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第一单元 四则运算
2.乘、除法的意义和各部分间的关系
知识点一 乘、除法的意义和各部分间的关系
（见课本第5页例题2）
（1）每个花瓶里插3枝花，4个花瓶一共插了多少枝花？
（2）有12枝花，每3枝插一瓶，可以插几瓶？
（3）有12枝花，平均插到4个花瓶里，每个花瓶插几枝？
【讲解过程】
1.解决问题（1）。
（1）理解题意。
已知每个花瓶里插3枝花，求4个花瓶一共插了多少枝花，就是求4个3的和是多少。
（2）探究计算方法。
方法一：用加法计算：3+3+3+3=12（枝）
方法二：用乘法计算：3×4=12（枝）
比较发现，根据乘法口诀，用乘法计算比较简便。
（3）乘法的意义。
求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。上面的乘法式子中3和4都是因数，12是积。
2.解决问题（2）。
（1）理解题意。
已知有12枝花，每3枝插一瓶，求可以插几瓶，就是求12里面有多少个3，也就是把12平均分成3份，求每份是多少。用除法计算，列式为12÷3。
（2）解决问题。
12÷3=4（瓶）
答：可以插4瓶。
3.解决问题（3）。
（1）理解题意。
已知有12枝花，平均插到4个花瓶里，求每个花瓶插几枝，就是求12里面有多少个4，也就是把12平均分成4份，求每份是多少。用除法计算，列式为12÷4。
（2）解决问题。
12÷4=3（枝）
答：每个花瓶插3枝。
4.除法的意义。
与问题（1）相比，问题（2）和问题（3）都是已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数。像这样，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，求得的因数叫做商。除法是乘法的逆运算。
5.乘、除法各部分间的关系。
（1）乘法各部分间的关系。
根据3×4=12，可以知道12=3×4，12÷4=3，即积=因数×因数，因数=积÷另一个因数。
除法各部分间的关系。
3 = 12 ÷ 4
商 被除数 除数
4 = 12 ÷ 3
12 = 3 × 4
所以商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。
1.乘、除法间的关系：除法是乘法的逆运算。
2.乘法各部分间的关系：积=因数×因数，因数=积÷另一个因数。
3.除法各部分间的关系：商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。
根据36×14=504，直接写出下面两道算式的得数。（见课本第6页“做一做”）
504÷14=＿＿＿＿＿＿ 504÷36=＿＿＿＿＿＿
【讲解过程】根据乘、除法各部分间的关系：积÷一个因数=另一个因数。
【参考答案】36 14
知识点二 与0与有关的计算
你知道哪些有关0的运算？具体描述一下这些运算。（见课本第6页例题3）
注意：0不能作除数。例如，5除以0不可能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5。0除以0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0。
【讲解过程】
1.方法探究。
（1）明确0在四则运算中的特性。
①在加法中，一个数加上0，还得原数，如5+0=5。
②在减法中，一个数减去0，仍得原数，如5-0=5；当被减数等于减数时，差是0，如5-5=0。
③在乘法中，一个数和0相乘，仍得0，如5×0=0。
④在除法中，0除以一个非0的数，还得0，如0÷5=0。
（2）探究0为什么不能做除数。
在没有余数的除法算式中，除数×商=被除数，如果0可以作除数，那么在5÷0=（ ）中，0乘括号里的数结果应是5，而0和任何数相乘都得0，找不到一个与0相乘得5的数，所以0作除数没有意义；而在0÷0=（ ）中，因为0和任何数相乘都得0，所以0÷0没有一个确定的商，因此0作除数没有意义。
（3）探究0为什么能作被除数。
在0÷5=（ ）中，根据除法是乘法的逆运算可得5×（ ）=0，因为5×0=0，所以0÷5=0，因此0可以作被除数。
2.规范解答。
在加法中，一个数加上0，还得原数，如0+5=5；在减法中，一个数减去0，仍得原数，如5-0=5；被减数等于减数，差是0，如5-5=0；在乘法中，任何数和0相乘，仍得0，如5×0=0；在除法中，0除以一个非0的数，还得0，如0÷5=0；0不能作除数。
因为一个数加上0或减去0还得原数，所以0在加减法中就像笨蛋，不起作用；一个数乘0得0，0除以任何一个非0的数得0，所以0在乘除法中就像一颗定时炸弹，谁见到它都完蛋。
0在四则运算中的地位和作用：加减法中零是笨蛋，见到它就滚蛋；乘除法中零是炸弹，碰到它就完蛋。
易错点1 混淆“除”和“除以”。
例题：判断：除和除以表示的意义相同。（ √ ）
【分析过程】在读除法算式时，如果从被除数读起，“÷”读作“除以”；如果从2除数读起，“÷”读作“除”。例如，12÷3，可以读作12除以3；也可以读作3除12。“除”和“除以”是两个不同的数学概念。如4除20，列式为20÷4；20除以4，列式为20÷4。
【参考答案】×
易错点2 忽略了在除法算式中0不能作除数这一条件，导致判断错误。
例题：判断：0除以任何数都得0。（ √ ）
【分析过程】本题错在没有掌握0在运算中的作用。这句话错在表述不严谨，忽略了0不能作除数。表述时语言一定要严谨，应该说：0除以任何非0的数都得0，0不能作除数。
【参考答案】×
例题1：已知540-□×15=135，求所代表的数。
【分析过程】在等式中，135是540减去×15的积得到的差，所以根据减数=被减数一差，可以求出×15的积。再根据一个因数=积÷另一个因数，可以求出所代表的数。
【参考答案】由540-□×15=135可得□×15=540-135=405；由□×15=405可得=405÷15=27。
答：□所代表的数是27。
例题2：小军今年16岁，爸爸今年48岁，几年前，爸爸的年龄是小军的5倍？
【分析过程】今年爸爸与小军的年龄差是48-16=32（岁），两个人的年龄差不随时间的变化而变化，因此当爸爸的年龄是小军年龄的5倍时，两个人的年龄差仍然是32岁，可借助“差倍问题”来计算。
【参考答案】当爸爸的年龄是小军年龄的5倍时，
小军的年龄：（48-16）÷（5-1）=8（岁） 16-8=8（年）
答：8年前，爸爸的年龄是小军的5倍。
例题3：两个数相乘，如果第一个因数增加12，第二个因数不变，那么积增加96，如果第一个因数不变，第二个因数增加12，那么积增加168。原来的积是多少？
【分析过程】：要求原来的积是多少，关键是要求出原来的两个因数分别是多少。第一个因数增加12，第二个因数不变，积就增加12个第二个因数，因为积增加96，所以12个第二个因数是96，由此可求出第二个因数是96÷12=8，同理，可求出第一个因数。
【参考答案】第二个因数：96÷12=8
第一个因数：168÷12=14
原来的积：14×8=112
答：原来的积是112。

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