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南阳市重点中学2023-2024学年高三上学期期末考试 数学
一、单选题
1．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等比数列且各项均不为0，向量，且，则（ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
4．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
则在被调查的用户中，月用电量的第71百分位数为（ ）
A．205 B．215 C．225 D．235
5．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.已知等差数列的首项为2，且公差不为0，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．平面平面ABN
C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给出下列四个命题，其中正确的选项有（ ）
A．在中，，则直线通过的内心.
B．在中，点为其外心，，若，则.
C．若单位向量的夹角为，则当取最小值时.
D．若为锐角，则实数的取值范围是.
10．在正方体中，分别为的中点，点满足，，则（ ）
A．平面 B．三棱锥的体积与点的位置有关
C．的最小值为 D．当时，平面截正方体的截面形状为五边形
11．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆: 中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为（ ）
A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为
B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为
C．若上任意一点都满足，则
D．若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
12．已知有三个不相等的零点，，，且，则下列命题正确的是（ ）
A．存在实数，使得 B． C． D．为定值
三、填空题
13．的展开式中的系数为 .（用数字作答）
14．已知函数，若，使得，且的最小值为，则的值为 ；再将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于直线对称，则在区间上的最小值为 ．
15．已知是圆上一点，过点作垂直于轴的直线，垂足为，点满足.若点，，则的取值范围是 .
16．若存在单调递减区间，则正数的取值范围是 .
四、解答题
17．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝以上为“常喝”，体重超过为“肥胖”．
常喝 不常喝 合计
肥胖 2
不肥胖 18
合计 30
已知在全部人中随机抽取人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关 请说明你的理由；
（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
附：
18．已知正项数列的前n项和为，；数列是递增的等比数列，公比为q，且，的等差中项为10，，的等比中项为8．
(1)求，的通项公式；
(2)设，为的前n项和，若能成立，求实数的最大值．
19．如图，三棱柱中，，，，点满足.
(1)求证：平面平面.
(2)若，是否存在，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．在锐角中，的对应边分别是，且．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
21．设函数.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设有两个极值点，且，求证：
22．已知点在双曲线上.
(1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值：
(2)已知点，过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足，证明：点恒在一条定直线上.
参考答案：
1．A 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D设等差数列的公差，则，
∴．
又数列为“吉祥数列”，∴为常数，
不妨设，
则得，
则，解得：，
∴.
7．D因为平面ABCD，平面ABCD，则，
取的中点，连接，如图，点G为MC的中点，
则，且，于是四边形是平行四边形，
，在正方形中，，则，
因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点，
有，所以，A正确；
因为，平面，平面，则平面，
又，平面，平面，则平面，
而平面，所以平面平面ABN，B正确；
取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形，
因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；
显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.
8．D 因为，所以，显然.
令，则，，
若，且，
则，
所以在上递减，则，即，
综上，.
9．ABC解：对于选项，由题知，，
设，则，
因为，
所以平分，即平分，
所以直线通过的内心，故A正确；
对于选项，设外接圆的半径是，
由得，
则 ，
即，化简得.
设，则在等腰三角形中，易得，所以,故B正确；
对于选项C，因为，故取最小值时,故C正确；
对于选项D，因为
.又为锐角，所以，即.
又当与同向共线时，.
故当为锐角时，的取值范围是且,故D不正确.
10．AD A选项，以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
，
，
所以，，
又，平面，平面，
所以平面，故A正确；
B选项，因为在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，因此，
又平面，平面，所以平面，
因此棱上的所有点到平面的距离都相等，又是棱上的动点，
所以三棱锥的体积始终为定值，故B错；
C选项，，，，因为，，所以，
所以，
，
又，
当时，有最小值，最小值为，故C错误；
D选项，连接，取中点为，当与交点为点时，平面截正方体截面图形为四边形，如图1，
此时，，，，此时，
当时，如图2，截面为五边形EBFKL，故D正确；
11．BD
由离心率且得：，的蒙日圆方程为：，
对于选项A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离都为，到椭圆上任意一点的距离最大值为，
所以上任意一点与的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，选项A错误；
对于选项B，由蒙日圆的定义可知：直线与蒙日圆：相切，
则圆心到直线的距离为，所以，
则的方程为：，选项B正确；
对于选项C，由蒙日圆的定义可知：点应在蒙日圆外，所以直线与蒙日圆：相离，
则圆心到直线的距离为，所以，选项C错误；
对于选项D，椭圆的方程为：，蒙日圆方程为：，
设，则，设，，
则，，
将代入方程中，则，，
所以直线的方程为，
将直线的方程与椭圆的方程联立：，
得：，
所以，，所以 ，
又因为原点到的距离为 ，
所以 ，设，
则 ，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以选项D正确.
12．BCD由方程，可得．
令，则有，即．
令函数，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，
且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且或，
令，
若，则，故.
若，则，无解，
综上，故C正确；
由图结合单调性可知，故B正确；
若，则，又，故A不正确；
，故D正确.

13．的展开式中要产生可能是1个，1个，3个或1个，2个，2个，
故展开式中含项为，
即展开式中的系数为.
14.2 因为的最大值和最小值分别为和，
又，所以，中一个为最大值，一个为最小值，
因为的最小值为，所以的最小正周期满足，
所以，故.
将的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，
由题意可知，直线是图象的一条对称轴，
所以，，所以，，
又，令，则，所以.
因为，所以，
所以在区间上为减函数，
故最小值为.
15．由题意设，所以，因为，所以.

将点带入圆，则点满足椭圆的方程.
所以
，
又，即，
当时，最大，最小且为；
当或时，最小，最大且为，
即，即，
所以的取值范围为.
16． 因为，则，其中，
因为存在单调递减区间，则存在，使得，即，
即，即有解，
构造函数，则，所以，函数在上单调递增，
由得，
因此，不等式转化为，即有解，
记，，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以， ，因此.
17．（1）设全部30人中的肥胖学生共名,则,解得.∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名.列联表如下:
常喝 不常喝 合计
肥胖 6 2 8
不肥胖 4 18 22
合计 10 20 30
（2）有;
理由:由已知数据可求得,因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.
（3）根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为,女生为,则任取两人, 可能的结果有 共15种,其中一男一女有, 共8种.故正好抽到一男一女的概率为
18．（1）由可得，
当时，，两式相减得，
∴，
即．∵，
∴（），
即可得是等差数列．
由，得，∴，
即．
由题意得，即，解得或．
∵是递增的等比数列，
∴，所以，得，
∴．
所以和的通项公式为，．
（2）由（1）得：
．
能成立，等价于能成立，
化简得能成立，即．
设，则
，
∴是递减数列，故的最大值为．
∴，
因此的最大值为．
19．（1）连接. 在三棱柱中，，
四边形为菱形，.
，，平面，平面，
平面.又平面，
.
又，，平面，平面，
平面.又平面，
平面平面.
（2）假设存在，使二面角的平面角的余弦值为，此时.
在平面内，过点作交于点.
平面平面，平面平面，平面
平面.
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设.
，
.
则，，，.
所以，，.
点满足
，
则.
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
平面.
平面的一个法向量为.
二面角的平面角的余弦值为.
，
解得：或.
，
.
故当时，二面角的平面角的余弦值为.
20．（1），
由，故，
由，
故，
则，
由为锐角三角形，故，即，
则有，，，
可得，故，即；
（2）由，，
则
，
由（1）知，故，
故，即.
21．（1）的定义域为，由，得，
令，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
（2）由题意知，故，
令，则，当，即时，，
此时在上单调递增，不存在极值点.
当，即或时，
若，则恒成立，在上单调递增，此时不存在极值点.
若，则方程的两根为，
则或时，，
此时在上均单调递增；
时，，
此时在上单调递减，
此时函数存在两个极值点；又，，则，
故
，
令，
则，
，
则当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则，
故.
22．（1）证明：将点代入双曲线，可得，解得，
所以双曲线的方程为，
设点的坐标为且，则，即，
又由双曲线的两条渐近线分别为，
所以点到两渐近线的距离分别为，
则，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值.
（2）解：设，则，
设点的坐标为，由，可得，
整理得，
代入得，解得，
将代入，解得，
则，所以点恒在一条定直线上.

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