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第四章 三角形及四边形
第六节 特殊的平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 矩形的判定及性质 ☆☆ 吉林中考中，有关特殊的平行四边形部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握特殊的平行四边形的判定及相关证明等考点。
考点2 菱形的判定及性质 ☆☆
考点3 正方形的判定及性质 ☆☆
■考点一　矩形的判定及性质
1.矩形的定义：有一个角是 的 叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）边：对边 且 ；
（2）角：四个角都是 ；
（3）对角线：对角线互相 且 ；
（4）对称性： 。
3.矩形的判定
（1）定义：有一个角是 的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是 的四边形是矩形；
（3）对角线 的平行四边形是矩形。
■考点二　菱形的判定及性质
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做 .
2.性质
（1）菱形的四条边都 .
（2）菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线 .
3.判定定理
（1） 的平行四边形是菱形
（2） 的平行四边形是菱形.
（3） 的四边形是菱形.
（4） 的四边形是菱形.
(5)菱形的面积：菱形被它的两条对角线分成 ，它们的底和高都分别是两条对角线的一半.利用三角形的面积公式可推得，菱形的面积等于它的对角线之积的一半.
■考点三　正方形的判定及性质
1.定义：四条边都 ，四个角都是 的四边形是正方形，所以，正方形既是 ，又是 。
2.性质：正方形既有 的性质，又有 的性质.
(1)边的性质：正方形的4条边都相等，对边 .
(2)角的性质：正方形的4个角都是 。
(3)对角线的性质：正方形的对角线 ，并且每条对角线 .正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形两条对角线把正方形分成4个 .正方形是轴对称图形，有 对称轴。
3.正方形的判定方法的应用
(1)一组邻边相等的 是正方形.
(2)有一个角是直角的 是正方形.
(3)有 的平行四边形是正方形.
(4)既是 又是 的四边形是正方形.
规律判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
①先证明它是 ，再证明它有 .
②先证明它是 ，再证明它有 .
在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的.要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键.
4.矩形、菱形、正方形性质的综合运用：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质.应从 3个方面区分它们的性质：
(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有 .
(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有 ，而矩形和正方形还具有 .
(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有 ，而矩形和正方形的 ；菱形和正方形的对角线还具有 。
■易错提示
矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这一条件，即平行四边形+一个角是直角=矩形。
矩形是特殊的平行四边形，且是轴对称图形，它有两条对称轴，两组对边中点所在的直线就是它的对称轴。
3.矩形的定义既可作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用。
4.矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质；
5.矩形是对称轴图形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线；
6.由于矩形的四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决；
7.矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质。
8.对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形
9.菱形的判定方法是说明一个四边形是菱形的依据，应注意分清四种判定方法的区别
10.正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，因此正方形的两条对角线将正方形分成两种大小不同的八个等腰直角三角形，解决有关正方形的问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解。
11.正方形的对角线也互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算。
■考点一　矩形的判定及性质
◇典例1： （2023上·福建漳州·九年级漳州三中校联考期中）在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
◆变式训练
1．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如下图，四边形中，和是对角线．依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、与对角线交于点O，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
■考点二　菱形的判定及性质
◇典例2：（2023上·四川达州·九年级校考期中）如图所示，若，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
◆变式训练
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
2．（2023上·福建漳州·九年级漳州三中校联考期中）阅读以下作图步骤：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M；
（2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P；
（3）作射线，连接，，如图所示．
根据以上作图，不一定可以推得的结论是（ ）
A．平分 B．四边形为菱形
C． D．
■考点三　正方形的判定及性质
◇典例3：（2023上·四川达州·九年级校考期中）下列性质中正方形具有而矩形没有的（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角
◆变式训练
1．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长，与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ）

A． B．3 C． D．
2．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．有一个角为的平行四边形是矩形 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．平行四边形的对角线相等
1．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交于点、、下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在菱形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，交边AB于点E；②分别以点D和点E为圆心、大于线段DE长的一半为半径作圆弧，两弧交于点P；③作射线AP，交边CD于点F；④连结EF，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林长春·统考一模）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．
6．（2023·吉林长春·校考二模）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为 度．
7．（2023·吉林长春·校考一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图连结、，分别交、于点，已知，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．
8．（2023·吉林·统考一模）如图，，分别以A，B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为 ．
9．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
10．（2021·吉林·统考中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，直接写出的度数．
11．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．
【问题解决】
(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)的度数为________度，的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
1．（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·浙江丽水·八年级期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图所示，折叠矩形，使点A落在边的点E处，为折痕，已知，则的长（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·西藏日喀则·八年级校考期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
6．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．两组对角分别相等
7．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（ ）
A．3m B．6m C． D．
8．（2023下·广东广州·八年级校考期中）如图，菱形的周长为32，，，，垂足分别为E、F，连接，则的面积是（ ）
A．8 B． C． D．
9．（2023下·七年级课时练习）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ）
A．（-2018，3） B．（-2018，3）
C．（-2020，3） D．（-2020，-3）
10．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
11.（2023上·福建龙岩·九年级校联考阶段练习）如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（ ）．
A． B． C． D．+
12．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考阶段练习）如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则点到的距离为 .
14．（2024上·黑龙江佳木斯·九年级校考期末）已知矩形中，．点为上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，当点为线段的三等分点时，长为 ．
15．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）菱形的周长为，一条对角线长是，则菱形较小的内角为 度．
16．（2022上·安徽宿州·九年级校联考期末）如图，菱形的对角线，，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为 ．
17．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）如图，矩形（长方形）中，对角线的垂直平分线分别交于点O，E，F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，平行四边形的对角线、交于点，点、在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，，若，求四边形的面积．
19．（2023上·山东·九年级期末）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，正方形的边长为______（用含的代数式表示）．
(2)当点落在边上时，求的值．
(3)当点在边上时，求S与之间的函数关系式．
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第四章 三角形及四边形
第六节 特殊的平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 矩形的判定及性质 ☆☆ 吉林中考中，有关特殊的平行四边形部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握特殊的平行四边形的判定及相关证明等考点。
考点2 菱形的判定及性质 ☆☆
考点3 正方形的判定及性质 ☆☆
■考点一　矩形的判定及性质
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）边：对边平行且相等；
（2）角：四个角都是直角（90°）；
（3）对角线：对角线互相平分且相等；
（4）对称性：矩形是对称轴图形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线
3.矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
■考点二　菱形的判定及性质
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.性质
（1）菱形的四条边都相等.
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.判定定理
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（3）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
（4）四条边相等的四边形是菱形.
(5)菱形的面积：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高都分别是两条对角线的一半.利用三角形的面积公式可推得，菱形的面积等于它的对角线之积的一半.
■考点三　正方形的判定及性质
1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。
2.性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.
(1)边的性质：正方形的4条边都相等，对边平行.
(2)角的性质：正方形的4个角都是直角
(3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.正方形还有特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形.正方形是轴对称图形，有4条对称轴。
3.正方形的判定方法的应用
(1)一组邻边相等的矩形是正方形.
(2)有一个角是直角的菱形是正方形.
(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
规律判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
①先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等.
②先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角.
在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的.要熟悉各判定定理的联系和区别.解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键.
4.矩形、菱形、正方形性质的综合运用：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质.应从边、角、对角线3个方面区分它们的性质：
(1)从边的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有4条边相等的性质.
(2)从角的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有4个角都等于90°的性质.
(3)从对角线的角度：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形的对角线还具有相等的性质；菱形和正方形的对角线还具有互相垂直的性质。
■易错提示
矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这一条件，即平行四边形+一个角是直角=矩形。
矩形是特殊的平行四边形，且是轴对称图形，它有两条对称轴，两组对边中点所在的直线就是它的对称轴。
3.矩形的定义既可作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用。
4.矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质；
5.矩形是对称轴图形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线；
6.由于矩形的四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决；
7.矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质。
8.对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形
9.菱形的判定方法是说明一个四边形是菱形的依据，应注意分清四种判定方法的区别
10.正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，因此正方形的两条对角线将正方形分成两种大小不同的八个等腰直角三角形，解决有关正方形的问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解。
11.正方形的对角线也互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算。
■考点一　矩形的判定及性质
◇典例1： （2023上·福建漳州·九年级漳州三中校联考期中）在中，对角线相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当，即时，为矩形，
此时的长度为3．
故选：B．
◆变式训练
1．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如下图，四边形中，和是对角线．依据图中线段所标的长度，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．根据矩形的判定方法，分析每一个选项，只有选项符合题意，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
选项中，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
平行四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
选项中，
四边形的对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
选项中，
，
四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
选项中，
由已知条件可以得到，不能判定四边形是矩形，
故本选项符合题意；
故选：．
2．（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、与对角线交于点O，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】连接，先证，得到，得到 ，求得，根据直角三角形的性质，得到，从而得到．
【详解】连接，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
■考点二　菱形的判定及性质
◇典例2：（2023上·四川达州·九年级校考期中）如图所示，若，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．过点P作交于M，可得，再结合题目推出四边形为菱形，即可得，又由可得，由直角三角形性质即可．
【详解】解：如图：过点P作交于M，
∴
∴四边形为菱形，
∴
则，
又∵
∴．
故选：C
◆变式训练
1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理，菱形的判定；根据菱形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不正确，符合题意；
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D. 四条边相等的四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
2．（2023上·福建漳州·九年级漳州三中校联考期中）阅读以下作图步骤：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M；
（2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P；
（3）作射线，连接，，如图所示．
根据以上作图，不一定可以推得的结论是（ ）
A．平分 B．四边形为菱形
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的作图，菱形的判定与性质，掌握作角平分线的方法是解本题的关键；由作图可得，，再逐一分析可得答案．
【详解】解：由作图可得：，，
∴平分，四边形为菱形，
∴，
而不一定成立，
故A，B，D不符合题意；C符合题意；
故选C
■考点三　正方形的判定及性质
◇典例3：（2023上·四川达州·九年级校考期中）下列性质中正方形具有而矩形没有的（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟知正方形和矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：A、矩形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意；
B、矩形和正方形的对角线都相等，不符合题意；
C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，符合题意；
D、矩形和正方形的四个角都是直角，不符合题意；
故选C．
◆变式训练
1．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接，，，延长，与的平分线交于点F，连接，若，则正方形的边长为（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质；
连接，根据正方形的性质求出，证明，求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，即可得到正方形的边长．
【详解】解：如图，连接，

四边形是正方形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
平分，
，
，
在与中，
，
，
，
O为对角线的中点，
，
，
∴，即正方形的边长为3，
故选：B．
2．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．有一个角为的平行四边形是矩形 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．平行四边形的对角线相等
【答案】D
【分析】本题考查的是矩形，菱形的判定，正方形，平行四边形的性质，真假命题的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键，根据判定方法与性质逐一分析判断即可．
【详解】解：有一个角为的平行四边形是矩形，是真命题，故A不符合题意；
正方形的对角线互相垂直平分，真命题，故B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，真命题，故C不符合题意；
平行四边形的对角线不一定相等，故D符合题意；
故选D
1．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交于点、、下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据作图可得是的垂直平分线，设与的交点为O，根据三角形内角和定理即可判断C；根据等边对等角和三角形外角的性质即可判断B；，证明，得到，即可判断D；根据现有条件无法证明，即可判断A．
【详解】解：如图，设与的交点为O，
根据作图可得是的垂直平分线，
∴，
∴，，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故D不符合题意；
根据现有条件无法证明，故A符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在菱形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质可得出，由可得出，由，，可得四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形和四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴阴影部分的周长为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识点，运用了转化的思想．合理应用相关性质进行计算是解题的关键．
3．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，交边AB于点E；②分别以点D和点E为圆心、大于线段DE长的一半为半径作圆弧，两弧交于点P；③作射线AP，交边CD于点F；④连结EF，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图可判断，是的角平分线，结合平行四边形的性质可判断四边形是菱形，然后逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
根据作图可判断，是的角平分线，
，
同理可得，
，故A选项正确，
，
四边形是菱形，
而与不一定相等，故B选项不正确，
∴，故C选项正确，
，故D选项正确．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，基本作图作角平分线，平行四边形的性质，掌握基本作图是解题的关键．
4．（2022·吉林长春·统考一模）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF=BF， 进而求出AB的长.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A= 90°，AE= 1，∠AFE= 30°
∴EF= 2，AF=，
∵正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，
EF= BF，
BF= 2，
∴AB= AF+ BF=2+，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EF=BF，此题难度不大．
5．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ．
【答案】/2.5
【分析】由矩形的性质可得点F是OA的中点，从而EF是△AOD的中位线，则由三角形中位线定理即可求得EF的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5，
∵，
∴，即点F是OA的中点．
∵点是边的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握中位线定理是本题的关键．
6．（2023·吉林长春·校考二模）一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若，则的大小为 度．
【答案】48
【分析】如图，根据邻补角可知，然后根据直角三角形的两个锐角互余及同角的余角相等可进行求解．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为48．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角，熟练掌握直角三角形的性质、正方形的性质及邻补角是解题的关键．
7．（2023·吉林长春·校考一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，即赵爽弦图连结、，分别交、于点，已知，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．
【答案】//4.2
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
【详解】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题．
8．（2023·吉林·统考一模）如图，，分别以A，B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为 ．
【答案】24
【分析】根据画法得出四边形四边的关系进而得出四边形是菱形，由菱形的性质以及勾股定理求出对角线的长，代入菱形面积公式即可求解．
【详解】解：如图：连接，
∵分别以A和B为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于M、N，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴四边形的面积 ，
故答案为：24
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质和勾股定理等知识，得出四边形四边关系是解决问题的关键．
9．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；
（2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可．
【详解】（1）证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
（2）如图，在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解．
10．（2021·吉林·统考中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点．
（1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，直接写出的度数．
【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得；
（2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形；
（3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果．
【详解】解：（1）如图①，在中，，
∵是斜边上的中线，，
∴．
（2）四边形是菱形．
理由如下：
如图②∵于点，
∴，
∴；
由折叠得，，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图③，点与点在直线异侧，
∵，
∴；
由折叠得，，
∴；
如图④，点与点在直线同侧，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解．
11．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．
【问题解决】
(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)的度数为________度，的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)22.5°，
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；
（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，，．
∴．
∴．
由折叠得，，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
（2）由折叠得，∠
又∠
∴∠
由得，∠
∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
设则
∴
∴
∴
（3）如图，连接
∵
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作交AD于点R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
1．（2022下·河南信阳·八年级统考期末）如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到为等边三角形，根据直角三角形的性质，求出，利用勾股定理求出，由此求出答案．
【详解】解：根据题意得：
把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，
，，，，
，
，
在矩形中，，
，
在中，
，
为等边三角形，
，
在中，
，
，
，
，
矩形的面积为：．
故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
2．（2023下·浙江丽水·八年级期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质和中点性质可得，所以，由勾股定理可求的长，由面积法可求，的长，进而根据勾股定理可求解．
【详解】解：如图，连接于交于点，
点是的中点，
，
将沿折叠，
，
，
，
是直角三角形，
，，，
，
将沿折叠，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求的长是本题的关键．
3．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．矩形的对角线交于点O，，过点O作，交于点E，过点E作，垂足为F，则可求得的值．
【详解】解：∵，
∴矩形的面积为48，，
∴，
∵对角线交于点O，
∴的面积为12，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图所示，折叠矩形，使点A落在边的点E处，为折痕，已知，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】题目主要考查矩形及折叠的性质、勾股定理的应用，理解题意，结合图形，熟练运用勾股定理是解题关键．
根据矩形及折叠的性质可得，，在中，利用勾股定理得出，求解即可得．
【详解】解：∵四边形为矩形，且经过折叠，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：A．
5．（2023下·西藏日喀则·八年级校考期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【答案】C
【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，熟记矩形与菱形的对角线的性质是解本题的关键．矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，根据以上性质逐一分析即可．
【详解】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，
∴对角线互相垂直菱形具备，矩形不一定具有；故A不符合题意；
对角线互相平分矩形与菱形都有，故B不符合题意；
对角线相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合题意；
对角线平分一组对角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合题意；
故选：C．
6．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．两组对角分别相等
【答案】C
【分析】本题考查了菱形和矩形的相关性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．（1）菱形四边相等；
（2）菱形对角线相互垂直平分且平分一组对角；（3）菱形的对边平行、对角相等邻角互补；（4）菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据矩形及菱形的性质，逐一分析即可进
行解答．
【详解】解：A、菱形和矩形两组对边都分别平行，故A选项不符合题意；
B、菱形对角线不相等，故B选项不符合题意；
C、菱形对角线互相垂直，矩形对角线互相不垂直，故C选项符合题意；
D、菱形和矩形两组对角都分别相等，故D选项不符合题意．
故选：C．
7．（2023上·四川达州·九年级校考期末）如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（ ）
A．3m B．6m C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为，
∴，，
∵，
∴，
设交于点，
∴在中，，，
∴，
∴，
故选：．
8．（2023下·广东广州·八年级校考期中）如图，菱形的周长为32，，，，垂足分别为E、F，连接，则的面积是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用菱形的性质得到，，，则可判断和都为等边三角形，则根据等边三角形的性质得，，，，所以，根据含30度的直角三角形三边的关系可得，，于是可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解．
【详解】解：菱形的周长为32，
，
，
，，
和都为等边三角形，
，，
，，，，
，，，
∴为等边三角形，
的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积解决此题的关键是判断、和为等边三角形．
9．（2023下·七年级课时练习）如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（ ）
A．（-2018，3） B．（-2018，3）
C．（-2020，3） D．（-2020，-3）
【答案】D
【解析】略
10．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列判断正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记判定定理是关键．根据菱形，矩形，正方形的判定逐项判断即可．
【详解】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
对角线相等的菱形是正方形，故B正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C错误；
对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形，故D错误．
故选B．
11．（2023上·福建龙岩·九年级校联考阶段练习）如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（ ）．
A． B． C． D．+
【答案】D
【分析】本题主要考查了、三角形中位线定理、正方形的性质、三角形三边关系、勾股定理，延长至点，使，连接，，，由三角形中位线定理可得，由正方形的性质结合勾股定理可得，，由三角形三边关系可得，从而可得的最大值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，，，
，
点是的中点，，
是的中位线，
，
正方形、正方形的边长分别为4和1，
，，
，
的最大值为，
的最大值为，
故选：D．
12．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件．
故选：C．
13．（2023上·重庆江北·九年级重庆十八中校考阶段练习）如图，在矩形中，，将向内翻折，点A落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点B恰好落在上，记为，则点到的距离为 .
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，以及翻折的性质，求出是解题的关键．过点作于F，依据折叠可得对应角相等，从而有，利于直角三角形的性质可得，再利用三角函数求出的长．
【详解】解：过点作于F，
由第一次翻折知：，
由第二次翻折知：，
∴
∴，，
∴，
∴，
故答案为：
14．（2024上·黑龙江佳木斯·九年级校考期末）已知矩形中，．点为上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，当点为线段的三等分点时，长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．由矩形的性质先求解，可分两种情况：当时，，当时，，由折叠的性质及勾股定理可求解的长，再利用勾股定理可求解的长．
【详解】解：矩形中，，

∵点F为线段的三等分点，
∴或2，
当时，，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得
当时，，
由折叠可知：，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得
综上：长为．
故答案为：．
15．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）菱形的周长为，一条对角线长是，则菱形较小的内角为 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质及等边三角形的判定和性质的综合运用，先根据菱形的性质求出菱形的边长，然后根据对角线长为，可判断出菱形一个角的度数，继而可求得该菱形较大的内角度数．
【详解】菱形的周长为，
菱形的边长为：，
一条对角线的长是，
这条对角线跟相邻的两边组成的三角形为等边三角形，
则菱形的较小的内角为，
故答案为：．
16．（2022上·安徽宿州·九年级校联考期末）如图，菱形的对角线，，交于点，为的中点，若，则菱形的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理．根据菱形的性质可得为的中点，由为的中点可得为的中位线，从而可得，即可得到菱形的周长．
【详解】解：菱形的对角线交于点，
为的中点，
为的中点，
为的中位线，
，
，
，
菱形的周长为，
故答案为：16．
17．（2022上·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期末）如图，矩形（长方形）中，对角线的垂直平分线分别交于点O，E，F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查矩形的性质，线段的中垂线的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）证明，即可；
（2）连接，中垂线的性质，得到，勾股定理求的长即可．
掌握相关性质，证明，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）连接，则：，
∵矩形，
∴，
∵，
∴．
18．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，平行四边形的对角线、交于点，点、在上，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，，，若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟记平行四边形与菱形的判定方法是解本题的关键；
（1）利用平行四边形的性质证明，结合平行四边形的性质可得结论；
（2）先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质求解面积即可；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形，
∴菱形的面积为．
19．（2023上·山东·九年级期末）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点运动．过点作交折线于点，以为边在右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，正方形的边长为______（用含的代数式表示）．
(2)当点落在边上时，求的值．
(3)当点在边上时，求S与之间的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、重叠部分的面积等知识．
（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，可得；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：，即，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；
【详解】（1）解：∵，，
∴，且，
∴，
∴，
（2）解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积，
即，
当时，如图，正方形与重叠部分图形的面积为五边形的面积，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
而，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
综上所述，S与t之间的函数关系式为．
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