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第四章 三角形及四边形
第一节 角、相交线与平行线
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 角 ☆☆ 吉林中考中，有关角、相交线与平行线部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握角、相交线与平行线的性质和求角的度数等考点。
考点2 相交线与平行线 ☆☆☆
考点3 平行线性质和求角的度数 ☆☆☆
■考点一　角
1.角的定义
（1）定义一：由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：如图2所示，把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫做角．射线原来所在的位置OA叫做角的始边，旋转后的位置OB叫做角的终边，角的始边和终边统称为角的边．从始边旋转到终边所扫过的区域叫做角的内部．
2.角的表示
（1）角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
（2）在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或字母．
3.角平分线：
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线；
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
4.角的度量：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．
5.余角和补角：
（1）余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角，∠1叫做∠2的余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角，∠1叫做∠2的补角．
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
6.尺规作图：作一个角等于已知角
7.对顶角
（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．（但相等的角不一定是对顶角）．
（3）n条直线交于一点，构成的对顶角共有n(n-1)对。
■考点二　相交线与平行线
1.直线的性质
（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
2.平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
3.两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
4.平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行。
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。
（3）平行线的定义。
5.垂直：
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
6.垂线的性质：
性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
7.点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
■考点三　平行线性质和求角的度数
1.平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．
2.平行线的判定方法：
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．
4.邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2
邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180°
注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角。
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
■易错提示
互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关
2.判定一条直线是线段的垂直平分线时,需证明直线上有两点到线段两端点的距离相等,切忌只证明直线上有一个点到线段两端点的距离相等,就说这条直线是线段的垂直平分线.如图, AB=AC ,但直线 AD 不是线段 BC 的垂直平分线.
3.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
4.两条平行线之间的距离处处相等
5.点到直线的距离是垂线段的长度，是数值，垂线段是几何图形。
6.线段的垂直平分线是一条直线而非线段或射线
7.同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行
■考点一　角
◇典例1： （2024上·湖南郴州·七年级校联考阶段练习）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角度的运算．熟练掌握，是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：B．
◆变式训练
1．（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足是，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】B
【分析】本题考查了同角的余角相等；
根据题意求出，，然后可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2023上·江西上饶·七年级统考期末）如图，已知，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了角的计算，准确应用角平分线的定义得到是解题的关键．
【详解】∵，OC平分，
∴
∵，
∴．
故选C．
■考点二　相交线与平行线
◇典例2：（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与构成同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】解：直线a，b被直线m所截，与构成同位角的是，
故选：C．
◆变式训练
1．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，以下条件能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定；
利用平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、当时，根据同位角相等，两直线平行可得，不符合题意；
B、当时，不能判定两直线平行，不符合题意；
C、当时，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意；
D、当时，不能判定两直线平行，不符合题意；
故选：C．
2．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与相交的直线至少有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线平行的，只能是一条，
即与直线相交的直线至少有3条．
故选：B．
■考点三　平行线性质和求角的度数
◇典例3：（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角．根据平行线的性质可得，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B
◆变式训练
1．（2022下·广西南宁·七年级校考阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是直角 B．内错角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补
【答案】C
【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角，平行线的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、相等的角不一定是直角，选项是假命题；
B、两直线平行，内错角相等，选项是假命题；
C、对顶角相等，选项是真命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题；
故选C．
2．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，将直尺与含角的三角尺叠放在一起．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质及直角三角形的性质，充分运用三角板和直尺的几何特征是解题的关键．由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行线的性质可知．
故选：B．
1．（2023·吉林松原·统考一模）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（ ）的长度，这样测量的依据是（ ）
A．，两点之间，线段最短 B．，两点确定一条直线
C．，垂线段最短 D．，三角形两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】根据垂线段最短解答．
【详解】解：他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是垂线段最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用，需熟练掌握．
2．（2022·吉林·统考中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得．
【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是，
所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
3．（2023·吉林·统考一模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【分析】由图可得和是一对同位角，根据平行线的判定方法即可求解．
【详解】解：，
斑马线互相平行．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，掌握判定方法是解题的关键．
4．（2023·吉林长春·统考一模）含角的直角三角板与直线a、直线b的位置关系如图所示，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据已知可得，再根据平行线的性质可得，由此即可得．
【详解】解：由题意得：，
，，
，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
5．（2022·吉林长春·统考一模）一副直角三角板如图放置，点D在直线EF上，若ABEF，则∠EDC 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．105°
【答案】B
【分析】过点C作，利用平行线的性质结合三角板的特点分析得出答案．
【详解】解：如图，过点C作，
因为，则，
，
由三角板的特点得出，
∴，
∴，
；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确得出度数是解题关键．
6．（2022·吉林长春·校考模拟预测）将一块含的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别落在直线a，b上，若，，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】根据，得出，即，即可得出的度数．
【详解】解：如图，为含有30°角的直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
7.（2023·吉林长春一模）如图，在一块长为10米,宽为5米的矩形土地中间铺一条弯曲的石子路 ,石子路的左边线向右平移:米就是它的右边线,其余部分种草,则草地面积为 。 平方米. ( 用含x的式子表示)
[知识点]用代数式表示式,利用平移的性质求解
[答案] (50- 5x)
[分析]根据平移可知，绿地部分拼成的图形长为( 10-.x)米,宽为5米,然后进行计算即可.
[详解]解:依题意草地部分拼成的图形长为( 10-x)米,宽为5米,
草地面积为5x (10-x)=(50- 5x)平方米. ,
故答案为: (50- 5x).
[点睛]本题考查了列代数式，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键.
8.（2023·吉林长春一模）如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=38°，则∠2=___度 .
[知识点]三角板中角度计算问题,求一个角的余角,两直线平行同位角相等
[答案] 52
[分析]如图,根据平行线的性质得出∠3=∠1=38°,再结合余角的性质即可求解.
[详解]解:如图,
由题意可知a//b,
∠3=∠1=38°.
∠2=90°-∠3=90°- 38° =52°.
故答案为: 52.
[点睛]本题考查平行线的性质，余角的性质.掌握两直线平行，同位角相等是解题关键.
9.（2021·吉林长春一模）如图,直线l1//l2.直线l1、l2分别交于A、B两点.若∠1=57° ,则 ∠2的大小为 度.
[知识点]两直线平行同位角相等，根据平行线的性质求角的度数
[答案] 123
[分析]根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论.
[详解]解:如图,
∠1=57°,
∠3=180°-∠1=123°，
“直线l1//l2。
∠2=∠3= 123°，
故答案为: 123.
[点睛]本题考查了平行线的性质,邻补角的应用，解此题的关键是求出∠3的度数,注意:两直线平行，同位角相等.
10.（2022·吉林长春模拟预测）已知l1//12,一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1=65° ,则∠2=_____度.
[知识点]三角板中角度计算问题,两直线平行内错角相等
[答案] 25
[分析]先利用平行线的性质得出∠1=∠3，∠2=∠4,最后利用直角三角形的性质即可.
[详解]解:如图，过直角顶点作直线l//l1，
∵l1//12
∴l1//12//l
∴∠1=∠3，∠2=∠4,
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=65°，
∴∠2=90° -65°=25° .
故答案为: 25.
[点睛]此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，解题的关键是作出辅助线,是一道基础题目.
11.（2022·吉林二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2.点P为线段AB(不与点和点重合)上一点,连接CP ,将△ACP沿CP翻折得到△DCP.
(1)如图1 , 当点D落在AB上时,AP= .
(2)如图2 ,当DP//AC时,判断四边形ACDP的形状,并说明理由;
(3)当点D落在△ABC内部时,直接写出AP的取值范围.
[知识点]含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质证明四边形是菱形，折叠问题
[答案] (1)1
四边形ACDP是菱形.
1[分析] (1) 根据折叠性质可得出△ACD是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得出结论;
(2)根据折叠得出4P=DP. AC=DC,再利用平行线的性质得到，根据等角对等边得出AP= AC.从而判定四边形ACDP是菱形;
(3)根据临界条件,分为当点D落在△ABC的边AB上时;当点D落在△ABC的边CB上时，分别计算出AP长度即可求出范围.
[点睛]本题考查几何综合，涉及到翻折的性质.等边三角形的判定与性质。平行线的性质、萎形的判定.外角的性质、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，掌握相关几何图形的性质与判定是解决问题的关键.
1．（2023上·全国·七年级期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查余角的应用，解答本题的关键在于熟练掌握余角的概念“如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角”，根据图形，结合互余的定义判断即可．
【详解】解：A.，与互余，故符合题意；
B.，但与不一定互余，故不符合题意；
C.，但与不互余，故不符合题意；
D.，和互补，故不符合题意．
故选：A．
2．（2023上·河北唐山·七年级唐山市第九中学校考期末）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的大小比较．根据，将转换为度、分、秒的形式，即可比较大小．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，点在直线上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据邻补角的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：A．
4．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）下列生活中的实例，可以用基本事实：“两点之间线段最短”解释的是（ ）
A．小狗看到远处的食物，总会径直奔向食物．
B．从一条河道能向集镇引一条最短的水渠．
C．把一根木条固定到墙上至少需要两颗钉子．
D．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一笔直的墨线．
【答案】A
【分析】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键．两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短.简单说成，两点之间线段最短．
【详解】解：A、小狗看到远处的食物，总是径直奔向食物，可以用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；
B、从一条河道能向集镇引一条最短的水渠，可以用“垂线段最短”来解释，不符合题意；
C、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意；
D、经过刨平木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意．
故选：A．
5．（2023下·七年级课时练习）如图，，垂足为B，直线过点B，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
6．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
（1）作直线a和直线外一点p （2）过点作直线 （3）作，则
A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，理解并掌握平行线的判定条件是解题关键．平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据题意，结合平行线的判定条件，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行）．
故选：D．
7．（2024下·全国·七年级假期作业）已知直线是平面内任意一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在
【答案】D
【解析】略
8．（2024下·全国·七年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角
C．如果两个角的和是180°，那么这两个角互为余角 D．同角或等角的余角相等
【答案】D
【解析】略
9．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握说明一个命题是假命题的方法：满足命题条件，但不能得到命题的结论．根据说明一个命题是假命题的方法逐项判断即可．
【详解】解：是偶数，也是8的倍数，故A不能说明命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”是假命题，不符合题意；
是偶数，也是8的倍数，故B不能说明命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”是假命题，不符合题意；
是偶数，但不是8的倍数，故C能说明命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”是假命题，符合题意；
不是偶数，故D不满足命题“对于任意偶数k，都是8的倍数”的条件，不能说明命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
10．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例．
【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论，
能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是，
故选：B．
11．（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，，，点、分别在、上，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，根据“两直线平行，同位角相等”解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选∶C．
12．（2023下·七年级课时练习）如图所示，若，则在①和；②和；③和；④和中，相等的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】略
13．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州国本中学校校考阶段练习）如图，直线被直线所截，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，先根据对顶角的性质得出，再根据平行线的性质可得出，据此可求出的度数．熟练掌握平行线的性质是解题关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
14．（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查角度的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．（江苏省南京市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，点在直线上，，垂足为，，则线段的长是点到直线 的距离．
【答案】
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，进行判断即可，熟练掌握点到直线的距离是解此题的关键．
【详解】解：，
线段的长是点到直线的距离，
故答案为：．
16．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有 （填写所有正确条件的序号）．
【答案】①③/③①
【分析】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①，
，符合题意；
②，
，故本选项错误；
③，
，故本选项正确；
④；
，故本选项错误；
故选答案为：①③．
17．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定；根据题意，，得出，即可求解．
【详解】解：∵根据题意，，
∴，依据为：内错角相等，两直线平行
故答案为：内错角相等，两直线平行．
18．（2021下·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，，点在的延长线上，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角，解题的关键是先根据邻补角的定义得到，再根据“两直线平行，内错角相等”即可得出答案．
【详解】解：∵，点在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
19．（2023上·广东深圳·七年级红岭中学校考阶段练习）如图，已知，，求的度数．

【答案】
【分析】先根据垂直的定义求出，再求出，即可根据角的和差关系求出的度数．此题考查了垂直定义、角的和差等知识，熟练掌握各角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
20．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，点A、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，不要求写作法．
(1)画射线．
(2)过点画的平行线，点在格点上．
(3)在射线上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了射线、直线、线段作图，作平行线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握线段、射线、直线的定义，点到直线的距离．
（1）根据线段的定义作图即可；
（2）根据格点特点画平行线即可；
（3）根据格点特点，过点B作的垂线即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：如图，线段即为所求．
21．（2021下·湖北咸宁·七年级统考期末）已知：，点分别为上一点．
(1)如图1，在之间有一点（点不在线段上），连接，试探究，，之间有怎样的数量关系．
①请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系；
②选其中一种数量关系进行证明．
(2)如图2，在之间有两点，连接，，，请直接写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)或
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平分线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
（1）①根据题意画出图形即可；②过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论；
（2）根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图，
，
；
，
；
②证明：如图，过点作，
，
则，
，
，
，
，
；
如图，过点作，
，
则，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，过点作，
，
则，
，
，
，，
，，
；
如图，过点作，过点作，
则，
，
，
，，
，，
，
．
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第四章 三角形及四边形
第一节 角、相交线与平行线
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 角 ☆☆ 吉林中考中，有关角、相交线与平行线部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握角、相交线与平行线的性质和求角的度数等考点。
考点2 相交线与平行线 ☆☆☆
考点3 平行线性质和求角的度数 ☆☆☆
■考点一　角
1.角的定义
（1）定义一：由具有 的两条射线组成的图形叫做 ，这个公共端点是角的 ，这两条射线是角的 ．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：如图2所示，把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫做 ．射线原来所在的位置OA叫做角的 ，旋转后的位置OB叫做角的 ，角的始边和终边统称为角的边．从始边旋转到终边所扫过的区域叫做 ．
2.角的表示
（1）角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
（2）在表示角时，要在靠近角的顶点处加上 ，且注上 ．
3.角平分线：
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成 的射线；
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
4.角的度量：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角= 平角= 直角= ．
5.余角和补角：
（1）余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角，∠1叫做∠2的 ；
（2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角，∠1叫做∠2的 ．
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的 ．
6.尺规作图：作一个角等于已知角
7.对顶角
（1）定义：两个角有 ，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 ．
（2）性质：对顶角 ．（但相等的角不一定是对顶角）．
（3）n条直线交于一点，构成的对顶角共有 对。
■考点二　相交线与平行线
1.直线的性质
（1）直线公理：经过两个点 直线。
（2）过一点的直线有 。
（3）直线是向两方面 的，无 ，不可 ，不能比较大小。
（4）直线上有 个点。
（5）两条不同的直线至多有一个 。
2.平行线定义： ，不相交的两条直线叫做 ．
3.两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴ ；⑵ .
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们 ；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的 来确定：
①有且只有一个公共点，两直线 ；
②无公共点，则两直线 ；
③两个或两个以上公共点，则两直线 （因为两点确定一条直线）
4.平行线公理及其推论
平行公理：经过直线外一点， 与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么 。
补充平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线 。
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的 。
（3）平行线的定义。
5.垂直：
两条直线相交成直角，就说这两条直线 。其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
6.垂线的性质：
性质1：平面内，过一点 与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称： 。
7.点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的 。
■考点三　平行线性质和求角的度数
1.平行线的性质：
（1）两直线平行， 相等．（2）两直线平行， 相等．（3）两直线平行， 互补．
2.平行线的判定方法：
（1） ，两直线平行．（2） ，两直线平行．（3） ，两直线平行．（4） 的两直线互相平行．（5） 的两直线互相平行．
基本事实：过直线外一点 与这条直线平行。
3.平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的 ．
（2）性质：两平行线间的距离 ，夹在两平行线间的 ．
4.邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2
邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180°
注意点：⑴对顶角是 出现的，对顶角是具有 的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是 。
⑶如果∠α与∠β互为 ，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有 个，而对顶角只有 个.
■易错提示
互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关
2.判定一条直线是线段的垂直平分线时,需证明直线上有两点到线段两端点的距离相等,切忌只证明直线上有一个点到线段两端点的距离相等,就说这条直线是线段的垂直平分线.如图, AB=AC ,但直线 AD 不是线段 BC 的垂直平分线.
3.同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
4.两条平行线之间的距离处处相等
5.点到直线的距离是垂线段的长度，是数值，垂线段是几何图形。
6.线段的垂直平分线是一条直线而非线段或射线
7.同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行
■考点一　角
◇典例1： （2024上·湖南郴州·七年级校联考阶段练习）如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足是，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．和
2．（2023上·江西上饶·七年级统考期末）如图，已知，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
■考点二　相交线与平行线
◇典例2：（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，与构成同位角的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，以下条件能判定的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与相交的直线至少有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
■考点三　平行线性质和求角的度数
◇典例3：（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，直线a，b被直线c所截，，，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2022下·广西南宁·七年级校考阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是直角 B．内错角相等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补
2．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，将直尺与含角的三角尺叠放在一起．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林松原·统考一模）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（ ）的长度，这样测量的依据是（ ）
A．，两点之间，线段最短 B．，两点确定一条直线
C．，垂线段最短 D．，三角形两边之和大于第三边
2．（2022·吉林·统考中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
3．（2023·吉林·统考一模）斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
4．（2023·吉林长春·统考一模）含角的直角三角板与直线a、直线b的位置关系如图所示，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林长春·统考一模）一副直角三角板如图放置，点D在直线EF上，若ABEF，则∠EDC 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．105°
6．（2022·吉林长春·校考模拟预测）将一块含的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别落在直线a，b上，若，，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
7.（2023·吉林长春一模）如图，在一块长为10米,宽为5米的矩形土地中间铺一条弯曲的石子路 ,石子路的左边线向右平移:米就是它的右边线,其余部分种草,则草地面积为 。 平方米. ( 用含x的式子表示)
8.（2023·吉林长春一模）如图,将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=38°，则 ∠2= 度 .
9.（2021·吉林长春一模）如图,直线l1//l2.直线l1、l2分别交于A、B两点.若∠1=57° ,则 ∠2的大小为 度.
10.（2022·吉林长春模拟预测）已知l1//12,一个含有30°角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若∠1=65° ,则∠2=_____度.
11.（2022·吉林二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2.点P为线段AB(不与点和点重合)上一点,连接CP ,将△ACP沿CP翻折得到△DCP.
(1)如图1 , 当点D落在AB上时,AP= .
(2)如图2 ,当DP//AC时,判断四边形ACDP的形状,并说明理由;
(3)当点D落在△ABC内部时,直接写出AP的取值范围.
1．（2023上·全国·七年级期末）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北唐山·七年级唐山市第九中学校考期末）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，点在直线上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期中）下列生活中的实例，可以用基本事实：“两点之间线段最短”解释的是（ ）
A．小狗看到远处的食物，总会径直奔向食物． B．从一条河道能向集镇引一条最短的水渠．
C．把一根木条固定到墙上至少需要两颗钉子． D．经过刨平的木板上的两个点，能弹出一笔直的墨线．
5．（2023下·七年级课时练习）如图，，垂足为B，直线过点B，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ）
（1）作直线a和直线外一点p （2）过点作直线 （3）作，则
A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行
7．（2024下·全国·七年级假期作业）已知直线是平面内任意一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在
8．（2024下·全国·七年级假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角
C．如果两个角的和是180°，那么这两个角互为余角 D．同角或等角的余角相等
9．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是8的倍数”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，，，点、分别在、上，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023下·七年级课时练习）如图所示，若，则在①和；②和；③和；④和中，相等的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
13．（2023上·重庆万州·九年级重庆市万州国本中学校校考阶段练习）如图，直线被直线所截，，则的度数为（ ）
B． C． D．
14．（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）计算： ．
15．（江苏省南京市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，点在直线上，，垂足为，，则线段的长是点到直线 的距离．
16．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有 （填写所有正确条件的序号）．
17．（2023上·吉林长春·七年级校考期末）一节数学实践课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并要说出自己做法的依据．小奇、小妙两位同学的做法如图：小奇说：“我做法的依据是：同位角相等，两直线平行．”则小妙做法的依据是 ．
18．（2021下·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，，点在的延长线上，若，则的度数为 ．
19．（2023上·广东深圳·七年级红岭中学校考阶段练习）如图，已知，，求的度数．

20．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，点A、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，不要求写作法．
(1)画射线．
(2)过点画的平行线，点在格点上．
(3)在射线上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离．
21．（2021下·湖北咸宁·七年级统考期末）已知：，点分别为上一点．
(1)如图1，在之间有一点（点不在线段上），连接，试探究，，之间有怎样的数量关系．
①请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系；
②选其中一种数量关系进行证明．
(2)如图2，在之间有两点，连接，，，请直接写出，，，存在的数量关系（不需证明）．
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