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第四章 三角形及四边形
第三节 全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的判定与性质 ☆☆ 吉林中考中，有全等三角形部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质、实际应用以及角的平分线的性质等考点。
考点2 全等三角形的实际应用 ☆☆☆
考点3 角的平分线的性质 ☆☆
■考点一　全等三角形的判定与性质
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形状相同，大小相等。
2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高）
文字语言 图形语言 符号语言
全等三角形的对应边相等，对应角相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’ ∠BAC=∠B’A’C’,∠B=∠B’,∠C=∠C’
全等三角形的周长相等， 面积相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴CΔABC=CΔA’B’C’ SΔABC=SΔA’B’C’
全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AM=AM’,AD=AD’,AH=AH’
3.全等三角形的判定方法
文字语言 图形语言 符号语言 简记
有三边对应相等的两个三角形全等 ∵AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SSS
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ∵AB=A’B’,∠B=∠B’,BC=B’C’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SAS
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ∵∠A=∠A’,AB=A’B’,∠B=∠B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ ASA
有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 ∵∠B=∠B’,∠C=∠C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ AAS
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 在RtΔABC和RtΔA’B’C’中 ∵AC=A’C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ HL
■考点二　全等三角形的实际应用
1.几何变换中的全等模型
（1）平移全等模型，如下图：
（2）翻折全等模型，如下图：
（3）旋转全等模型，如下图：
2.一线三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如图：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如图1，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD≌△ACE.
图1 图2 图3
（2）等边三角形中的手拉手全等模型
如图2，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如图3，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.
■考点三　角的平分线的性质
1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如图，因为点P在△AOB的平分线上，PC上OA于点C，PD⊥OB于点D，所以PC=PD。
2.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.如上图，因为PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以点P在∠AOB的平分线上。
■易错提示
1.全等三角形是平面几何的基本工具，是后续学习的基础，也是中考必考考点之一。掌握必要的常见全等模型是非常必要的，可以帮我们快速解决平面几何相关证明和计算问题。
2.全等三角形的基本知识虽然很重要，但是更重要的是要掌握常见的几何模型，比较重要的有平移全等型、翻折全等型、旋转全等型，这三个是基础型，其它的几个：一线三直角模型、一线三等角模型，其中一线三直角模型是一线三等角模型的特殊情况。几何模型切记不要死记硬背！理解这几种模型之间的关系，是灵活使用模型帮助我们解决问题的关键！
3.合理选择全等三角形的判定方法
（1）已知两边：①找夹角→SAS；②找第三边→SSS；③找直角→HL。
（2）已知两角：①找夹边→ASA；②找其中一个已知角的对边→AAS。
边为角的对边→找任一角→AAS
（3）已知一边一角
①边为角的对边：找任意一角→AAS；
②边为角的邻边：找夹角的另一边→SAS；找夹边的另一角→ASA；找边的对角→AAS。
■考点一　全等三角形的判定与性质
◇典例1：（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等及三角形内角和定理应用，根据全等三角形的对应角相等求出，进而计算即可解决．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，图中的两个三角形全等，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
【详解】解：由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为c、b的夹角对应相等，
∴，
故选：B．
2．（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知，，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由选项可根据全等三角形的判定定理进行排除．
【详解】解：∵，，
∴当添加时，可根据“”判定；
当添加时，可根据“”判定；
当添加时，不能判定，因为“”不是全等三角形的判定定理；
当添加时，则有，可根据“”判定；
故选C．
■考点二　全等三角形的实际应用
◇典例2：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图所示，，，，垂足分别为D、E，则图中的全等三角形共有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；
根据，结合已知证明，可得，然后证明，可得，设交于O，可证明，问题得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
如图，设交于O，
∵，，，
∴，
∴图中的全等三角形共有3对，
故选：C．
◆变式训练
1.（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级校考期中）如图，在中，，的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】在直角三角形中，由内角平分线和外角平分线可得，由此可证；根据三角形的三边关系可知错误；如图所示（见详解），过点作于，可证，，由此可知，．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵是的外角，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵点为中点，
∴，
在中，，三角形中，两边之和大于第三边，
∴，故②错误；
如图所示，过点作于，
∵，
∴，
点是中点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，为公共边，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
如图所示，过点作于，
由结论④可知，，，
∴，，，
在中，点是中点，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有①③④，共3个
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，内外角关系，三角形全等的判断，中线分两个三角形面积相等知识的综合应用，分析图形，根据条件找出三角形内角、外角的关系，直角三角形的全等，中线的性质是解题的关键．
2．（2022上·天津和平·八年级校考期中）如图，平分，于E，于D，与的交点为C，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质依次证明、、、即可，此题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握，即可解题.
【详解】∵平分，
∴，
又∵于E，于D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
综上可知，图中全等三角形共有4对，
故选：C.
■考点三　角的平分线的性质
◇典例3：（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图所示，点是内一点，平分于点，连接，若，，点到直线的距离是5，则可求得的度数是，其依据可从下列条件中选择：①角的平分线的定义；②角的平分线的性质；③角的平分线的判定；④点到直线的距离的定义；⑤两点之间，线段最短．则下列选择正确的是（ ）

A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】过点O作于点E，于点F，根据点到直线的距离得出，根据角平分线的性质得出，根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线的定义得出．
【详解】解：过点O作于点E，于点F，如图所示：

∵点到直线的距离是5，
∴，（点到直线的距离定义），
∵平分，，
∴，（角平分线的性质），
∴，
∵，，
∴平分（角平分线的判定），
∵，
∴．（角平分线的定义）；
综上分析可知，求得的度数是的依据有①②③④，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，点到直线的距离，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握角平分线的判定和性质．
◆变式训练
1．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下面说法正确的有（ ）个．
①二元一次方程有无数组解；②不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变；③三角形的外角大于任何一个内角；④两边和一个角分别相等的两个三角形一定全等；⑤到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程，不等式的除法运算，全等三角形的判定，三角形的外角的性质等知识以及角平分线性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【详解】①二元一次方程有无数组解，正确．
②不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变，正确．
③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故③错误．
④两边及其夹角分别相等的两个三角形一定全等，故④错误．
⑤到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．错误，这个点必须在这个角的内部，故⑤错误．
故选B．
2．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，过作交的延长线于，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握角平分线的性质定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，过作交的延长线于，
∵平分，，，
∴，
∴四边形的面积，
故选：．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
2．（2021·吉林长春·统考一模）如图，C是直线外一点，按下列步骤完成作图：（ ）
（1）以点C为圆心，作能与直线相交于D、E点的圆弧．
（2）分别以点D和点E为圆心，长为半径作圆弧，两弧交于点F，连结、．
（3）作直线交于点G．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】连接CD和CE，证明出，为等边三角形，依次进行判定即可．
【详解】连接CD和CE，
如图所示：
∵，
，
，
∴，
∴，
故③正确，
由题可知，，
故为等边三角形，，
故②错误，④正确，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故①正确，
故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形及三角形的性质，正确读懂题意是解题的关键．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
【答案】C
【分析】利用作一个角等于已知角的方法即可整理出作图步骤的顺序．
【详解】用尺规作图作一个角等于已知角的方法如下：
以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F，以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；作射线；则正确的作图步骤是②④③①．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的相关作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解此题的关键．
4．（2023·吉林长春·统考三模）如图，在中，，按下列方式作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，若．则的面积为（ ）

A．7 B．8 C．14 D．16
【答案】A
【分析】过点E作于H，由图可知是的平分线，利用角平分线的性质得，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作于H，如图，

由题中作图可知：是的平分线，
又∵，
∴，
∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形面积公式．熟练掌握尺规作角平分线和角平分线的性质是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·统考一模）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到和两边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得点M在的角平分线上，即可求解．
【详解】解：∵休息点M，到和两边的距离相等，
∴点M在的角平分线上，
只有B选项符合．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，尺规作图——作已知角的平分线，根据题意得到点M在的角平分线上是解题的关键．
6．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据作图得出BD平分∠ABC，由角平分线的性质得出DE=DC，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
根据作图可知，BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE=DC，
，
∴，
∴，
故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出DE的长度．
7．（2023.吉林中考真题）如图,在△ABC中, AB=AC ,分别以点和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两孤交于点D ,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110° , 则∠BAE的大小为 度.
[知识点]角平分线的有关计算,作角平分线
[答案] 55
[分析]首先根据题意得到AD是∠BAC的角平分线，进而得到∠BAE=∠CAE=55°.
[详解] :由作图可得，AD是∠BAC的角平分线
∠BAE=∠CAE=55°
故答案为: 55.
[点睛]此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点.
8.（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

【答案】证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
9．（2022·吉林·统考中考真题）如图，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质即可得．
【详解】证明：在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
10．（2022·吉林·三模）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】首先得出，再利用证明，即可得出答案．
【详解】证明：∵
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确利用全等三角形的判定定理进行解答是解题的关键．
11．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．
求证：．

【答案】见解析
【分析】根据，，得到，根据，得到，结合，则可根据判定．
【详解】证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
1．（2023上·广东东莞·八年级统考期中）已知图中的两个三角形全等，则等于( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，

和全等，，，
，，，
，
故选：B．
2．（2023上·吉林·八年级统考期中）如图，点D，E分别在，上，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质。
先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据“全等三角形对应角相等”即可得的度数。
熟练掌握三角形内角和定理和全等三角形的性质是解题的关键。
【详解】中，，
故选：C
3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据角的和差得到，再根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故选：A．
4．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，已知的面积为13，平分，且于点，则的面积是（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，延长交于D，利用证明得到，再根据三角形中线平分三角形面积即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于D，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选B．
5．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理进行判断作答即可．
【详解】解：，，则，故A不符合要求；
，，则，故B不符合要求；
，，无法使，故C符合要求；
，，则，故D不符合要求
故选：C．
6．（2023上·吉林白城·八年级校联考阶段练习）如图，已知，添加一个条件，可使用“”判定与D全等．以下给出的条件正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握是解题的关键．根据直角三角形全等的判定方法即可确定答案．
【详解】解∶ 在与中，已知，使用“”判定与D全等，则需要补充或．
故选：C．
7．（2023上·吉林·八年级统考期中） 如图，点，，，在同一条直线上，已知：，，下列条件中不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B、因为，所以，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
D、因为，所以，所以符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图的尺规作图是作（　　）
A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角
C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，根据作法解答即可．
【详解】解：由图形知，该尺规作图的步骤依次是：以点O为圆心，任意长为半径，交于点C，交于点D，
再分别以点C、D为圆心的长度为半径画弧，
则即为的平分线，
故选：D．
9．（2022上·辽宁大连·八年级统考期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形在实际生活中的应用，已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等．对于难以确定角平分线的情况，利用全等三角形中对应角相等，从而确定角平分线．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理：，，，，．
【详解】解：由题意得，，
在和中，
，
∴
∴
∴为的平分线．
故选：A．
10．（2023上·吉林·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，若，则的面积是（ ）

A．15 B．24 C．12 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案即可．
【详解】解：如图所示，过点作于，
是的角平分线，，，
，
．
故选：A．

11．（2023·湖南怀化·统考模拟预测）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．
B．
C． D．
【答案】B
【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案．
【详解】解：∵点P到点、的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
故选：B．
【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图．
12．（2023下·湖南株洲·八年级统考期末）的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）

A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【分析】根据角平分线性质得出当点在的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
【详解】解：∵当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据网格特点可知M点符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
13．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知≌，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则 ， ．
【答案】 20
【分析】考查“全等三角形对应边相等，对应角相等”，利用全等三角形对应边相等，对应角相等的性质即可解题，正确找出对应边，对应角是解决本题的关键．
【详解】在中， ，，
∴，
∵，点A与点D，点B与点E分别是对应顶点，
∴的对应角是，
∴，
∵
∴的对应边是为，
故答案为， 20．
14．（2024上·北京朝阳·八年级校考期中）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为 ．

【答案】/70度
【分析】本题考查全等三角形的性质，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
∵两个三角形全等，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．

15．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，，请添加一个适当的条件， ，使得．
【答案】（或或）
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，通过导角可知已有两组对角相等，因此根据或添加条件即可．
【详解】解：，
，，
，
在和中，，，满足两组对角相等，
若利用证明，需添加，
若利用证明，需添加或，
故答案为：（或或）．
16．（2023上·江苏连云港·八年级期末）如图，，垂足为点，点为上一点，，，，则图中长度为的线段还有 .
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明，即可推出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴图中长度为的线段还有，
故答案为：．
17．（2023上·青海果洛·八年级统考期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为 ．
【答案】60
【分析】本题主要考查作图—基本作图及角平分线的性质，作，由作图知平分，，据此得，再根据三角形的面积公式求解即可．解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．
【详解】解：如图，过点作于点．
由作图知平分，．
∴，
∵，
∴的面积．
故答案为：60．
18．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，，，，，．
(1)求的长．
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；三角形的内角和等于是解决问题的关键．
（1）由全等三角形的性质得，然后根据可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可求出的度数．
【详解】（1）解：，，
，
又，
；
（2），，，
，，
．
19．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，四边形中，，，于点E，．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题得以证明．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
20．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在四边形中，平分，，点E，F分别在，上，．求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接，根据角平分线的性质得到，再证明得到，再根据线段之间的关系即可证明结论．
【详解】证明：∵平分，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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第四章 三角形及四边形
第三节 全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的判定与性质 ☆☆ 吉林中考中，有全等三角形部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质、实际应用以及角的平分线的性质等考点。
考点2 全等三角形的实际应用 ☆☆☆
考点3 角的平分线的性质 ☆☆
■考点一　全等三角形的判定与性质
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做 。完全重合即形状 ，大小 。
2.全等三角形的性质：（下表图中AM,AM’为中线，AD,AD’为角平分线，AH,AH’为高）
文字语言 图形语言 符号语言
全等三角形的对应边相等，对应角相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’ ∠BAC=∠B’A’C’,∠B=∠B’,∠C=∠C’
全等三角形的周长相等， 面积相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴CΔABC=CΔA’B’C’ SΔABC=SΔA’B’C’
全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AM=AM’,AD=AD’,AH=AH’
3.全等三角形的判定方法
文字语言 图形语言 符号语言 简记
的两个三角形全等 ∵AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SSS
的两个三角形全等 ∵AB=A’B’,∠B=∠B’,BC=B’C’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SAS
的两个三角形全等． ∵∠A=∠A’,AB=A’B’,∠B=∠B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ ASA
等的两个三角形全等 ∵∠B=∠B’,∠C=∠C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ AAS
的两个直角三角形全等 在RtΔABC和RtΔA’B’C’中 ∵AC=A’C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ HL
■考点二　全等三角形的实际应用
1.几何变换中的全等模型
（1）平移全等模型，如下图：
（2）翻折全等模型，如下图：
（3）旋转全等模型，如下图：
2.一线三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如图：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如图1，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD≌△ACE.
图1 图2 图3
（2）等边三角形中的手拉手全等模型
如图2，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如图3，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则 .
■考点三　角的平分线的性质
1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的 .如图，因为点P在△AOB的平分线上，PC上OA于点C，PD⊥OB于点D，所以 。
2.角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在 .如上图，因为PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以点P在∠AOB的 。
■易错提示
1.全等三角形是平面几何的基本工具，是后续学习的基础，也是中考必考考点之一。掌握必要的常见全等模型是非常必要的，可以帮我们快速解决平面几何相关证明和计算问题。
2.全等三角形的基本知识虽然很重要，但是更重要的是要掌握常见的几何模型，比较重要的有平移全等型、翻折全等型、旋转全等型，这三个是基础型，其它的几个：一线三直角模型、一线三等角模型，其中一线三直角模型是一线三等角模型的特殊情况。几何模型切记不要死记硬背！理解这几种模型之间的关系，是灵活使用模型帮助我们解决问题的关键！
3.合理选择全等三角形的判定方法
（1）已知两边：①找夹角→SAS；②找第三边→SSS；③找直角→HL。
（2）已知两角：①找夹边→ASA；②找其中一个已知角的对边→AAS。
边为角的对边→找任一角→AAS
（3）已知一边一角
①边为角的对边：找任意一角→AAS；
②边为角的邻边：找夹角的另一边→SAS；找夹边的另一角→ASA；找边的对角→AAS。
■考点一　全等三角形的判定与性质
◇典例1：（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图，图中的两个三角形全等，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，已知，，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　全等三角形的实际应用
◇典例2：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图所示，，，，垂足分别为D、E，则图中的全等三角形共有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
◆变式训练
1.（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级校考期中）如图，在中，，的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2022上·天津和平·八年级校考期中）如图，平分，于E，于D，与的交点为C，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
■考点三　角的平分线的性质
◇典例3：（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）如图所示，点是内一点，平分于点，连接，若，，点到直线的距离是5，则可求得的度数是，其依据可从下列条件中选择：①角的平分线的定义；②角的平分线的性质；③角的平分线的判定；④点到直线的距离的定义；⑤两点之间，线段最短．则下列选择正确的是（ ）

A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
◆变式训练
1．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）下面说法正确的有（ ）个．
①二元一次方程有无数组解；②不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变；③三角形的外角大于任何一个内角；④两边和一个角分别相等的两个三角形一定全等；⑤到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
2．（2021·吉林长春·统考一模）如图，C是直线外一点，按下列步骤完成作图：（ ）
（1）以点C为圆心，作能与直线相交于D、E点的圆弧．
（2）分别以点D和点E为圆心，长为半径作圆弧，两弧交于点F，连结、．
（3）作直线交于点G．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①④
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
4．（2023·吉林长春·统考三模）如图，在中，，按下列方式作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，若．则的面积为（ ）

A．7 B．8 C．14 D．16
5．（2023·吉林长春·统考一模）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到和两边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023.吉林中考真题）如图,在△ABC中, AB=AC ,分别以点和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两孤交于点D ,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110° , 则∠BAE的大小为 度.
8.（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．

9．（2022·吉林·统考中考真题）如图，，．求证：．
10．（2022·吉林·三模）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，求证：．
11．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，．
求证：．

1．（2023上·广东东莞·八年级统考期中）已知图中的两个三角形全等，则等于( )

A． B． C． D．
2．（2023上·吉林·八年级统考期中）如图，点D，E分别在，上，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，已知的面积为13，平分，且于点，则的面积是（ ）
A． B． C．6 D．7
5．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023上·吉林白城·八年级校联考阶段练习）如图，已知，添加一个条件，可使用“”判定与D全等．以下给出的条件正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·吉林·八年级统考期中） 如图，点，，，在同一条直线上，已知：，，下列条件中不能判定的是
A． B． C． D．
8．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图的尺规作图是作（　　）
A．线段的垂直平分线 B．一个角等于已知角
C．一条直线的平行线 D．一个角的平分线
9．（2022上·辽宁大连·八年级统考期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动角尺，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
10．（2023上·吉林·八年级校考期中）如图，在中，是的平分线，若，则的面积是（ ）

A．15 B．24 C．12 D．10

11．（2023·湖南怀化·统考模拟预测）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A. B．
C． D．
12．（2023下·湖南株洲·八年级统考期末）的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）

M点 B．N点 C．P点 D．Q点
13．（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知≌，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则 ， ．
14．（2024上·北京朝阳·八年级校考期中）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为 ．

15．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，，请添加一个适当的条件， ，使得．
16．（2023上·江苏连云港·八年级期末）如图，，垂足为点，点为上一点，，，，则图中长度为的线段还有 .
17．（2023上·青海果洛·八年级统考期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为 ．
18．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，，，，，．
(1)求的长．
(2)求的度数．
19．（2023上·吉林松原·八年级校联考期末）如图，四边形中，，，于点E，．求证：平分．
20．（2024上·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在四边形中，平分，，点E，F分别在，上，．求证：．
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