CD，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点F是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
正确结论有4个，
故选：A．
2．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，点A、C、D分别在、、上，四边形为平行四边形，且，则的周长是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，根据四边形为平行四边形，得出，，，，进而得出 ，，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴平行四边形的周长是，
故选：D．
1．（2023·吉林·统考一模）如图，在中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
【答案】D
【分析】根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可．
【详解】解: ∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵的平分线交边于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．
2．（2022·吉林·统考一模）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得．
【详解】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的判定与性质是解决本题的关键．
3．（2021·吉林长春·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点D，交AC于点E，再以E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧交于点F，在射线AF上取点G，H为BG的中点，连接CH，若AG＝6，则CH长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】延长交于点，根据作图可知是的角平分线，证明可得，进而根据中位线的性质可得，即可求解
【详解】如图，延长交于点
根据作图可知
∠ACB＝90°，
在与中
H为BG的中点，
故选B
【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，掌握三角形中位线的性质与判定，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
4．（2021·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在中，，对角线，则面积的最大值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
【答案】D
【分析】作DE⊥AB，根据平行四边形面积公式即可求出面积的最大值．
【详解】如图，作DE⊥AB，
∵S四边形ABCD=AB×DE，
故当BD与DE重合时，面积最大，为4×3=12
故选D．
【点睛】此题主要考查平行四边形的面积，解题的关键是根据题意作出辅助线进行分析求解．
5．（2023·吉林延边·统考一模）若正n边形一个外角的度数为，则n的值为 ．
【答案】36
【分析】正多边形每个外角都相等，外角和为，计算即可．
【详解】解：,
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形外角的相关知识，解题的关键是掌握正n边形外角和扥等于360°．
6．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．

【答案】
【分析】根据平面镶嵌的定义，结合正五边形的内角，即可求解．
【详解】解：正五边形的每一个内角为
设菱形的最小内角为，根据题意得，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，平面镶嵌，熟练掌握平面镶嵌的定义以及多边形的内角和公式是解题的关键．
7．（2021·吉林长春·校考二模）如图，在中，，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】如图，由平行四边形的性质可知O是中点，最短也就是最短，过O作的垂线，根据勾股定理求出，进而可求出的最小值．
【详解】如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵最短也就是最短，
∴过O作与，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∵
∴，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，以及垂线段最短的性质，解题的关键是判断出最短的位置．
8．（2023·吉林长春·校联考一模）如图将沿对角线折叠，使点落在处，若，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】根据平行四边形的性质可得，根据折叠的性质可得，进一步可得，根据已知条件可得的度数，进一步求出的度数．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（2021·吉林·统考中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以为顶点，为 底边，即可做出等腰三角形；
（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．
【详解】解：（1）如图①中，此时以为顶点，为底边，该即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②中，此时底，高，因此四边形即为所求．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．
10．（2021下·吉林延边·九年级统考阶段练习）如图，将平行四边形的对角线向向两个方向延长，分别至点和点，且使得，求证：四边形为平行四边形．

【答案】见解析
【分析】连接，与交于点O，由平行四边形的性质得，再证得，即可得出结论．
【详解】连接，与交于点O．如图所示：

∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
即．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
11．（2023·吉林松原·统考一模）如图，在中，是它的一条对角线，求证：．

【答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质得出，，再由，即可证明
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，正确掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．（2023·吉林·统考一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，点G，H分别在，上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意易得，，则有，，然后可证，进而问题可求证．
【详解】证明：在中，，，
∵E，F分别是，的中点
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题主要是考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
1．（2023上·广西南宁·八年级统考期中）如图，是在五边形ABCDE的一个外角，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，关键是根据补角的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵,
∴,
∴，
故选B．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，则（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正边形的内角和为、外角和为是解题的关键．
由题意知，正六边形的一个内角为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，正六边形的一个内角为，
依题意得，，
解得，，
故选：D．
3．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图．花瓣图案中的正六边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式：多边形的内角和，即可求解．
【详解】解：正六边形的内角和，
故选：A．
4．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．
【详解】正多边形的一个外角等于，且外角和为，
则这个正多边形的边数是：，
故选C．
5．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
∴这个多边形是六边形．
故选：D
6．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，连接，若、分别为线段、的中点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．作，连接并延长交于，连接，首先证明，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可．
【详解】作，连接并延长交于，连接，
在和中，
在中
故选：B．
7．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，中，，分别为的中点，平分，交于点F，则的长是（ ）

A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出，再代入计算即可．
【详解】解：在Rt中，，
由勾股定理得：
平分，
分别为的中点，
故选A．
8．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
【详解】根据平移的性质，得到，
故选：C．
9．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，已知是的中线，、分别是、边上的中点，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②；③和互相平分；④连接，则四边形是平行四边形；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，根据由三角形中位线定理逐一判断①②⑤；由，，易得四边形是平行四边形，可判断③④．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，
点D是的中点，
、分别是、边上的中点，
，故①②⑤正确；
，，
四边形是平行四边形，
和互相平分；故③④正确；
则正确的有5个，
故选：D．
10．（2023上·福建泉州·八年级泉州七中校考阶段练习）如图、在平行四边形中，对角线交于点O，若，，，的周长为（　　）
A．13 B．16 C．18 D．21
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长．
【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，，
∴，，，
∴的周长为：．
故选：A．
11．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据SAS证明可判断①；根据全等三角形的性质和互余可判断②；以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，证明四边形是平行四边形可判断③；④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则．先证明，再结合三线合一证明，然后证明，利用勾股定理求出的值，证明求出的值，进而求出的面积可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③如图，以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故③正确；
④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
由等腰三角形三线合一知，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
12．（2023上·浙江·九年级校联考阶段练习）已知平行四边形，点E为边上任意一点，连结并延长，与的延长线相交于点H，连结，，要算出的面积，则只需知道（ ）的面积．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，三角形的面积．熟练掌握同底等高的两三角形面积相等是解题的关键．
连接，根据平行四边形性质得，，根据平行线间的距离相等和同底等高的两三角形面积相等，得到，，从而得出即可求解．
【详解】解：连接，如图，

∵
∴，，
∴与的边的高相等， 与的边的高相等，
∴，，
∴
即
∴，
∴要算出的面积，则只需知道的面积．
故选：C．
13．（2024上·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）过多边形的一个顶点能引出10条对角线，则这个多边形的边数是 ．
【答案】13
【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线即可解题．
【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出10条对角线，
∴，
解得．
故答案为：13．
14．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟记公式是解答本题的关键．
连接，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】连接，
正多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得正多边形的边数为：，
，
．
∴
故答案为：
15．（2024上·甘肃陇南·九年级统考期末）如图所示，点O是的对称中心，，，是边的三等分点；G，H是边的三等分点．若，分别表示和的面积则与之间的关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据三等分点可得，；再结合点O是的对称中心可得 ，即可求解．
【详解】解：连接，则必过点，如图所示：
∵，是边的三等分点，
∴，
∵G，H是边的三等分点，
∴，
∵点O是的对称中心，
∴
∴
故答案为：
16．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）平行四边形的长边是短边的2倍，一条对角线与短边互相垂直，则这个平行四边形的一个锐角为 ．
【答案】/60度
【分析】根据直角三角形一直角边等于斜边一半，可得直角边所对的角是，然后利用余角性质，求出，再利用平行四边形性质求出即可．
【详解】解：如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴这个平行四边形的一个锐角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查直角三角形性质，余角性质，平行四边形性质，掌握直角三角形性质，余角性质，平行四边形性质是解题关键．
17．（2024下·宁夏中卫·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于 米．

【答案】2
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理，即可得到答案．
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：2．
18．（2020下·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）已知一个正多边形的内角和比外角和多，求这个多边形的每个内角度数与边数．
【答案】每个内角的度数为，
【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，再根据该正多边形的内角和比外角和多建立方程，解方程求出n的值，再用该多边形的内角和度数除以边数即可求出对应的每个内角的度数．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴这个正多边形是八边形，
∴这个多边形的每个内角的度数为．
19．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，、分别是、的中点．

(1)求证：；
(2)如果平行四边形的面积为，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有面积等于的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线平分面积．
（1）证明，即可；
（2）根据三角形的中线平分面积，进行判断即可．
掌握平行四边形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线、相交于点，
∴，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平行四边形的面积为，
∴，，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴；
∴面积等于的三角形有：．
20．（2024上·江西南昌·九年级校考阶段练习）已知四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图．
(1)如图①，点为上任意一点，在上找出另一点，使；
(2)如图②，点为上任意一点，在上找出一点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图，平行四边形的性质；
（1）连接交于点，作直线交于点，点即为所求作．
（2）连接交于点，作在交于点，作直线交于点，连接交于点，点即为所求作．
【详解】（1）如图，点即为所求作．
（2）如图，点即为所求作．
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