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第四章 三角形及四边形
第二节 三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 与三角形有关的线段 ☆☆ 吉林中考中，有三角形部分，每年考查1~5道题,分值为3~15分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握与三角形有关有线段、角、等腰三角形和等边三角形、勾股定理及直角三角形的性质和计算等考点。
考点2 与三角形有关的角 ☆☆☆
考点3 等腰三角形及等边三角形 ☆☆
考点4 直角三角形勾股定理及其应用 ☆☆☆
考点5 直角三角形的性质及计算 ☆☆☆
■考点一　与三角形有关的线段
1.三角形的三边关系：
文字语言：三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边．
2.三角形三边关系的作用：
(1)判断三条已知线段能否组成 ；
(2)当已知两边时，可确定第三边的 ；
(3)解决线段的最值问题．
3.三角形中的四线：角平分线、中线、高线、中位线
4.三角形的中线性质：三角形的中线平分三角形的 。
5.三角形的中位线定理：三角形的中位线 于第三边，并且等于第三边的 。
■考点二　与三角形有关的角
1.三角形的内角
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 .
(2)证明方法:剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的 。
2.三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 .
（2）性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 ；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为 。
3.三角形内角和定理及推论
■考点三　等腰三角形及等边三角形
等腰三角形的定义
文字语言：有两条边相等的三角形叫做 。
符号语言：AB=AC,则△ABC叫做 。
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的 。
性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称： ）。
∵AB=AC,∴∠B=∠C
性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的 的高重合．（简称： ）
性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 ．
3．等腰三角形的两个判定方法
方法1：有两条边相等的三角形是 （定义）。
符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形
方法2：有两个角相等的三角形是 。（简称：等角对等边）
符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形
4．等边三角形的定义：
三条边都相等的三角形是 ．
AB=AC=BC,则△ABC叫做 。
5．等边三角形的性质：
性质1：等边三角形的 。
性质2：等边三角形的 ，且都等于 。
性质3：三线合一
性质4：等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在 ，有 条对称轴．
6．等边三角形的三个判定方法：
方法1： 的三角形是等边三角形；
方法2： 的三角形是等边三角形；
方法3： 的等腰三角形是等边三角形．
■考点四　直角三角形勾股定理及其应用
1.直角三角形的性质与判定
(1)性质：直角三角形的两个锐角 。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
(2)判定： 的三角形是直角三角形。
2.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即： ）
3.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求 ；
（2）利用勾股定理可以证明 的问题；
（3）解决与勾股定理有关的 计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
4.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：
　　 若，则△ABC是以∠C为 的直角三角形；
　　 若时，△ABC是 三角形；
　　　若时，△ABC是 三角形．
5.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为 （又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是 .
■考点五　直角三角形的性质及计算
1. 直角三角形的定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形．
2. 直角三角形的性质：
性质1：（边关系）
性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余
性质3：（边角关系）三角函数
性质4：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半
性质5：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
3.直角三角形的判定方法：
方法1：通过计算证明一个角为 ；
方法2：证明三角形中有 ；
方法3：勾股定理的逆定理；
如果三角形的三条边a、b、c有关系： ，那么这个三角形是直角三角形。
方法4：利用圆的知识（直径对的圆周角是直角）证明；
方法5：利用等腰三角形 证明垂直（即90°）；
方法6：利用菱形或正方形的 证明。
■易错提示
1.三角形是平面几何的基础，三角形部分重要考点有三个方面：其一是三角形内角和定理及推论；其二是三角形三边关系；其三是三角形的角平分线、中线、高线和中位线。
2.关于角和平行，垂直这部分内容，其核心是角，重点理解同位角、内错角、同旁内角的概念和角平分线的概念，通过一定量的练习巩固即可。这部分内容有两个重点类型问题要重视：
1.角的和差问题；2.折叠问题中关于角度的计算。
3.等腰三角形重在性质的灵活运用，尤其是三线合一性质的理解和运用，三种形式一定要深度理解，把三种不同的形式结合文字语言、图形语言、符号语言统一起来，做到见其一，想其二；对于等边三角形的性质和判定可以对照等腰三角形的性质和判定，找到其不同，这样理解和记忆的效果都是比较好的；直角三角形的考点更是复杂，因为初中数学中的几何计算问题，基本上都得借助直角三角形，所以掌握好直角三角形的性质，直接影响到中考成绩的好坏，一定要重视直角三角形的性质和判定方法，在解决几何计算和证明问题时，通常不好解决时，一定要想到通过作辅助线将普通三角形转化为直角三角形来解决。
4.等腰三角形和直角三角形的定义、性质、判定方法是初中数学的核心之一，是中考数学考查的重点。它们可以和四边形、方程、不等式、函数等任何的知识搭配综合，难度一般较大。
5.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
■考点一　与三角形有关的线段
◇典例1： （2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．1，2，4 C．3，4，5 D．7，7，14
◆变式训练
2．（2022上·甘肃定西·八年级校考阶段练习）若三角形的三边长分别为3，4，x则x的值可能是（ ）
A．11 B．6 C．7 D．10
3．（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，中，D、E分别为、的中点，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　与三角形有关的角
◇典例2：（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤，不能确定是直角三角形的条件有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1．（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在中，，沿图中虚线截去，则（ ）
A． B． C． D．
■考点三　等腰三角形及等边三角形
◇典例3：（2022上·甘肃定西·八年级校考阶段练习）等腰三角形三边中有两边的长分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．不能确定
◆变式训练
1．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角可能为( )
A． B． C． D．或
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
■考点四　直角三角形勾股定理及其应用
◇典例4：（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道（B，C在同一水平面上）．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升到达A处，在A处观察B地的俯角为，则B，C两地之间的距离为（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，是的直径，点、点是上任意两点，连接，若点是弧的中点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
■考点五　直角三角形的性质及计算
◇典例5：（2022·吉林·统考二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
◆变式训练
1．（2020·吉林·统考中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林松原·校联考一模）将一副三角板按如图所示放置，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，在中，根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将的周长分成相等两部分的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是( )

A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
3．（2023·吉林长春·一模）如图，已知线段，分别以点A、B为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点C、D，连接，交线段于点E，以点E为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点F，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，点到的距离为3，则的周长为（ ）

A．6 B．12 C．15 D．20
5．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画圆弧，交边于点D，再分别以点为圆心，大于长为半径画圆弧，两圆弧相交于点E，作射线交于点F．若，，则的长为( )

A． B． C． D．
6．（2023·吉林长春·校考二模）在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林长春·统考中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2023·吉林中考真题）如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 .
10.（2023.吉林一模）如图,将等腰三角形纸片ABC折叠,使底边AC落在腰AB上,展开后得到折痕AD,若∠C=70°，则∠ADB=___。
11.（2023·吉林一模）如图，ΔABC是等边三角形. AB=4 ,若⊙O的半径为2 ,圆心在线段BC上运动,则点A到⊙00上的点的距离最小值为 .
12.（2022·吉林长春二模）如图.在四边形ABCD中,已知BE平分∠ABC.∠AEB=∠ABE , BE的延长线交CD的延长线于F，∠A=110° .
(1)求证: AD//BC .
(2)若∠ADC=70° .则∠F的度数是 .
13.（2023·吉林松原二模）在等腰△ABC中，AB=AC , AD为中线,以点A为中心,把线段AC逆时针旋转90° ,得到线段AE，连接BE交直线AD于点F，连接CF .
(1)如图1，若∠BAC=30°，则∠ABF= .
(2)若∠BAC是钝角时,请在图2依题意补全图形并标出对应字母;
(3)证明图2中ΔBCF是等腰直角三角形:
(4)直接写出AB , BF , EF之间的数量关系.
1．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列各图形中，具有稳定性的是（ ）
A．长方形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．正六边形
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条．若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则x的值可能为（ ）
A．2 B． C．3 D．6
3．（2023上·甘肃陇南·八年级校联考期中）如图所示，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期中）如图，，点B，C，D在同一直线上，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图，在中，D，E是上两点，且，平分，垂直于的延长线于F，那么下列说法中不一定正确的是（ ）
A．是的高
B．若，，重合，则为等腰三角形
C．
D．
6．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在中，为边上的中线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）如图，直线，是等边三角形，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
10．（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为 4和 25，则的面积为（ ）
A．20 B．26 C．29 D．32
11．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图为楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
12．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于半径为6的，，连交于E，若E为的中点，且，则四边形的面积是（ ）

A． B． C． D．
13．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
14.（2023上·山东青岛·八年级阶段练习）如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形的边长为 ．
15．（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
16．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，请按要求画出图形．
(1)已知点A在格点上，画一条线段，使，且点B在格点上；
(2)以（1）中线段为腰画一个等腰直角，使点C在格点上．
17．（2023下·江苏·七年级专题练习）三角形三边长分别为，，，则的取值范围是
18．（2023上·全国·八年级期末）如图，中，，，将沿EF折叠，A点落在形内的，则的度数为 ．
19．（2023上·全国·八年级期末）如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且，若，则的长为 ．
20．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形．若、和的面积分别为4、9、5，则的面积为 ．

21．（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）已知的三边长分别为，，，则边上的高为 ．
22．（2023上·吉林白山·八年级统考期末）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求、的度数．
23．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图中，，，平分，若，求的长.
24．（2023上·广东茂名·八年级校考期中）如图，在中，，，．若点P从点A出发，以每秒的速度沿边运动，设运动时间为．当时，求t的值．
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第四章 三角形及四边形
第二节 三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 与三角形有关的线段 ☆☆ 吉林中考中，有三角形部分，每年考查1~5道题,分值为3~15分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握与三角形有关有线段、角、等腰三角形和等边三角形、勾股定理及直角三角形的性质和计算等考点。
考点2 与三角形有关的角 ☆☆☆
考点3 等腰三角形及等边三角形 ☆☆
考点4 直角三角形勾股定理及其应用 ☆☆☆
考点5 直角三角形的性质及计算 ☆☆☆
■考点一　与三角形有关的线段
1.三角形的三边关系：
文字语言：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2.三角形三边关系的作用：
(1)判断三条已知线段能否组成三角形；
(2)当已知两边时，可确定第三边的范围；
(3)解决线段的最值问题．
3.三角形中的四线：角平分线、中线、高线、中位线
4.三角形的中线性质：三角形的中线平分三角形的面积。
5.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
■考点二　与三角形有关的角
1.三角形的内角
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法:剪拼成平角、通过作平行线构造平角，构造两平行线下的同旁内角。
2.三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
（2）性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和为360°。
3.三角形内角和定理及推论
■考点三　等腰三角形及等边三角形
等腰三角形的定义
文字语言：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
符号语言：AB=AC,则△ABC叫做等腰三角形。
等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两腰相等。
性质2：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。
∵AB=AC,∴∠B=∠C
性质3：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（简称：三线合一）
性质4：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线．
3．等腰三角形的两个判定方法
方法1：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）。
符号语言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形
方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）
符号语言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形
4．等边三角形的定义：
三条边都相等的三角形是等边三角形．
AB=AC=BC,则△ABC叫做等边三角形。
5．等边三角形的性质：
性质1：等边三角形的三边相等。
性质2：等边三角形的三角相等，且都等于60°。
性质3：三线合一
性质4：等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线，有三条对称轴．
6．等边三角形的三个判定方法：
方法1：三条边都相等的三角形是等边三角形；
方法2：三个角都相等的三角形是等边三角形；
方法3：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
■考点四　直角三角形勾股定理及其应用
1.直角三角形的性质与判定
(1)性质：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。
(2)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
3.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
4.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：
　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
　　 若时，△ABC是锐角三角形；
　　　若时，△ABC是钝角三角形．
5.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
■考点五　直角三角形的性质及计算
1. 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2. 直角三角形的性质：
性质1：（边关系）勾股定理
性质2：（角关系）直角三角形两锐角互余：
性质3：（边角关系）三角函数
性质4：在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半
性质5：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
3.直角三角形的判定方法：
方法1：通过计算证明一个角为90°；
方法2：证明三角形中有两个角的和互余；
方法3：勾股定理的逆定理；
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
方法4：利用圆的知识（直径对的圆周角是直角）证明；
方法5：利用等腰三角形三线合一证明垂直（即90°）；
方法6：利用菱形或正方形的对角线互相垂直证明。
■易错提示
1.三角形是平面几何的基础，三角形部分重要考点有三个方面：其一是三角形内角和定理及推论；其二是三角形三边关系；其三是三角形的角平分线、中线、高线和中位线。
2.关于角和平行，垂直这部分内容，其核心是角，重点理解同位角、内错角、同旁内角的概念和角平分线的概念，通过一定量的练习巩固即可。这部分内容有两个重点类型问题要重视：
1.角的和差问题；2.折叠问题中关于角度的计算。
3.等腰三角形重在性质的灵活运用，尤其是三线合一性质的理解和运用，三种形式一定要深度理解，把三种不同的形式结合文字语言、图形语言、符号语言统一起来，做到见其一，想其二；对于等边三角形的性质和判定可以对照等腰三角形的性质和判定，找到其不同，这样理解和记忆的效果都是比较好的；直角三角形的考点更是复杂，因为初中数学中的几何计算问题，基本上都得借助直角三角形，所以掌握好直角三角形的性质，直接影响到中考成绩的好坏，一定要重视直角三角形的性质和判定方法，在解决几何计算和证明问题时，通常不好解决时，一定要想到通过作辅助线将普通三角形转化为直角三角形来解决。
4.等腰三角形和直角三角形的定义、性质、判定方法是初中数学的核心之一，是中考数学考查的重点。它们可以和四边形、方程、不等式、函数等任何的知识搭配综合，难度一般较大。
5.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
■考点一　与三角形有关的线段
◇典例1： （2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．1，2，4 C．3，4，5 D．7，7，14
【答案】C
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．据此进行分析判断即可．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，，不能组成三角形；
B中，，不能够组成三角形；
C中，，能组成三角形；
D中，，不能组成三角形．
故选：C．
◆变式训练
2．（2022上·甘肃定西·八年级校考阶段练习）若三角形的三边长分别为3，4，x则x的值可能是（ ）
A．11 B．6 C．7 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了构成三角形的条件：即三角形任意一边大于其它两边的差，同时小于其它两边之和，解题的关键是熟知构成三角形的条件．
根据能构成三角形的条件，逐个判断即可．
【详解】A．因，故不能构成三角形，A不符合题意；
B．因，所以能构成三角形，B符合题意；
C．因，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，所以不能构成三角形，C不符合题意；
D．因，故不能构成三角形，D不符合题意；
故选：B．
3．（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，中，D、E分别为、的中点，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积平均分为两份．根据三角形中线的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵点D为中点，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
即阴影部分的面积为，
故选：C．
■考点二　与三角形有关的角
◇典例2：（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤，不能确定是直角三角形的条件有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】此题考查了三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理依次计算并判断即可．
【详解】①∵，，
∴，得，
∴是直角三角形；
②设
∴，得，
∴，
∴是直角三角形；
③∵，
∴，，
∴是直角三角形；
④∵，，
∴，
∴不是直角三角形；
⑤设，则
∴，得，
∴
∴是直角三角形；
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图，在中，，沿图中虚线截去，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理；
如图，根据三角形外角的性质求出，，再根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
故选：C．
2．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形分类，利用三角形内角和定理建立方程求解是解题关键．设，根据三角形内角和定理建立方程求解即可得出答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
，
∴，，，
∴是锐角三角形，
故选：A．
■考点三　等腰三角形及等边三角形
◇典例3：（2022上·甘肃定西·八年级校考阶段练习）等腰三角形三边中有两边的长分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和等腰三角形的性质，解题的关键是注意构成三角形的条件：即三角形两边之和大于第三边，同时满足两边之差小于第三边．
分三边为9，9，4与三边为9，4，4时两种情况讨论，看看是否符合构成三角形三边关系的条件，然后求解．
【详解】解：分为两种情况：①当等腰三角形的三边为9，9，4时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：，
②当等腰三角形的三边为9，4，4时，
∵，
∴不符合三角形的三边关系定理，此时三角形不存在，
故选B．
◆变式训练
1．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角可能为( )
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质， 根据角为顶角和底角两种情况进行讨论即可得出答案，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等，注意进行分类讨论．
【详解】解：当角为等腰三角形的顶角时，则等腰的顶角为；
当角为等腰三角形的一个底角时，由于等腰三角形两个底角相等，则等腰的顶角为：．
综上所述：等腰的顶角为或．
故选：D．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，，，
，，
如图，作点P关于的对称点，连接交于，
此时的值最小．最小值，

，
∴，
∴，而，
是等边三角形，
，
的最小值为3．
故选B．
■考点四　直角三角形勾股定理及其应用
◇典例4：（2023上·山东济宁·九年级校考阶段练习）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道（B，C在同一水平面上）．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升到达A处，在A处观察B地的俯角为，则B，C两地之间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意在中，据此代入熟知求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴在中，
∴B，C两地之间的距离为．
故选A．
◆变式训练
1．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：在中，米，，
，
（米），
故选：．
2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，是的直径，点、点是上任意两点，连接，若点是弧的中点，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查垂径定理，三角函数，勾股定理，根据，及勾股定理求出，，根据等积法求出，结合垂径定理得到，结合三角形面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：∵点是弧的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
■考点五　直角三角形的性质及计算
◇典例5：（2022·吉林·统考二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．
【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.
故选A
【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．
◆变式训练
1．（2020·吉林·统考中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
2．（2023·吉林松原·校联考一模）将一副三角板按如图所示放置，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据外角的性质即可得出结果．
【详解】解：由三角形外角性质，可得：
故选：
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质定理是解此题的关键．
1．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，在中，根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将的周长分成相等两部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求得，则，根据三线合一即可求解．
【详解】解：∵在中，
∴，
∴，
∴，
则作图为的角平分线，将的周长分成相等两部分，
A选项作图为的角平分线，B选项为的角平分线，不合题意，
C选项为的角平分线，符合题意，
D选项为的垂直平分线，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是( )

A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，角平分线的定义，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含直角三角形的性质等知识，能够熟练通过尺规作图的痕迹得出是角平分线是解题关键．
3．（2023·吉林长春·一模）如图，已知线段，分别以点A、B为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点C、D，连接，交线段于点E，以点E为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点F，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，由作法可知，垂直平分，，，进而推出是等边三角形，，再利用垂直平分线的性质，证明是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
由作法可知，垂直平分，，，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了作图——基本作图，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
4．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，点到的距离为3，则的周长为（ ）

A．6 B．12 C．15 D．20
【答案】B
【分析】由角平分线的性质即可得出，根据勾股定理求出，进而求出的周长．
【详解】解：由作图可知是的平分线，
∵点到的距离为3，，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理及角平分线的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画圆弧，交边于点D，再分别以点为圆心，大于长为半径画圆弧，两圆弧相交于点E，作射线交于点F．若，，则的长为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知是线段的垂直平分线，利用，可知，从而得到，从而利用计算即可．
【详解】解：依题意可知：，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
又∵
∴
∴
∵在中，，，
∴
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查垂直平分线的画法和判定，等腰直角三角形的性质，根据题意推断是线段的垂直平分线是解题的关键．
6．（2023·吉林长春·校考二模）在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明，从而得到，，再由勾股定理求出的长，设，则，在中，利用勾股定理求出x，即可求解．
【详解】解：由作法得：平分，，
∵，即，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故选：D
【点睛】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
7．（2023·吉林长春·统考中考真题）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成角（即）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则彩旗绳的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据余弦值的概念即邻边与斜边之比，即可求出答案.
【详解】解：表示的是地面，表示是图书馆，
，
为直角三角形，
（米）.
故选：D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的概念.
8．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程．
9．（2023·吉林中考真题）如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 .
[知识点]三角形的稳定性及应用
[分析]根据三角形结构具有稳定性作答即可.
[详解]解:其数学道理是三角形结构具有稳定性.
故答案为:三角形具有稳定性.
[点睛]本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响.
10.（2023.吉林一模）如图,将等腰三角形纸片ABC折叠,使底边AC落在腰AB上,展开后得到折痕AD,若∠C=70°，则∠ADB=___。
[知识点]三角形的外角的定义及性质，根据等边对等角求角度，折叠问题
[答案] 105
[分析]由翻折的性质得出AD平分∠BAC,再结合等腰三角形的性质得出∠CAD的度数，最后结合三角形的外角的性质即可求出∠ADB的值.
[详解]解:将等腰三角形纸片ABC折叠.使底边AC落在腰AB上
∠BAD=∠CAD=∠BAC,
BA= BC，∠C= 70° ,
∠BAC=∠C= 70°，
∠BAD= ∠CAD=35°，
∠ADB=∠C+∠CAD=70°+35° = 105° .
故答案为: 105.
[点睛]本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
11.（2023·吉林一模）如图，ΔABC是等边三角形. AB=4 ,若⊙O的半径为2 ,圆心在线段BC上运动,则点A到⊙00上的点的距离最小值为 .
[知识点]垂线段最短，等边三角形的性质，用勾股定理解三角形
[答案] 4
[分析]连接A0，交⊙O于点D,由图可知:点A到⊙O上的点的距离为AD=40- OD.根据AD= AO- 2.可知当A0最小时, AD也最小，根据垂线段最短可知:当A0⊥BC时，A0最小，问题随之得解.
[点睛]本题考查了等边三角形的性质，勾股定理以及垂线段最短等知识，灵活运用垂线段最短，构造合理的辅助线，是解答本题的关键.
12.（2022·吉林长春二模）如图.在四边形ABCD中,已知BE平分∠ABC.∠AEB=∠ABE , BE的延长线交CD的延长线于F，∠A=110° .
(1)求证: AD//BC .
(2)若∠ADC=70° .则∠F的度数是 .
[知识点]角平分线的有关计算，根据平行线判定与性质证明，三角形的外角的定义及性质
[答案] (1)见解析
(2)35
[分析] (1) 先证明∠ABE=∠CBE，再证明∠AEB=∠CBE,从而可得结论;
(2)先证明∠F= ∠FED,再利用三角形的外角的性质可得答案.
[详解] (1) 证明: BE平分∠ABC.
∠ABE=∠CBE,
∠AEB=∠ABE.
∠AEB=∠CBE.
AD//BC;
(2)∠A=110°，∠ADC= 70°，
∠A+∠ADC=180°，
AB//CD,
∠F=∠ABE，.
∠AEB=∠FED,∠ABE=∠AEB,
∠ADC=∠F+∠FED=70°,
∠F=35°
[点睛]本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质,清晰的逻辑思维推理是解本题的关键.
13.（2023·吉林松原二模）在等腰△ABC中，AB=AC , AD为中线,以点A为中心,把线段AC逆时针旋转90° ,得到线段AE，连接BE交直线AD于点F，连接CF .
(1)如图1，若∠BAC=30°，则∠ABF= .
(2)若∠BAC是钝角时,请在图2依题意补全图形并标出对应字母;
(3)证明图2中ΔBCF是等腰直角三角形:
(4)直接写出AB , BF , EF之间的数量关系.
[知识点]线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，用勾股定理解三角形
[答案] (1)30
(2)证明略
(3)证明略
(4)2AB2= BF2+ EF2
[分析] (1) 利用等腰三角形的性质求出∠ABC, ∠ABF即可解决问题.
(2)根据要求画出图形卿可.
(3)利用垂直平分线的性质证明FB= FC,再用三角形内角和得出∠BFC = 90即可判断.
(4)连接EC,利用勾股定理列出等式即可.
[点睛]本题考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质与判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和垂直平分线的性质进行推理证明.
1．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下列各图形中，具有稳定性的是（ ）
A．长方形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．正六边形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的性质．
【详解】解：因为三角形具有稳定性，所以具有稳定性的是等腰三角形，
故选：C．
2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条．若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则x的值可能为（ ）
A．2 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边． 依据题意，三根木条的长度分别为x m，x m，，再根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：由题意可知，三根木条的长度分别为x m，x m，，
∵三根木条要组成三角形，
∴，
解得：．
故选C．
3．（2023上·甘肃陇南·八年级校联考期中）如图所示，分别是，的两条角平分线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的角平分线，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵，
在中，
，
∵分别是，的两条角平分线，
，
，
在中，
．
故选：A．
4．（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期中）如图，，点B，C，D在同一直线上，若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是求出的度数．根据三角形外角和内角的关系，可以得到的度数，再根据平行线的性质，可以得到，从而可以得到的度数．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图，在中，D，E是上两点，且，平分，垂直于的延长线于F，那么下列说法中不一定正确的是（ ）
A．是的高
B．若，，重合，则为等腰三角形
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，等腰三角形的判定，熟记它们的定义是解题的关键．
【详解】解：A、∵，交的延长线于，
∴是的边上的高，本选项说法正确，不符合题意；
B、若，，重合，则为等腰三角形，本选项说法正确，不符合题意；
C、与的大小不能确定，故本选项说法不一定正确，符合题意；
D、∵，
∴，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在中，为边上的中线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
7．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
8．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）如图，直线，是等边三角形，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出解答．
根据等边三角形的性质得出，进而利用平行线的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：如图所示
是等边三角形，
∥
故选：Ｂ
9．（2023上·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题，熟练掌握先把立体图形展开成平面图形，构造直角三角形，根据两点之间，线段最短，计算求解即可．
将长方体展开，然后连接，利用勾股定理求的长即可．
【详解】解：如图，长方体的展开图如下：
∴，，
由勾股定理得，，
∴最短的路径长为厘米，
故选：D．
10．（2023上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为 4和 25，则的面积为（ ）
A．20 B．26 C．29 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理，证明得到，，再利用勾股定理，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选：C．
11．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图为楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意，在中，（米），
所以地毯的长度为米，
故选：B．
12．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于半径为6的，，连交于E，若E为的中点，且，则四边形的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点O作，垂足为F，连接．由等腰三角形的三线合一的性质可知：，然后由特殊锐角三角函数值可知，从而得到，根据圆周角定理可知：，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为M，首先证明，从而得到，然后由圆周角定理证明，从而得到，然后等腰三角形三线合一的性质可知：．在中，求得AN，证明．得，根据四边形的面积便可得结果．
【详解】解：如图所示，过点O作，垂足为F，连接．

∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
如图所示，过点A作，垂足为N，过点C作，垂足为M．

∵E为的中点，，
∴
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
在中，．
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
∴四边形的面积．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、解直角三角形，全等三角形的性质和判定的综合应用，由若E为的中点，，得到，从而证得是解题的关键．
13．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）如图，在中，，，为线段延长线一点，为线段上一点，连接交于点，连接，若，设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的性质与判定，解直角三角形，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，三角形内外角关系，过点F作，证明，结合内外角关系求解即可得到答案；
【详解】解：过点F作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
14.（2023上·山东青岛·八年级阶段练习）如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，以直角三角形的两直角边为边长所构成的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即可直接计算得出结论.
【详解】以直角三角形的两直角边为边长所构成的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积
∴正方形A的面积
∴正方形的边长为
故答案为:
15．（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理；
（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，，
再利用勾股定理计算出，然后根据计算即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，，
；
（2）解：，
，，
在中，，
．
16．（2023上·浙江温州·八年级温州市第十二中学校联考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，请按要求画出图形．
(1)已知点A在格点上，画一条线段，使，且点B在格点上；
(2)以（1）中线段为腰画一个等腰直角，使点C在格点上．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，
（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰直角三角形的判定和性质画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）如图，即为所求（答案不唯一）．
17．（2023下·江苏·七年级专题练习）三角形三边长分别为，，，则的取值范围是 。
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解答本题的关键．
根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
三角形三边长分别为，，，
由三角形三边关系可得：，
解得，
故答案为．
18．（2023上·全国·八年级期末）如图，中，，，将沿EF折叠，A点落在形内的，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出的度数，根据图形翻折变换的性质得出的度数，再由四边形的内角和为即可得出结论．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∵由翻折而成，
∴，
∴．
故答案为：．
19．（2023上·全国·八年级期末）如图，在中，和分别是和的平分线，过点D，且，若，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角形即可解答．
【详解】解：∵和分别是和的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
20．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边，向外作等腰直角三角形．若、和的面积分别为4、9、5，则的面积为 ．

【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个等腰直角三角形的面积之间的关系．
连接，根据等腰直角三角形的面积公式可求，根据勾股定理可求再根据等腰直角三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，

、和是等腰直角三角形，
，
、和的面积分别为、、，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
则的面积为．
故答案为∶8．
21．（2023上·河南周口·八年级统考阶段练习）已知的三边长分别为，，，则边上的高为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，先根据勾股定理逆定理，可得是直角三角形，且斜边长为10，再根据直角三角形的面积，即可求解．
【详解】解∶∵的三边长分别为6、8、10，且，
∴是直角三角形，且斜边长为10，
设边上的高为．
根据三角形的面积为：，
∵，，，
∴，
故答案为：．
22．（2023上·吉林白山·八年级统考期末）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求、的度数．
【答案】；．
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义．中，两锐角互余，求得；由内角和定理，得，由角平分线，得，，进而求得．
【详解】解：中，，
∴；
中，，
∵是角平分线，
∴，．
∴．
23．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图中，，，平分，若，求的长.
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先证，根据等角对等边得出，再根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：中，，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
．
24．（2023上·广东茂名·八年级校考期中）如图，在中，，，．若点P从点A出发，以每秒的速度沿边运动，设运动时间为．当时，求t的值．
【答案】//
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，因为，此时设，，根据勾股定理列方程即可求出的值．
【详解】连接，如图，
为直角三角形，，
由勾股定理可得：，
即，
点从点出发，以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，
又∵，
∴，则，
∵在中， ，
由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴当点运动到时，的值为．
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