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2023-2024学年四川省成都市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.( )
A. B. C. D.
4.“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数图象的对称中心为( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足：，且都有若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 的定义域为 B. 为偶函数
C. 在上单调递增 D. 的最大值是
12.已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的值是______ ．
14.若，则 ______ ．
15.已知是定义域为的奇函数，且是偶函数若，则的值是______ ．
16.若关于的方程恰好有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知全集，集合，．
Ⅰ当时，求，；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数
Ⅰ求函数的单调递增区间；
Ⅱ求函数在上的值域．
19.本小题分
如图所示，一条笔直的河流忽略河的宽度两侧各有一个社区，忽略社区的大小，社区距离上最近的点的距离是，社区距离上最近的点的距离是，且点是线段上一点，设．
现规划了如下三项工程：
工程：在点处修建一座造价亿元的人行观光天桥；
工程：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为亿元．
记这三项工程的总造价为亿元．
Ⅰ求实数的取值范围；
Ⅱ问点在何处时，最小，并求出该最小值．
20.本小题分
已知定义在上的函数．
Ⅰ判断函数在上的单调性，并用定义给出证明；
Ⅱ解关于的不等式．
21.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数在区间上的最小值；
Ⅱ若存在，使得成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数，，其中．
Ⅰ当时，若，求的值；
Ⅱ证明：；
Ⅲ若函数的最大值为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A，，错误；
选项B，，，，错误；
，，C错误；，D正确．
故选：．
根据元素与集合的关系，集合间的运算法则求解即可．
本题考查集合间的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：“，”的否定是：，．
故选：．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
故选C．
由、解之即可．
本题考查余弦函数的诱导公式．
4.【答案】
【解析】解：当两个三角形全等时，可推出它们的对应边长相等，故两个三角形的周长相等；
当两个三角形的周长相等时，两个三角形不一定全等．
根据充要条件的定义，可知“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查全等三角形的判定与性质、充要条件的定义等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为即，可设，得到，
所以与成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为
即，得到，
所以函数的对称中心为
故选：．
把原函数解析式变形得到，设，得到为反比例函数且为奇函数，求出对称中心即可．
考查学生灵活运用奇偶函数图象对称性的能力．考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，定义在上的函数满足：，且都有．
则为上的减函数，
若，则有，即的取值范围为．
故选：．
根据题意，分析函数的单调性，由此可得的取值范围，即可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
，，
，，
．
故选：．
利用指数函数和对数函数的性质求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数的零点个数，
即与在同一直角坐标系中的交点个数，
如图：
结合图象可知，两个函数的交点有个．
故函数的零点有个．
故选：．
原问题等价于与在同一直角坐标系中的交点个数，结合图象即可求解结论．
本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当，时，满足，但，故A不正确；
对于，由可知，结合将两不等式相加，得，故B正确；
对于，当时，，故C不正确；
对于，若，，则且，所以成立，故D正确．
故选：．
根据不等式的基本性质，对各项中的不等式逐一判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由于函数的最小正周期为且为奇函数，故正确；
对于，由于函数的最小正周期为，故错误；
对于，由于函数的最小正周期为，但为偶函数，故错误；
对于，由于函数的最小正周期为且为奇函数，故正确．
故选：．
由题意利用三角函数的周期性和奇偶性即可得出结论．
本题主要考查诱导公式，三角函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数，
则，解得，
故函数的定义域为，故A正确；
，
则，故B正确；
，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，故C错误；
，故D正确．
故选：．
列出不等式，求出定义域，再结合偶函数的定义，复合函数的单调性，对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的性质，以及函数的最值，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，，，，此时，A错误；
对于，表示不超过的最大整数，则有，B正确；
对于，当时，，，，此时，C错误；
对于，当时，显然成立；
当时，，
故，
又，
故，即，D正确．
故选：．
依题意，依次分析选项是否正确，即可得到答案．
本题考查取整函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
由已知结合指数幂的运算及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂的运算性质及对数恒等式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
分式上下同除以，化弦为切，代入求值即可．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知是定义域为的奇函数，，
故，则，，
由是偶函数，得，
令，则，即；
令，则，即，
故．
故答案为：．
根据函数的奇偶性可得的值，结合已知求出；由是偶函数推出，利用赋值法求出，，即可得答案．
本题考查抽象函数求值的问题，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：令，则，作出函数的图象如图所示，
若关于的方程恰好有四个不同的实数根，
则由图象可知关于的方程恰有两个不同的正实数根，，且，，
所以，解得且，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
令，则，作出函数的图象，由图象可将已知转化为关于的方程恰有两个不同的正实数根，，且，，由二次函数图象可得关于的不等式组，求解即可．
本题主要考查函数与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ
当时，，所以，
所以，；
Ⅱ若，则，
即实数的取值范围．
【解析】Ⅰ求出集合，，进而求出，；
Ⅱ由题意直接求出的范围．
本题考查二次不等式的解法及集合的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ对于函数，令，，
求得，，
故函数的单调递增区间为，．
Ⅱ在上，，，，
故函数在上的值域为．
【解析】Ⅰ由题意，利用正弦函数的单调性，求得结论．
Ⅱ由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求得结论．
本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．
19.【答案】解：因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，
所以，解得：，
直角三角形地块全部修建为面积至少的主题公园湿地公园，
所以，解得：，
故实数的取值范围为；
依题意可得：
，
当且仅当，即时取等，
所以当点满足时，最小，最小值为亿元．
【解析】由直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，列不等式求解即可求解；
由题意可得，由基本不等式求解即可．
本题考查了基本不等式在解决实际问题上的应用，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ根据题意，函数在上单调递增，
证明：设，
则有，
又由，则，，
则有，
函数在上单调递增；
Ⅱ函数，，
设，
则有，
又由，则，，
则有，
函数在上单调递减；
有，，
，则有或，
解可得：，即不等式的解集为．
【解析】Ⅰ由作差法分析可得结论；
Ⅱ先分析在上的单调性，利用特殊值构造关于的不等式，解可得答案．
本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
21.【答案】解：Ⅰ当时，，
当时，设，则，
则，
所以当，即时，，
所以函数在区间上的最小值为．
Ⅱ若时，，则，
则，可化为，
即方程存在大于零的解，
所以或，解得或，
故的取值范围为．
【解析】Ⅰ令，把函数转化为二次函数，再求出最小值；
Ⅱ令，转化为方程存在大于零的解，列出不等式组，求出的取值范围即可．
本题考查了二次函数的性质，利用方程有解求参数的取值范围，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：Ⅰ当时，，
当时，，不合题意；
当时，，
由得，，所以，符合题意，
故．
Ⅱ证明：的定义域为，
要证明，只需证，
只需证：，
只需证：，
只需证：，该式显然成立，
当且仅当时等号成立，
故．
Ⅲ，
令，，
由题意可知的最大值为，
则，所以，
而，故，即，
从而，
因为，当且仅当时等号成立，
由Ⅱ知，当且仅当时等号成立，
故的值域为，故H的值域为，
令，则，
令，则，
当时，的值域为，
此时的最大值为，符合题意；
当时，的值域为，
此时的最大值为，符合题意；
故的值为或．
【解析】Ⅰ化简函数解析式，分类讨论去掉绝对值符号，解方程，可得答案．
Ⅱ利用分析法，要证明，只需证，一步步逆推，直到找到不等式成立的条件，即可证明原不等式成立．
Ⅲ令，确定的范围，从而，结合的取值范围，可得的范围，结合函数最值分类讨论求解，即可得答案．
本题考查函数的单调性和最值，属于中档题．
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