资源简介

函数中的“对称”之美
安徽省祁门县第一中学—王茂滋
关于对称
函数中的对称问题是历年高考热点内容之一，这类问题涉及到数学中的基本方法和常见题型。现行课改教材函数中也有不少地方涉及到这方面的内容，因而要引起老师和学生的重视。
所谓对称：是指图形或物体相对的两部分在大小、形状和排列上都相等或相当。对称，是一种平衡；“对称美”也是自然界最魅力的美，如飞机、轮船、蝴蝶、盛开的花朵、六角形的雪花晶体、建筑物和其在水中的倒影等等，都能让我们感受到图形或物体的对称美。
函数中的对称问题，是数学美的很好体现，学习对称问题也能激发学生良好的数学情感。
对称的点滴
下面我们从几个常见的方面来看一看函数中的对称问题：
1.关于“原点”的对称
若函数y=f(x)的图象关于原点对称，则有f（-x）=-f(x)成立。关于原点对称的函数又叫奇函数，学习时应注意以下两点：
函数在x=0处未必有定义；
函数在对称的区间内的单调性一致；
X是f(x)定义域D内的任意值时，都有f(-x)=-f(x)成立。
已知定义在R上的奇函数f(x)，求证：若在区间【a,b】（b>a>0）上，f(x)有最大值M,f(x)在区间【-b,-a】上必有最小值-M.
略证：M是f(x)在区间【a,b】上的最大值，则对于任意的x∈【a,b】都有f(x)≤Ｍ.任取,则有,于是，,又
.即f(x)在区间【-b,-a】上的最小值是-M.
思考题：已知y=f(x)是定义在上的奇函数，且在上为增函数，f()=1,解不等式
2.关于“y轴”对称
若对于函数y=f(x)定义域D内的任意x，都有f（-x）=f(x),则称这个函数为偶函数，其图象关于y轴对称。在学习偶函数时应注意以下两点：
偶函数在其对称的区间内的单调性相反；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇偶性的必要条件。
已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在上是增函数，若求实数a的取值范围。
略解：为偶数，且在上为增函数。y=f(x)在为减函数，由得或
思考题：已知函数y=f(x)是以2为周期的偶函数，且当时，求f(x)在（1，2）上的解析式。
3．关于“x=a”（a）对称
若函数y=f(x)对定义域D内的任意x，都有,即则y=f(x)图象关于x=a对称。
注：关于x=a对称的两个点的特征是：横坐标关于a对称，纵坐标相等。
设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=对称。求的值。
略解:f(x)是定义在R上的奇函数，.又y=f(x)的图象关于直线x=对称，应有,从而，的周期T=2，又f(1)与f(0)关于x=对称，,即，
思考题：若函数的图象的对称轴是x=2，求非零实数a的值。
4．关于“y=x”对称
关于“y=x”对称的两个图象所对应的函数应互为反函数，如与是互为反函数，且图象关于y=x对称。对关于“y=x”对称的两个函数学习时应注意以下几点：
（1）.反函数的定义域和值域是原函数的值域和定义域；
(2). 反函数的定义域不能由其解析式来求；
（3）.互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
（4）.若点P(a,b)在y=f(x)图象上，则关于y=x对称的点一定在的图象上。
例4．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 求的值。
略解：f(4)=0,又点P（4，0）关于点（1，2）对称的点为，,又f(x)与互为反函数，
思考题：已知f(x)是R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，是它的反函数，求不等式的解集。
5．关于“x轴”对称
若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于x轴对称，点P（a,b）在y=f(x)上，则点P关于x轴对称的点（a,-b）一定在y=g(x)上。因而，y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。
求一个二次函数关于x轴对称的函数解析式。
略解：所求函数的图象与已知函数的图象关于x轴对称，用-y替y代入原函数，则有：-y=,即.
6.关于“点（a,b）”对称
关于点对称的两个函数一般为：与,即的形式。
求已知函数关于点（a,b）对称的函数一般要用到中点坐标公式.
已知f(x)关于点（2，1）对称的函数为y=g(x)，求y=g(x)的解析式。
略解：先设g(x)上任一点为（x,y）,它关于点（2，1）对称的点的坐标为（）,于是由中点坐标公式得:
,又（）在原函数f(x)上，应满足：,即.
在学习函数关于点对称时应注意以下两点：
Ⅰ.设点P（X,Y）应为所求的函数g(x)上任一点；
Ⅱ.关于某点对称就是将原图形旋转，对称后的图形的类型不变。
（备注：严老师、张老师您们好。应贵社的邀函，不诚敬意写了一篇稿子发给您们，敬请您们斧正定夺。我校是一所省示范高中，我现在是高级职称，在校担任数学备课组长。若有可能录用，也请提交参评。谢谢！祝您们事业有成，身体健康！另如若贵社自发稿之日起一个月后没有您们的答复我将另行处理。由于邮件没法发给您，只好寄给您们。）

展开更多......

收起↑