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第04讲 认识三角形
1.三角形的分类
（1）按角分：
三角形
2.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和 第三边; 三角形任意两边之差 第三边.
注：
（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否 最长边.
（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值 第三边 两边之和.
3.三角形的三条主要线段
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的 。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的 .
（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的 ，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的 .
（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的 ，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的 .
4.三角形的角
（1）三角形的内角和为 .
(2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的 .
注：（1）直角三角形的两个锐角 ；
（2）三角形的一个外角 与它不相邻的两内角和；
（3）三角形的一个外角 任意一个不相邻的内角.
考点剖析
（三角形的分类）
例1：一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
变式1-1：在中，若，则的形状是 ．（填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”）
变式1-2：如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线；
(3)的面积为______，的面积为_____．
（三角形稳定性与四边形的不稳定性）
例2：下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C． D．
变式2-1：如图，为了使木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的 ．
变式2-2：为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？

（三边关系）
例3：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm
C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm
变式3-1：若a、 b、 c为的三条边长， 化简 = ．
变式3-2：在中，，．
(1)求的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长为多少？
（三角形的高）
例4：在中，，则边上的高的长度是（ ）．
A．5 B． C． D．
变式4-1：如图，在中，，，，，P是到三边距离相等的点，则点P到三边的距离为 ．
变式4-2：数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
图1 图2 图3
(1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．
（三角形的中线）
例5：若是的中线，已知比的周长大，则与的差为 （ ）
A． B． C． D．
变式5-1：如图，在中，是中线的中点．若的面积是3，则的面积是 ．

变式5-2：阅读理解：已知三角形的中线具有等分三角形面积的性质，即如图①，是中边上的中线，则，理由：，即：等底同高的三角形面积相等．
回答下列问题：
(1)如图②，点分别是的中点，且，则图②中阴影部分的面积为________；
(2)如图③，已知四边形的面积是分别是的中点，点是四边形内一点，求出图中阴影部分的面积．
（三角形的角平分线）
例6：如图，在中，，是的角平分线，则（ ）

A． B． C． D．
变式6-1：如图，中，是上的高，平分，，，则 度．
变式6-2：如图，在中，点在上，点在上，交于点．已知交于点，平分，交于点．

(1)求的度数．
(2)若，，求的度数．
（三角形的内角和）
例7：一个缺角的三角形残片如图所示，量得，，则这个三角形残缺前的的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式7-1：如图，将沿着对折，点A落到处，若，则 度．
变式7-2：已知中，平分，点P在射线上．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，，求的度数；
(3)若，，直线与的一条边垂直，求的度数．
（三角形的外角）
例8：如图所示平面图形，若，则（ ）

A． B． C． D．
变式8-1：如图，是的外角，与的平分线交于点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，…，与的平分线交于点，若，则的度数为 °．（用含的式子表示）
变式8-2：（1）如图1，在中，的平分线与高线交于点F，则与的数量关系______．

（2）如图2，在中，，是高，的外角．的平分线交的延长线于F，其反向延长线与的延长线交于点E，试探究与的数量关系，并说明理由．
过关检测
选择题（共6题，每题4分）
1．将一副三角板按如图所示放置，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．现有长度分别为6，8的两条线段，不能与这两条线段组成三角形的线段的长度是（　　）
A．1 B．5 C．9 D．13
3．如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A．B．C．D．
4．一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，在中，已知点，，分别是，的中点，且的面积是3，则的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
6．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题（共8题，每题4分）
7．如图，木工师傅做门框时，在门上斜着钉两条木板，这样做的数学原理是 ．
8．一个三角形的三边长分别为4、8、x，那么x的取值范围是 ．
9．已知的三边长分别是1，2，a，化简 ．
10．如图，，，，则 ， ．

11．如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ．
12．如图，的度数为 ．
13．若a，b，c为的三边，化简： ．
14．已知（如图）在四边形中，，．点E是延长线上的一点，连接，的平分线与的平分线相交于点P．与，分别相交于点F，Q．平分，，．则 ．
解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）
15．如图，．求的度数．
16．如图，在中，，垂足分别为，若，，求：

(1)的面积；
(2)的长．
17．如图，在中，于平分．
(1)若，求的度数
(2)若，求的度数
18．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”
例如：在中，如果，为“开心三角形”
问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接
(1)如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？
(2)若是“开心三角形”，直接写出的度数
19．【初步认识】
（1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系；
【拓展应用】
（3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
答案与解析
1.三角形的分类
（1）按角分：
三角形
2.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边.
注：
（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.
（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
3.三角形的三条主要线段
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.
（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.
（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.
4.三角形的角
（1）三角形的内角和为180°.
(2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
注：（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和；
（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.
考点剖析
（三角形的分类）
例1：一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】此题根据三角形的内角和是，求出最大的那个角的度数即可解决问题．
【详解】解：∵最大的那个角是，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
变式1-1：在中，若，则的形状是 ．（填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”）
【答案】直角三角形
【分析】本题考查了三角形角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出各角度．
【详解】解：，
，，，
的形状是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
变式1-2：如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线；
(3)的面积为______，的面积为_____．
【答案】(1)C
(2)作图见解析
(3)12，6
【分析】（1）根据给定的三角形，结合三角形在格点的位置，得出为直角，进而可得答案；
（2）根据为线段的中点，为的平分线，结合格点确定的位置，然后作图即可；
（3）割补法求的面积，根据，求的面积即可．
【详解】（1）解：由格点可知，，
∴是直角三角形，
故选：C；
（2）解：∵为线段的中点，作图如下，
由（1）可知，为的平分线，作图如下：
（3）解：由题意知，
∴，
故答案为：12，6．
【点睛】本题考查了中线，角平分线，三角形与格点等知识．熟练掌握知识并灵活运用是解题的关键．
（三角形稳定性与四边形的不稳定性）
例2：下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，即可对图形进行判断．
【详解】解：A、对角线两侧是三角形，具有稳定性，符合题意；
B、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，不符合题意；
C、中间竖线的两侧是四边形，不具有稳定性，不符合题意；
D、上部分是三角形具有稳定性，下部分是四边形不具有稳定性，不符合题意；
故选A．
变式2-1：如图，为了使木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的 ．
【答案】稳定性
【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形具有稳定性，根据三角形的稳定性求解即可．
【详解】解：在木门上加钉了一根木条，把一个四边形分成了两个三角形，
这样做的道理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定性．
变式2-2：为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？

【答案】见解析
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形，
因为三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键．
（三边关系）
例3：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm
C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm
【答案】B
【分析】本题考查了三边关系的应用．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边；两边之差小于第三边”进行判断即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能组成三角形，故本选项符合题意；
C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
变式3-1：若a、 b、 c为的三条边长， 化简 = ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简绝对值，三角形的三边关系，先根据三角形三边关系确定，，再去掉绝对值，然后计算即可．
【详解】根据题意可知，，
∴．
故答案为：．
变式3-2：在中，，．
(1)求的取值范围；
(2)若的周长为偶数，求的周长为多少？
【答案】(1)
(2)16
【分析】本题考查了三角形的三边关系，
（1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可；
（2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）∵，，
∴，
即；
（2）∵，设的周长为x，
∴，即，
∵的周长为偶数，
∴其周长为16．
（三角形的高）
例4：在中，，则边上的高的长度是（ ）．
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形的高．过点作于点，根据三角形的面积公式求得即可．
【详解】解：过点作于点，

，
，
，
故边上的高长为．
故选：C．
变式4-1：如图，在中，，，，，P是到三边距离相等的点，则点P到三边的距离为 ．
【答案】/3厘米
【分析】本题考查了点到直线的距离，一元一次方程的应用，三角形面积．连接、、，设，由列方程求解，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接、、，
设，
，
，
，
解得：，
即点P到三边的距离为，
故答案为：
变式4-2：数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
图1 图2 图3
(1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据、、、即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理求出即可求解．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴．
（三角形的中线）
例5：若是的中线，已知比的周长大，则与的差为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的中线定理，根据中线定理得出，再根据周长定义即可求得结果．
【详解】解：如下图：
∵是的中线，
∴
∵比的周长大
∴．
故选∶B．
变式5-1：如图，在中，是中线的中点．若的面积是3，则的面积是 ．

【答案】12
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
根据的面积等于的面积，的面积等于的面积计算出各部分三角形的面积，最后即可算出的面积．
【详解】解：是边上的中线，E为的中点，
根据等底同高可知，，，
∴，
故答案为：12．
变式5-2：阅读理解：已知三角形的中线具有等分三角形面积的性质，即如图①，是中边上的中线，则，理由：，即：等底同高的三角形面积相等．
回答下列问题：
(1)如图②，点分别是的中点，且，则图②中阴影部分的面积为________；
(2)如图③，已知四边形的面积是分别是的中点，点是四边形内一点，求出图中阴影部分的面积．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本题主要考查了中线与三角形的面积关系应用：
（1）根据等底同高的三角形面积相等，可知道，阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，于是得到结果．
（2）连接，根据等底同高的三角形面积相等，可求出结果．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：12；
（2）连接，
∵是边的中点，
∴，
同理，
∴图中阴影部分的面积四边形的面积．
（三角形的角平分线）
例6：如图，在中，，是的角平分线，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键．
【详解】∵在中，，是的角平分线，
∴．
故选：B．
变式6-1：如图，中，是上的高，平分，，，则 度．
【答案】10
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求解，最后利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：在中，，
，
平分，
，
在中，，，
，
，
．
故答案为：10．
变式6-2：如图，在中，点在上，点在上，交于点．已知交于点，平分，交于点．

(1)求的度数．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握各性质，理清角之间的关系是解此题的关键．
（1）由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，最后由平行线的性质即可得到答案；
（2）根据三角形的外角的定义及性质结合得出，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
（三角形的内角和）
例7：一个缺角的三角形残片如图所示，量得，，则这个三角形残缺前的的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和等于即可得出．
【详解】解：如图：
∵，，，
∴，
故选：C．
变式7-1：如图，将沿着对折，点A落到处，若，则 度．

【答案】41
【分析】本题考查了折叠的性质、平角定义和三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解答的关键．先根据折叠性质可求得，，再和平角性质可求得根据平角定义和已知可求得，然后利用三角形的内角和定理即可求得的度数．
【详解】解：∵将沿着对折，A落到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
变式7-2：已知中，平分，点P在射线上．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，，求的度数；
(3)若，，直线与的一条边垂直，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理、外角的性质：
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）根据三角形的外角性质得：，可得结论；
（3）直线与的一条边垂直，分三种情况：分别和三边垂直，根据三角内角和列式可得结论．
【详解】（1）∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）设，则，
中，，
，
∴，
中，，
∴，
∴；
（3）①当时，如图3，则，
∵，
∴；
②当时，如图4，则，
中，；
③当时，延长交直线于G，如图5，则，
∵，
∴
中，；
综上，的度数为或或．
（三角形的外角）
例8：如图所示平面图形，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，最后利用三角形外角的性质求解即可．解题的关键是掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”．
【详解】如图所示，

∵
∴
∵，
∴
∴．
故选：C．
变式8-1：如图，是的外角，与的平分线交于点，与的平分线交于点，与的平分线交于点，…，与的平分线交于点，若，则的度数为 °．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可．此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理可得：，
…，
∴，
故答案为：．
变式8-2：（1）如图1，在中，的平分线与高线交于点F，则与的数量关系______．

（2）如图2，在中，，是高，的外角．的平分线交的延长线于F，其反向延长线与的延长线交于点E，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键．
（1）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论；
（2）设，先求解，结合角平分线可得，再由高的定义得出，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：（1）解：，是高，
，，
，
是角平分线，
，
，，
．
故答案为：；
（2），理由如下：
设，
∵，
，
为的角平分线，
，
为边上的高，
，
，
又，，
．
∴．
过关检测
选择题（共6题，每题4分）
1．将一副三角板按如图所示放置，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键.利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数.
【详解】解：根据题意得：
.
故选：B.
2．现有长度分别为6，8的两条线段，不能与这两条线段组成三角形的线段的长度是（　　）
A．1 B．5 C．9 D．13
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是熟记三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，根据三角形三边关系进行判断即可得出答案．
【详解】解：有两条线段长分别为6和8，，，
第三边，
只有1不能与这两条线段组成三角形，
故选：A．
3．如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．利用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：根据三角形高的定义，可得D选项中，线段是的高,
故选：D
4．一个等腰三角形，一个角的度数是另一个角度数的，这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设顶角度数为，分两种情况讨论：①若底角度数是顶角度数的；②若顶角度数是底角度数的，分别列方程求解即可．
【详解】解：设顶角度数为，
①若底角度数是顶角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
②若顶角度数是底角度数的，则底角度数为，
则，
解得：；
即这个等腰三角形顶角的度数是或，
故选：D．
5．如图，在中，已知点，，分别是，的中点，且的面积是3，则的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形中线平分三角形面积的性质，根据性质即可解题．
【详解】解：是的中点，
，
是中点，
，，
，
，
是中点，
，
是中点，
，
，
的面积的面积．
故选：B．
6．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可．
【详解】∵平分
∴
∵，
∴
∴
∴，故①正确；
∵
∴，
∵平分，
∴，②正确；
∵，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，③正确；
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∵，
∴
∴，⑤正确；
∵
∴
∵，
∴即，④正确；
正确的个数为5
故选：D
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，主要考查了学生的推理能力，有一定难度．
填空题（共8题，每题4分）
7．如图，木工师傅做门框时，在门上斜着钉两条木板，这样做的数学原理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，这样做根据的数学道理三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
8．一个三角形的三边长分别为4、8、x，那么x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为4、8、x，
∴，
即，
故答案为：．
9．已知的三边长分别是1，2，a，化简 ．
【答案】4
【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出a的取值范围是解题关键．
利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为的三边长分别为1，2，a，
所以．
解得．
∴，，
∴．
故答案为：4．
10．如图，，，，则 ， ．

【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外角的定义根性质，根据，，问题即可得解．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，，
∴；
∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，．
11．如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，
,
,
，
故答案为：1．
12．如图，的度数为 ．
【答案】/180度
【分析】本题考查了三角形外角性质，平角的定义，根据，计算即可．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
13．若a，b，c为的三边，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，绝对值化简，合并同类项，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，以及合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减；根据三角形三边之间的关系得出，则，再化简绝对值，最后合并同类项即可．
【详解】解：∵a，b，c为的三边，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
14．已知（如图）在四边形中，，．点E是延长线上的一点，连接，的平分线与的平分线相交于点P．与，分别相交于点F，Q．平分，，．则 ．
【答案】
【分析】利用平行线的性质证明，即有，设，即，根据角平分线的定义可得，，根据，，可得，进而有，即可得，再根据，可得，问题得解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，即，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义以及一元一次方程的应用等知识，耐心仔细地理清图中各角度之间的关系是解答本题的关键．
解答题（共5题，前三题每题8分，后两题每题10分）
15．如图，．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了垂直的定义以及三角形内角和定理的应用，分别求出即可求解．
【详解】解：
．
16．如图，在中，，垂足分别为，若，，求：

(1)的面积；
(2)的长．
【答案】(1)70
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可；
（2）根据已知三角形的面积和底边即可求解．
【详解】（1）解：，，，
；
（2）解：，，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形面积的公式的应用，熟练掌握面积公式是解题关键．
17．如图，在中，于平分．
(1)若，求的度数
(2)若，求的度数
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，解答本题的关键在于熟练掌握角平分线的性质及三角形的内角和定理，运用已知条件和三角形的内角和定理表示出，本题即可求解．
【详解】（1）解：，
；
又平分，
；
又，
，
．
（2）设
；
又平分，
，
又，
，
．
18．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”
例如：在中，如果，为“开心三角形”
问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接
(1)如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？
(2)若是“开心三角形”，直接写出的度数
【答案】(1)是“开心三角形”，理由见解析
(2)或或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键．
（1）利用直角三角形的性质和三角形内角和定理求得，再利用“开心三角形”的定义解答即可；
（2）利用分类讨论的方法，根据“开心三角形”的定义解答即可．
【详解】（1）解：是“开心三角形”，
理由如下：
，
，
，
，
在中，，
，
为开心三角形”，
在中，，
，
为开心三角形”；
（2）解：若是“开心三角形”，由于点是线段上一点（不与，重合），
则或或，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，的度数为或或．
19．【初步认识】
（1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系；
【拓展应用】
（3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
【答案】（1），；（2）；（3）或或
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可；
（2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可；
（3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分，
∴，
∵，
∴；
如图②，∵平分，平分外角，
∴，
∵，，
∴，
整理得，，
故答案为：；．
（2）解：∵平分外角，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意知，，，，
∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解：
①当时，；
②当时，，则；
③当时，，解得，；
④当时，，解得，；
综上所述，的度数为或或．

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