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专题八 三角函数的和差公式、正余弦定理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
3．常用的部分三角公式
(1)sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式)
(2)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式)
4．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
5．三角形常用面积公式及变形公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C).
一 、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选：C.
2．若，则的值为（　　）
A．－ B． C．－3 D．3
【答案】A
【解析】∵，∴，故选：A.
3．在中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在中，，，则，，故选：D.
二 、二倍角的正弦、余弦、正切公式
4． 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：，故选：A．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，即，等式两边同时平方，得，所以，故选：B.
6．已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由角终边上一点得，.故选：C.
7．____________.
【答案】
【解析】依题意，，故答案为：.
三 、正弦定理、余弦定理、面积公式
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【解析】在中，，∵，∴，由正弦定理得，
故选：C．
9．在中，，，分别是的对边，，，，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，，由余弦定理得：，即，化简得 解得：，或 （舍去），故选：D.
10．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】依题意，由正弦定理得，故选：A.
一、选择题
1．（ ）
A． B． C． D．—
【答案】C
【解析】
，故选：C.
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故选：B.
3．的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，故选：C．
4．化简的结果为（ ）
A．x B．
C． D．
【答案】B
【解析】，故选：B.
5．若，则的值为（　　）
A．－ B． C．－3 D．3
【答案】A
【解析】∵，∴，故选：A.
6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意，在中，，则，又由，，则有
，即，故选：．
7．在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，设，由余弦定理可得，因为为三角形的内角,所以此三角形中的最大角,
故选：B.
8．在中，若，则A=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可整理为，所以，又，所以，故选：B.
9．中，，则（ ）
A． B． C．或 D．0
【答案】D
【解析】由，所以，即，由，又，所以，则，故，又，故选：D.
10．已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据正弦定理，由
因为，所以，于是有，故选：A.
二、填空题
11．已知，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，，所以，故答案为：.
12．已知,且,则 ．
【答案】
【解析】由题意得：，，解得：，，故答案为：.
13．在中，分别是角的对边．若成等比数列，且，则A的大小是 ．
【答案】
【解析】由已知成等比数列，所以，由，得，所以，得，由余弦定理得，因为，所以，故答案为：.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝1，，则△ABC的面积为 .
【答案】
【解析】由同角三角函数关系：，由三角形面积公式得：，故答案为：.
15．在△ABC中，已知，则 .
【答案】4
【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，故答案为：.
16．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且， 则的面积为 ．
【答案】
【解析】由边化角得, ，，所以，即,即,,所以，因为函数在上单调递减，∴，故，又，∴，从而，结合可得，∴，，故．
三、解答题
18．已知均为锐角，求的值．
【答案】
【解析】由均为锐角，可知 ,，由得，由得，所以
.
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
【答案】(1)；(2)7
【解析】解：（1）变形为：，所以，因为，所以.
（2）因为，且，所以，由正弦定理得：，即，解得：．
20．在△中，角的对边分别为，若，且.
（1）求的值；
（2）若，求△的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵, ∴，∴
（2）由（1）可得
，在△中，由正弦定理得 ，∴．专题八 三角函数的和差公式、正余弦定理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
3．常用的部分三角公式
(1)sin2α＝，cos2α＝.(降幂公式)
(2)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(辅助角公式)
4．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
5．三角形常用面积公式及变形公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C).
一 、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（　　）
A．－ B． C．－3 D．3
3．在中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二 、二倍角的正弦、余弦、正切公式
4． 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
7．____________.
三 、正弦定理、余弦定理、面积公式
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
9．在中，，，分别是的对边，，，，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
10．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
一、选择题
1．（ ）
A． B． C． D．—
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．的内角的对边分别是，若，且的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．化简的结果为（ ）
A．x B．
C． D．
5．若，则的值为（　　）
A．－ B． C．－3 D．3
6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
7．在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，若，则A=（ ）
A． B． C． D．
9．中，，则（ ）
A． B． C．或 D．0
10．已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，则 .
12．已知,且,则 ．
13．在中，分别是角的对边．若成等比数列，且，则A的大小是 ．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝1，，则△ABC的面积为 .
15．在△ABC中，已知，则 .
16．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且， 则的面积为 ．
三、解答题
18．已知均为锐角，求的值．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
20．在△中，角的对边分别为，若，且.
（1）求的值；
（2）若，求△的面积.

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