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第四章 三角形及四边形
第四节 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特殊角的三角函数 ☆ 吉林中考中，有锐角三角函数部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握锐角三角函数及实际应用等考点。
考点2 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆
■考点一　特殊角的三角函数
1.锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
：sinA=；
：cosA=；
：tanA=．
2.特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
3. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有 元素，即 ，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做 ．
4.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
(1)三边关系： ；
(2)两锐角关系： ；
(3)边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
(4)sin2A+cos2A=1．tan A=
■考点二　锐角三角函数的实际应用
1.仰角和俯角问题：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 ．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做 ．
2.坡度和坡角问题：
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 （或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度 ，α角越大，坡面 ．
3.方向角问题：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做 ．
特别的，
北偏东45度也叫 ；北偏西45度也叫 ；
南偏东45度也叫 ；南偏西45度也叫 。
4.解直角三角形实际应用的一般步骤
（1） ，根据题意画出相应图形，建立数学模型；
（2） ：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3） ：选择合适的边角关系式，解决问题；
（4） ：检验答案是否符合实际生活．
■易错提示
1.三角函数的本质是两条线段的比值，它只是一个数值，大小只与锐角的大小有关，与所在三角形的大小无关.
2.正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
3.锐角三角函数是初中数学中最后一块内容，也是中考必考内容之一。这块内容比较抽象难懂，综合性很强，所以难度一般较大，但掌握以下几条，想拿高分，还是可以的。一是，基础知识要掌握熟练；二是，对于常考题型要多练，熟能生巧；三是要多总结，多从不同角度思考问题，对于同一个问题从不同角度出发，考虑有没有其它解法，做到融会贯通，运用自如；四是对于做过的错题要注意整理，反思。记住：构造直角三角形是解决锐角三角函数问题的核心。
■考点一　特殊角的三角函数
◇典例1： （2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，则的长度是( )
A．2 B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　锐角三角函数的实际应用
◇典例2：（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，是半圆的直径，弦相交于点P，那么（ ）

A． B． C． D．以上都不对
◆变式训练
1．（2023下·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，中，，，，，则（　　）

B．
C． D．
2．（2023上·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，菱形的对角线，，，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
1．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（ ）

A．1 B．3 C． D．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，，则学校与凉亭之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林长春·校考二模）如图是一架人字梯，已知，与地面的夹角为α，两梯脚之间的距离米，则线段AB长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线．．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2021·吉林长春·统考一模）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线上顺次截取，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连结、、，则下列说法错误的是（　　）
A．为等边三角形 B．的面积为
C． D．
7．（2021·吉林长春·统考一模）如图，以O为圆心的圆与反比例函数的图象交于两点，已知点B的坐标为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8.（2023·吉林松原·统考二模）如图，矩形内接于圆中．若，则阴影部分图形的面积是 （结果保留）．

9．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．

10．（2023·吉林长春·校联考二模）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连结并延长交于点M．若，，则的长为 ．
11．（2023·吉林长春·校联考二模）圆规两脚形成的角α称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为，最大的张角为，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降 厘米．（脚的宽度忽略不计）（参考数据：，，）

1．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）若正六边形的边长为4，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别是（ ）
A．4， B．4，2 C．，2 D．，
2．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）如图，在中，，若，则的长度为（ ）
A．5 B． C．4 D．3
4．（2023上·山西晋城·九年级校联考期末）在中，各边都扩大3借，则的正切值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定
5．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）在中，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·辽宁营口·九年级校考阶段练习）如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且，连接与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③ ④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，在中，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）在中，是的中线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，，，，，则（ ）

A． B． C． D．
11．（2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校联考阶段练习）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，在中，是上一点，若，则的长为（ ）．
A．2 B． C． D．1
13．（2023上·浙江温州·九年级期末）如图，在Rt中，，，，则的值为 ．
14．（2023上·山东济南·九年级校考期末）已知α为锐角，且，则 度．
15．（2024上·湖北武汉·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
16．（2023上·四川眉山·九年级校考期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，的顶点都在格点上，则的正弦值是 ．
17．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ．
18．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，已知四边形内接于圆O，直径与交于E点，平分．
(1)尺规作图：作，使得M、D在的两侧（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求．
19．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，于点D，于点E，，连接， ，过点E作，交延长线于点G．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当，时，求四边形的周长．
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第四章 三角形及四边形
第四节 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特殊角的三角函数 ☆ 吉林中考中，有锐角三角函数部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握锐角三角函数及实际应用等考点。
考点2 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆
■考点一　特殊角的三角函数
1.锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；
余弦：cosA=；
正切：tanA=．
2.特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
3. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
4.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
(1)三边关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角关系：∠A+∠B=90°；
(3)边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
(4)sin2A+cos2A=1．tan A=
■考点二　锐角三角函数的实际应用
1.仰角和俯角问题：
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2.坡度和坡角问题：
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3.方向角问题：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
特别的，
北偏东45度也叫东北方向；北偏西45度也叫西北方向；
南偏东45度也叫东南方向；南偏西45度也叫西南方向。
4.解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）审题，根据题意画出相应图形，建立数学模型；
（2）转化：将实际条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）解决：选择合适的边角关系式，解决问题；
（4）检验：检验答案是否符合实际生活．
■易错提示
1.三角函数的本质是两条线段的比值，它只是一个数值，大小只与锐角的大小有关，与所在三角形的大小无关.
2.正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
3.锐角三角函数是初中数学中最后一块内容，也是中考必考内容之一。这块内容比较抽象难懂，综合性很强，所以难度一般较大，但掌握以下几条，想拿高分，还是可以的。一是，基础知识要掌握熟练；二是，对于常考题型要多练，熟能生巧；三是要多总结，多从不同角度思考问题，对于同一个问题从不同角度出发，考虑有没有其它解法，做到融会贯通，运用自如；四是对于做过的错题要注意整理，反思。记住：构造直角三角形是解决锐角三角函数问题的核心。
■考点一　特殊角的三角函数
◇典例1： （2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，则的长度是( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了余弦的定义；根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
故选：A．
◆变式训练
1．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形．由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：由图可得：，
∴．
故选：D．
2．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有选项C错误，符合题意．
故选C．
■考点二　锐角三角函数的实际应用
◇典例2：（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，是半圆的直径，弦相交于点P，那么（ ）

A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】由图，可证，得．连接，则，得．
【详解】解：由图知，
∴．
∴．
连接，则，
∴．
故选：B

【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023下·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，中，，，，，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出，的长进而得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
则，
而，
故，
∵，
∴，
则．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出的长是解题关键．
2．（2023上·辽宁铁岭·九年级统考阶段练习）如图，菱形的对角线，，，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理计算出的长，然后根据锐角三角函数定义分别进行计算可得答案．
【详解】
在菱形中，
有，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质及锐角三角函数的定义与计算．
1．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
【详解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
2．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（ ）

A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】设点A的坐标为，过A点作轴，利用锐角三角函数和即可求出m，根据，设，根据点D经过反比例函数，即可求出n，进而求出答案．
【详解】解：设点A的坐标为，
过A点作轴，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
或（舍），
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
设，
则，
∴，
∵点D经过反比例函数，
，
或（舍），
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，巧设未知数利用已知解析式是本题的突破口．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得，，，则学校与凉亭之间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦三角函数的定义即可得．
【详解】解：在中，，，，
，
解得，
即学校与凉亭之间的距离等于，
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦，熟练掌握余弦的概念是解题关键．
4．（2022·吉林长春·校考二模）如图是一架人字梯，已知，与地面的夹角为α，两梯脚之间的距离米，则线段AB长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作于点D，根据等腰三角形的三线合一求出，然后根据余弦的定义求出即可．
【详解】解：过点A作于点D，
∵，米，
∴米，
在中，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟记余弦的定义是解题的关键．
5．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线．．是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】作交OB于点G，利用．．求出，，表示出，，进一步求出，，，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值．
【详解】解：作交OB于点G，
∵矩形的对角线．．
∴，，即，
∵E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上，
∴，，
∵将沿翻折后，点恰好落在上的点处，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故选：D
【点睛】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征．解题的关键是求出，，表示出，，，利用相似的性质求出．
6．（2021·吉林长春·统考一模）如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线上顺次截取，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连结、、，则下列说法错误的是（　　）
A．为等边三角形 B．的面积为
C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的判定和性质、特殊角的三角形函数值、三角形的外角性质分别求出正确答案，即可判断．
【详解】根据作图步骤，知：BC=BE=CE=a，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC=∠BEC=60，
∵AB=BE=a，
∴∠A=∠AEB=∠EBC=30，
∴，
∴∠AEC=∠AEB +∠BEC=90=3∠A，
故选项A、C、D正确，均不符合题意；
过E作EF⊥BC于F，
∴，
∴，故选项B错误，符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、特殊角的三角形函数值、三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．（2021·吉林长春·统考一模）如图，以O为圆心的圆与反比例函数的图象交于两点，已知点B的坐标为，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，A、B两点关于y=x对称， 由B　求出A，利用勾股定理求出圆O的半径，利用三角函数tan∠EOB=，求出∠EOB=30°，tan∠AOF=，求出∠AOF=30°，求弧长AB所对圆心角∠BOA=30°，利用弧长公式可求即可．
【详解】解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AF⊥x轴于F，
∵以O为圆心的圆与反比例函数的图象都是关于y=x直线成轴对称，
∴A、B两点关于y=x对称，
∵B　，
∴A，
在Rt△OBE中，BE=1，OE=，由勾股定理OB=，
∴tan∠EOB=，
∴∠EOB=30°，
在Rt△OAF中，AF=1，OF=，
∴tan∠AOF=，
∴∠AOF=30°，
∴∠BOA=90°-∠EOB- ∠AOF=90°-30°-30°=30°，
∴，
故选择：D．
【点睛】本题考查反比例函数与圆的轴对称性质，找出对称轴，利用轴对称性质求出A点坐标，利用三角函数求出AB弧所对圆心角，掌握弧长公式，勾股定理，利用锐角三角函数求角度是解题关键．
8.（2023·吉林松原·统考二模）如图，矩形内接于圆中．若，则阴影部分图形的面积是 （结果保留）．

【答案】
【分析】如图，连接，，交点为，过作，由题意知为圆的圆心，则，则，，，，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，，交点为，过作，由题意知为圆的圆心，则，

∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
由题意知，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，正切，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）如图，在中，分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点作直线分别交点和点若则的长为 ．

【答案】
【分析】由可得出可知垂直平分在中，解直角三角形即可求出．
【详解】解：
由作法得垂直平分
在中，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性这些质，解直角三角形，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
10．（2023·吉林长春·校联考二模）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连结并延长交于点M．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】由大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，在中使用勾股定理可求出，过点M作于点N，由为等腰直角三角形可证得也为等腰直角三角形，设，则，由，可解得．进而可得．
【详解】解：由图可知，，
∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
故，设，
则在中，有，
即，解得：（舍去）．
过点M作于点N，如图所示．
∵四边形为正方形，为对角线，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故为等腰直角三角形．
设，则，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．
11．（2023·吉林长春·校联考二模）圆规两脚形成的角α称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为，最大的张角为，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降 厘米．（脚的宽度忽略不计）（参考数据：，，）

【答案】7.4
【分析】过点A作，根据锐角三角函数可求的长，即可求解．
【详解】解：如图：过点A作，垂足为D，

当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴将圆规直立放置，两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降，
故答案为：．
【点睛】本题考查借助圆规考查了锐角三角函数，作出辅助线是解题关键．
12.（2022·吉林·统考中考真题）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【分析】根据正弦的概念即可求解．
【详解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
13．（2021·吉林长春·统考中考真题）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：．
（2）若，则线段AP的长为 ．
【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2）
【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出,从而得出∠EAF的值；
操作二：根据折叠的性质得出 ,从而得出的度数；
（1）首先利用 ,得出,从而得出△ANF为等腰直角三角形，即可证得；
（2）利用三角函数或者勾股定理求出BE的长，则,设DF=x，那么FC=，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的长，也就是MF的长，即可求得EF的长，进而可得结果．
【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形．
1．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）若正六边形的边长为4，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别是（ ）
A．4， B．4，2 C．，2 D．，
【答案】A
【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可，正确应用正六边形的性质是解题关键．
【详解】如图， 连接，，，
∵六边形是边长为的正六边形，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴边长为4的正六边形外接圆的半径为，其内切圆的半径为．
故选：．
2．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，与三角板有关的角度的计算．根据，得到，进而得到，平行，得到，再根据邻补角进行求解即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵直尺的两边平行，
∴，
∴；
故选B．
3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）如图，在中，，若，则的长度为（ ）
A．5 B． C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据余弦的定义可求出的长，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：，，
，即，
，
故选：D．
4．（2023上·山西晋城·九年级校联考期末）在中，各边都扩大3借，则的正切值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了正切函数的概念，根据锐角三角函数的定义，可得答案．属于简单题．理解正切函数的定义是解题关键．
【详解】解：由题意，得，各边都扩大3倍，则角A的正切值不变．
故选：C．
5．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）在中，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数正弦值的定义等知识．由已知条件设，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数正弦值定义即可求出．
【详解】解：在中，，若，
设，，
∴，
∴．
故选：A．
6．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，直接利用锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解： ∵在中，，
∴
故选D．
7．（2023上·辽宁营口·九年级校考阶段练习）如图，已知E是正方形中边延长线上一点，且，连接与交于点N，F是的中点，连接交于点M，连接．有如下结论：①；②；③ ④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据“角角边”，证明，根据全等三角形的性质，得到，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；作于G，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出，即可判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④．
【详解】解：∵四边形为正方形，，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，故①结论正确；
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②结论正确；
作于G，则，
∴，
∴，
，故③结论正确；
，
，即，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴，故④结论正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质，正确证明两三角形相似和全等是解答本题的关键．
8．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，在中，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理和求角的正弦值，先利用勾股定理求出，再根据正弦的定义可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故选C．
9．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）在中，是的中线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的定义、正切的定义，由含角的直角三角形的性质及勾股定理可得，，由中线的定义可得，最后根据正切的定义进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在中，，
，
，
，
是的中线，
，
，
故选：B．
10．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：在中，，，，
即．
故选：A．
11．（2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校联考阶段练习）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查网格中的锐角三角函数．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图，可知：，
∴，
∴，
∴，，，，
综上：只有选项A是错误的，
故选A．
12．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，在中，是上一点，若，则的长为（ ）．
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，由题意及勾股定理得出，，作于，则，证明出是等腰直角三角形，得到，结合正切的定义求出，最后由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：在中，，
，，
如图，作于，则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
故选：A．
13．（2023上·浙江温州·九年级期末）如图，在Rt中，，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
14．（2023上·山东济南·九年级校考期末）已知α为锐角，且，则 度．
【答案】60
【分析】本题主要考查了根据特殊级三角函数值求角的度数，熟知60度角的余弦值为是解题的关键．
【详解】解：∵α为锐角，且，
∴，
故答案为：．
15．（2024上·湖北武汉·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，正切，旋转的性质．熟练掌握勾股定理，正切，旋转的性质是解题的关键．
如图，过作轴于，由，可得，由旋转的性质可知，，，则，在轴的负半轴上，然后作答即可．
【详解】解：如图，过作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
16．（2023上·四川眉山·九年级校考期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，的顶点都在格点上，则的正弦值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义，连接，由勾股定理判断出为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据正弦的定义即可求解，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理可得，，，，
∵，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质和锐角三角函数的定义以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．设折痕为，连接交于点，由勾股定理求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后利用的正切列式求出的长，最后证≌，得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，设折痕为，连接交于点，
四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
折叠后点与点重合，
，
，
解得：，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
18．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）如图，已知四边形内接于圆O，直径与交于E点，平分．
(1)尺规作图：作，使得M、D在的两侧（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在上的延长线上截取，连接，则即为所求；
（2）由全等三角形的性质得到，，接着证明为等腰直角三角形得到，然后在中利用正切的定义得到，则可设，，所以，从而可计算出的值．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
在上的延长线上截取，连接，
由圆内接四边形的性质和平角的定义得到，则，
由角平分线的定义得到，则，
由此可由证明；
（2）解： ∵是直径，
∴，
∵，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在中，，
设，，
，，
．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过证明进而证明为等腰直角三角形是解题的关键．
19．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，于点D，于点E，，连接， ，过点E作，交延长线于点G．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当，时，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明是的中点，根据中位线的性质证明，根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，根据直角三角形性质得出，，证明，即可证明结论；
（2）在中根据，得出，求出,根据勾股定理求出，根据直角三角形性质得出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴是的中点，
∵，
∴F是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴、为直角三角形，
∵F是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴,
根据勾股定理得：，
∴，
∴菱形的周长为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
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