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专题九 数列
1．数列前n项和Sn与an的关系：已知Sn，则.
2．等差数列
(1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有.
(3)通项公式：.
(4)前n项和公式：或.
(5)常用性质：
①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
②若{an}为等差数列，且若,则
③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
④若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
3．等比数列
(1)定义：(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．
(3)通项公式：.
(4)前n项和公式：
(5)等比数列的性质
①an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
②若，且，则
③若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列．
一 、一般数列
1．在数列中，第9个数是（ ）
A． B．3 C． D．10
【答案】B
【解析】观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3，故选：B.
2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是，故选：C．
3．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】C
【解析】令，解得，故选：C．
二 、等差数列
4．在等差数列中，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设的公差为，则，解得，故选：B．
5．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90 B．100 C．180 D．200
【答案】C
【解析】因为为等差数列，故，故，
而，故选：C.
6．若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，故选：D.
7．记等差数列的前n项和为,若,则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】解:由题知,即,,，故选：C.
三 、等比数列
8．在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】在等比数列中，，解得，则，故选：A.
9．在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】，，得，∴，故选：A．
10．已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．364 B．1094 C．368 D．1092
【答案】D
【解析】等比数列的前n项和为，若，，设公比为，则，所以，则，故选：D.
一、选择题
1．已知等差数列的公差为3，且，则（ ）
A．15 B．16 C．19 D．22
【答案】C
【解析】因为数列的公差为3，且，所以，解得，所以，故选：C.
2．已知数列为等差数列，，则（ ）
A．8 B．12 C．15 D．24
【答案】B
【解析】，故，，故选：B．
3．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，所以，
∴，，所以，故选：B.
4．与的等差中项和等比中项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】与的等差中项是，与的等比中项是，故选：A.
5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【解析】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，
所以，或（舍），所以，，故选：D.
6．已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（ ）
A．55 B．50 C．45 D．10
【答案】A
【解析】∵，，成等比数列，∴，可得，又等差数列{}的公差为1，
，解得：，则{}的前10项和，故选：A．
7．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568 B．566 C．675 D．696
【答案】C
【解析】在等差数列中，设公差为，因为，所以，解得：，又，，成等比数列，所以，故有，整理得，因为，所以，从而，即，∵，∴，故，故选：C.
8．若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，当时，，经检验，可得，故选：D.
9．已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14 B．28 C．35 D．70
【答案】C
【解析】因为为等差数列，所以，所以，则数列的前14项之和，故选：C.
10．若，，成等差数列，而，，和，，都分别成等比数列，则的值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．12
【答案】D
【解析】因为，，成等差数列，而，，和，，都分别成等比数列，所以，解得 ，故选：D.
二、填空题
11．已知数列为等差数列，，，则 .
【答案】13
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，则
故答案位：13.
12．等比数列满足，则该数列通项公式为 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为,首项为,故,由得 ,解得,故，故答案为:.
13．已知等比数列的公比成等差数列，则公比 .
【答案】2
【解析】由题意得，而为等比数列，化简得，而，解得，故答案为：2.
14．已知数列为等比数列，且成等差数列，则公比 ．
【答案】1或3
【解析】数列为等比数列，所以，且成等差数列，所以，则，解得或3，故答案为：1或3.
15．在数列中，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由题设可得，故为等差数列，故，
故，故答案为：.
16．数列满足，且与的等差中项是5，则 .
【答案】
【解析】，则为等比数列，公比为2，又，解得：，所以，故答案为：.
三、解答题
18．设等差数列的前项和为,，已知，.
（1）求首项和公差的值；（2）若，求的值.
【答案】（1）；；（2）
【解析】解：（1）由题意得：，解得：，则公差.
（2）由（I）知：，若，即，又，解得：.
19．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）设数列的公差为，由题意知，解得：，故；
（2）由（1）得，数列是首项为4，公比为4的等比数列，设数列的前n项和为，则.
20．在等比数列中，，．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】解：（1）设的公比为，依题意得，解得，因此．
（2）∵，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故其前项和．专题九 数列
1．数列前n项和Sn与an的关系：已知Sn，则.
2．等差数列
(1)定义：(常数)(n≥2，n∈N*)或(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项：若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有.
(3)通项公式：.
(4)前n项和公式：或.
(5)常用性质：
①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
②若{an}为等差数列，且若,则
③若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
④若{an}是等差数列，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
3．等比数列
(1)定义：(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．
(3)通项公式：.
(4)前n项和公式：
(5)等比数列的性质
①an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
②若，且，则
③若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
④在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列
一 、一般数列
1．在数列中，第9个数是（ ）
A． B．3 C． D．10
2．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
二 、等差数列
4．在等差数列中，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90 B．100 C．180 D．200
6．若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
7．记等差数列的前n项和为,若,则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
三 、等比数列
8．在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
10．已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．364 B．1094 C．368 D．1092
一、选择题
1．已知等差数列的公差为3，且，则（ ）
A．15 B．16 C．19 D．22
2．已知数列为等差数列，，则（ ）
A．8 B．12 C．15 D．24
3．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．与的等差中项和等比中项分别是（ ）
A． B． C． D．
5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
6．已知公差为1的等差数列{}中，，，成等比数列，则{}的前10项的和为（ ）
A．55 B．50 C．45 D．10
7．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568 B．566 C．675 D．696
8．若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知等差数列，且，则数列的前14项之和为（ ）
A．14 B．28 C．35 D．70
10．若，，成等差数列，而，，和，，都分别成等比数列，则的值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．12
二、填空题
11．已知数列为等差数列，，，则 .
12．等比数列满足，则该数列通项公式为 .
13．已知等比数列的公比成等差数列，则公比 .
14．已知数列为等比数列，且成等差数列，则公比 ．
15．在数列中，，则数列的通项公式为 ．
16．数列满足，且与的等差中项是5，则 .
三、解答题
18．设等差数列的前项和为,，已知，.
（1）求首项和公差的值；（2）若，求的值.
19．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20．在等比数列中，，．
（1）求；
（2）设，求数列的前项和．

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