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专题10 立体几何
1. 平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2.空间点、直线之间的位置关系
直线与直线
平行 关系 图形语言
符号语言 a∥b
相交 关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A
独有 关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线
3．空间两条直线的位置关系
(1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点．
(2)平行直线——同一平面内，没有公共点．
(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．
4.异面直线所成角、平行公理及等角定理
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．
②范围：.
(2)平行公理
平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
5.直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝ a α，b α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a β， _α∩β＝b__
结论 a∥α b∥α a∩α＝ _a∥b__
6.面面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 _α∩β＝ __ _a β，b β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
重要结论:
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．　
2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．　
3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．
7. 直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直
①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直 线面垂直)．即：a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P l⊥α.
③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为.
②线面角θ的范围：θ∈.
8.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角θ的范围：θ∈[0，π]．
(2)平面与平面垂直
①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a α，a⊥β α⊥β.
③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a α，α∩β＝b，a⊥b a⊥β.　
重要结论
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行．
4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
1.平面概念
2.线线、线面、面面位置关系
3.线面、面面平行
4. 线面、面面垂直
5.线线、线面所成角
6. 二面角
7.几何体
考点一 平面概念
例1．三个平面最多把空间分成 部分.
【答案】8
【解析】当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，可以把空间分成8部分，所以空间中的三个平面最多把空间分成8部分.
例2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是(　C　)
A．0　 B．1
C．1或4　 D．无法确定
[解析]　当四个点在同一平面时，则确定一个平面；若四点不共面，由基本性质2可判断，任意不共线的三点都可以确定一个平面，故有4个．
【变式探究】下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)：
(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； (2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；
(3)∵A α，a α，∴A a； (4)∵A∈a，a α，∴A α.
其中命题和叙述方法都正确的个数是(　B　)
A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3
[解析]　(3)正确．(1)错，其中的AB∈α应为AB α.(2)错，其中α，β应该交于一条过A点的直线．(4)错，因为点A可能是直线a与平面α的交点．
考点二 线线、线面、面面位置关系
例3．设直线m平行于平面α，直线n垂直于平面β，而且α⊥ β ，n α则必有（ ）
A.m//n B. m⊥n C.m⊥β D.n//α
答案：D
例4．下列说法不正确的是（ ）
A.两条相交的直线确定一个平面 B.垂直于同一直线的两条直线互相垂直
C.平行于同一条直线的两条直线互相平行 D.不在同一直线上的三点确定一个平面
答案：B
【变式探究】1. 若a，b是异面直线，直线c//a，则c与b位置关系是( )
A.异面 B. 平行 C. 相交 D.相交或异面
【解析】由题意可得，直线a，b是异面直线，又c//a，则c与b的位置关系可能是相交，也可能是异面，综上所述，故选：D；
2. 点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是(　A　)
A．平行　　 B．相交
C．MN 平面PCB1　　 D．以上三种情形都有可能
[解析]　如图，∵M、N分别为A1A和A1B1中点，
∴MN∥AB1，
又∵P是正方形ABCD的中心，
∴P、A、C三点共线，
∴AB1 平面PB1C，
∵MN 平面PB1C，
∴MN∥平面PB1C.
考点三 线面、面面平行
例5．下列命题中，错误的是（ ）
A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B. 平行于同一平面的两个平面平行
C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
【答案】C
【解析】若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线不一定互相平行，所以C选项错误，故选C.
例6．设α,β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，给出下列三个命题：
①.若l⊥α,m⊥α,则l∥m.
②.若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m.
③.若l∥m,l∥α,m∥β,则α∥β.
则下列命题中的真命题是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：B
【变式探究】1. （2019湖南对口升学高考）下列命题中，正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.垂直于同一个平面的两个平面平行
C.若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直
[答案]D
[分析]根据直线与平面垂直的判断定理可知选项 D 正确, 故选 D.
2. 下列命题中，错误的是（ ）
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
[答案]B
[分析] 找反例即可
B项平行于同一条直线的两个平面可以相交，故B错
考点四 线面、面面垂直
例7．在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ）
A. 平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能
【答案】D
【解析】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面，故选D.
例8．（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．前三种情况都有可能
【答案】D
【解析】垂直于同一个平面的两个平面有可能互相垂直，也有可能互相平行，也有可能相交，故选D.
【变式探究】1. （2019年安徽省）如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2. 如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是 (　C　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
[解析]　∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故选C．
考点五 线线、线面所成角
例9．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
例10．如图正方体ABCD-中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C.1
[答案]B
［分析］找出垂线与线面角求出直角边长即可
［详解］如图连接A
因为平面
所以AB为B与平面所成的角
在中，设正方体边长为
【变式探究】1.在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ( )
A． B． C． D．
[答案]C
[分析]线线平行平移至相交
连接
为异面直线 与 所成的角
为等边三角形
2.若是直线与平面所成的角，则的取值范围是______.
A.（0，] B. C. D.
答案：C
考点六 二面角
例11．右图正方体中，二面角的平面角是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【变式探究】（2016年河北对口高考）已知正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则 .
【答案】
考点七 立体几何的综合问题
例12．如图1，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1A底面ABC，AA1=，AB=AC=1， ABAC．
(1)证明：BA平面ACC1A1；
(2)求直线B1C与平面A CC1A1所成的角的正弦值．
[分析]（1）线面垂直的判定定理（2）线面角
(1) 在三棱柱 中,
(2)
例13．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=1，∠ABC=90°，D为AC的中点.
(1)证明：BD⊥平面ACC1A1；
(2)若直线BA1与平面ACC1A1所成的角为30°，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
[分析]（1）线面垂直判定（2）根据线面角求出高
（1）证明：AB=AC，D为AC的中点
BD⊥AC.
又AA1⊥底面ABC BD 底面ABC
BD⊥AA1．
AC和AA1是平面ACC1A1内两相交直线
BD⊥平面ACC1A1；
（2）连接A1D
BD⊥平面ACC1A1，
BD⊥A1D，且A1D是BA1在平面ACC1A1的射影
∠BA1D=30°．
在Rt△ABC中，BD=
在Rt△ABC中，∠BA1D==30°，∠BDA1=90°，.
在Rt△ABA1中，∠BAA1=90°，AB=1，A=
三棱柱A
【变式探究】1.(2020湖南对口升学高考) (本小题满分 10 分）
如图, 四棱雉 的底面为正方形, 为 与 的交点, 底面 .
(1) 若 分别为 的中点, 求证: 平面 ;
(2) 若 , 求四棱雉 的体积.
[分析]（1）线面平行的判定定理 （2）椎体体积公式
解：(1) 在 中, 分别为 的中点.
又 平面 ，平面
平面 .
(2) 底面为正方形
则
为正方形的中心 平面 从而
在 Rt 中,
则
2.如图，B , C为圆锥AO底面圆周上的两点，E ,F分别为AB , BC的中点.
(I)证明：EF//平面ACO;
(II)若圆锥底面半径为1,母线的长为，二面角B-AO-C的大小为,求点O到平面ABC的距离.
答案：(I)在△ABC中，E ,F分别为AB , BC的中点，所以E F∥AC，
又E F平面ACO，AC平面ACO，所以EF//平面ACO.
(II)连接AF，FO，如图，
在圆锥AO中，AO⊥底面BCO，所以AO⊥BO，AO⊥CO，
所以∠BOC为二面角B-AO-C的平面角，即∠BOC=，
在直角△ABO中，，
在等腰△OBC中， ， ，
在直角△AFO中，，
则，
设点O到平面ABC的距离为d，
则，解得，
所以点O到平面ABC的距离为.
考点八 几何体
例14．若圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
例15．若圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为______.
A. B. C.π D.
答案：A
【变式探究】1. （2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为 .
【答案】
【解析】正三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的中心，底面三角形的高为：，三角形的重心分中线为2：1的关系，所以底面三角形重心到顶点的距离为，所以三棱锥的高为：，又因为底面三角形的面积为：，所以该正三棱锥的体积为：，故答案为：.
2. 若一个球的表面积为，则该球的半径为（ ）
A．2 B． C． D．3
答案：B
1. 在正方体中，异面直线与之间的夹角是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析：【答案】C
【分析】连接, 根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义, 我们可得即为异面直线与所成的角, 连接BD后, 解即可得到异面直线与所成的角。
【解析】连接,由正方体的几何特征可得，则即为异面直线与所成的角，连接BD，易得，∴，
故选：C.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，则对角线BD1与底面ABCD所成的角是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3.如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
4. 如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角是 （ ）
A. 30° B. 45° C.90° D.60°
答案：C
5.如图所示，在正方体中，点M、N分别是棱，的中点，则直线与直线所成的角等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：B
6. 如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C.平面 D.平面
答案：D
7.如图，在正方休中，直线与所成的角是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
8.在四面体ABCD中，平面，，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（ ）
A.1对 B. 2对 C.3对 D.4对
答案：C
9.已知两条不同的直线 与平面 , 则下列命题正确的是( )
A. 若 , 则 B. 若 , 则
C. 若 , 则 D. 若 , 则
[答案]D
A项m、n可以相交
B项n可平行
C项n可平行
D项线面垂直性质定理
10. 一个圆锥高为4，母线长为5，则该圆锥的体积是
答案：12π
11.设正方体的边长为1，则它的外接球的直径为
答案：
12.如图，正方体中，异面直线与所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：D
13．已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
答案：C
14．已知球的半径为6cm，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
15.下列命题中不正确的是（ ）
A.如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线,那么这条直线垂直于这个平面
B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面
C.如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线,那么这条直线垂直于这个平面
D.如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线垂直于这个平面
答案：D
16.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ）
①若，，，则； ②若，，，则；
③若，，，则； ④若，，，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
分析：本题以空间的平行与垂直为载体,考查了命题的真假的判断, 属于基础题着重考查空间直线与平面、 平面与平面的位置关系, 考查了空间想象的能力
解析：
对于①, ∵，，，∴,故①正确.
对于②, ∵，,直线和 相当于平面和的法向量,∵ ，∴,故②正确.
对于③, ∵，,直线和 相当于平面和的法向量,∵,∴故③不正确.
对于④, 若，, 直线和 相当于平面和的法向量, ∵, ∴,故④正确.
∴选C.
17.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中的真命题是（ ）
A.如果，，，那么 B.如果，，那么
C.如果，，，那么 D.如果，，那么
【答案】D
【分析】本题A选项考查面面平行的判定定理，B选项考查线面平行的判定定理，C选项考查面面垂直的性质定理，D选项考查面面垂直的判定定理,是基础题.
【解析】
由面面平行的判定定理可得A错误；
由线面平行的判定定理可得B错误；
由面面垂直的性质定理可得C错误；
由面面垂直的判定定理可得D正确.
∴选D.
18.若圆锥和圆柱的底面半径均为R，高均为3R，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是
A. B. C. D.
【答案】A
19.设,为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若,则 B. 若,则
C.若 ,则 D. 若 ,则
[答案]D
[分析] 为两条不同的直线, 为两个不同的 平面
对于 , 若 , 则 // 或 , 故 错误;
对于 , 若 , 则 与 相 交或平行, 故 错误;
对于 , 若 , 则 与 相交、平行或异面，故 错误;
对于 , 若 , 则由面面垂直的判定定理得 , 故 正确.
20.圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 .
【答案】
【解析】由题知圆柱的底面半径为1，高为2，所以，，故答案为.
21.三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ）
B. C. D.
【答案】C
【解析】取中点M，连接EM，FM，则FM∥，则即为直线与所成角，，，，，所以，故选C.
22.如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明:平面ACE;
(2)设PA=1，，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
[分析](1)找到中位线即可证明 （2）根据线面角求出底面边长即可求出体积
(1)证明: 连接交 于点,连接
点是的中点,点是 的中点
即线段 是 的中 位线
//
又 平面
平面
平面
(2)
直线 与平面 所成的角为 , 平面
23．在四棱锥中，，，，，平面.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.
答案：(Ⅰ) 略 （Ⅱ）
分析：
解析：(Ⅰ)连接 AC，作AE⊥BC，交BC于E，交BD于G ，
∵AD∥BC，AD⊥CD
∴BC⊥CD
∴四边形AECD是矩形
∵AD=CD
∴四边形AECD是正方形，
∴AD=CD=CE=AE，∠CAE=
∵2AD=2CD=BC，AE⊥BC
∴AE=BE
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=，∠BAE=，
则∠BAC=+=，即AB⊥AC
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥AC
∵AB⊥AC，
PA∩AB =A
∴AC⊥面PAB
∵AC面
∴平面平面
(Ⅱ)作AFBD ，交BD于F，
∵PA⊥面ABCD
∴PF⊥BD
∴∠PFA是二面角的平面角，
∵AE∥CD，2CE=CB，根据相似三角形定理可知GE是△BCD的中位线，
∴2GE=CD，
∴AG=GE=AE=AD
AE⊥AD，AF⊥BD
∴把用等面积法表示
∴
解得 ，
∵PA=AD，
∴，
因此二面角的正切值是.
24.如图, 在三棱雉 中, 平面 .
(1) 证明：平面 平面 ;
(2) 若 , 直线 与平面 所成的角为 ,求三棱雉 的体积.
(1)证明：平面
平面
平面
平面
(2)
为PB与平面ABC所成角
中
平面PAB
=
25.如图、在三棱柱中，底面，, ，为的中点，
(1)证明: 平面；
(2)求直线与平面所成的角.
[分析]（1）证明BD垂直平面内两条相交直线垂直 （2）找到垂线和垂足即可找到线面角
(1)证明: 在三棱柱 中， 底面， 底面
即直线 与平面 所成的角是专题10 立体几何
1. 平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2.空间点、直线之间的位置关系
直线与直线
平行 关系 图形语言
符号语言 a∥b
相交 关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A
独有 关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线
3．空间两条直线的位置关系
(1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点．
(2)平行直线——同一平面内，没有公共点．
(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点．
4.异面直线所成角、平行公理及等角定理
(1)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．
②范围：.
(2)平行公理
平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
5.直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝ a α，b α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a β， _α∩β＝b__
结论 a∥α b∥α a∩α＝ _a∥b__
6.面面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 _α∩β＝ __ _a β，b β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
重要结论:
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．　
2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．　
3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．
7. 直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直
①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直 线面垂直)．即：a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P l⊥α.
③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)直线与平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为.
②线面角θ的范围：θ∈.
8.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角θ的范围：θ∈[0，π]．
(2)平面与平面垂直
①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a α，a⊥β α⊥β.
③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a α，α∩β＝b，a⊥b a⊥β.　
重要结论
1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行．
4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．
1.平面概念
2.线线、线面、面面位置关系
3.线面、面面平行
4. 线面、面面垂直
5.线线、线面所成角
6. 二面角
7.几何体
考点一 平面概念
例1．三个平面最多把空间分成 部分.
例2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是(　 　)
A．0　 B．1
C．1或4　 D．无法确定
【变式探究】下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)：
(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； (2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；
(3)∵A α，a α，∴A a； (4)∵A∈a，a α，∴A α.
其中命题和叙述方法都正确的个数是(　　)
A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3
考点二 线线、线面、面面位置关系
例3．设直线m平行于平面α，直线n垂直于平面β，而且α⊥ β ，n α则必有（ ）
A.m//n B. m⊥n C.m⊥β D.n//α
例4．下列说法不正确的是（ ）
A.两条相交的直线确定一个平面 B.垂直于同一直线的两条直线互相垂直
C.平行于同一条直线的两条直线互相平行 D.不在同一直线上的三点确定一个平面
【变式探究】1. 若a，b是异面直线，直线c//a，则c与b位置关系是( )
A.异面 B. 平行 C. 相交 D.相交或异面
2. 点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是(　　)
A．平行　　 B．相交
C．MN 平面PCB1　　 D．以上三种情形都有可能
考点三 线面、面面平行
例5．下列命题中，错误的是（ ）
A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B. 平行于同一平面的两个平面平行
C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
例6．设α,β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，给出下列三个命题：
①.若l⊥α,m⊥α,则l∥m.
②.若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m.
③.若l∥m,l∥α,m∥β,则α∥β.
则下列命题中的真命题是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式探究】1.下列命题中，正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两条直线平行
B.垂直于同一个平面的两个平面平行
C.若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直
2. 下列命题中，错误的是（ ）
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
考点四 线面、面面垂直
例7．在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ）
A. 平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能
例8．垂直于同一个平面的两个平面（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．前三种情况都有可能
【变式探究】1.如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是 (　 　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
考点五 线线、线面所成角
例9．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
例10．如图正方体ABCD-中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C.1
【变式探究】1.在正方体中，异面直线与所成角的大小为 ( )
A． B． C． D．
2.若是直线与平面所成的角，则的取值范围是______.
A.（0，] B. C. D.
考点六 二面角
例11．右图正方体中，二面角的平面角是（ ）
A. B. C. D.
【变式探究】（2016年河北对口高考）已知正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则 .
考点七 立体几何的综合问题
例12．如图1，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1A底面ABC，AA1=，AB=AC=1， ABAC．
(1)证明：BA平面ACC1A1；
(2)求直线B1C与平面A CC1A1所成的角的正弦值．
例13．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=1，∠ABC=90°，D为AC的中点.
(1)证明：BD⊥平面ACC1A1；
(2)若直线BA1与平面ACC1A1所成的角为30°，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
【变式探究】1.(2020湖南对口升学高考) (本小题满分 10 分）
如图, 四棱雉 的底面为正方形, 为 与 的交点, 底面 .
(1) 若 分别为 的中点, 求证: 平面 ;
(2) 若 , 求四棱雉 的体积.
2. 如图，B , C为圆锥AO底面圆周上的两点，E ,F分别为AB , BC的中点.
(I)证明：EF//平面ACO;
(II)若圆锥底面半径为1,母线的长为，二面角B-AO-C的大小为,求点O到平面ABC的距离.
考点八 几何体
例14．若圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例15．若圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为______.
A. B. C.π D.
【变式探究】1. （2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为 .
2. 若一个球的表面积为，则该球的半径为（ ）
A．2 B． C． D．3
1. 在正方体中，异面直线与之间的夹角是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，则对角线BD1与底面ABCD所成的角是 （ ）
A. B. C. D.
3.如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则直线与平面所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4.如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角是 （ ）
A. 30° B. 45° C.90° D.60°
5.如图所示，在正方体中，点M、N分别是棱，的中点，则直线与直线所成的角等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
6. 如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C.平面 D.平面
7. 如图，在正方休中，直线与所成的角是（ ）
A. B. C. D.
8.在四面体ABCD中，平面，，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（ ）
A.1对 B. 2对 C.3对 D.4对
9.已知两条不同的直线 与平面 , 则下列命题正确的是( )
A. 若 , 则 B. 若 , 则
C. 若 , 则 D. 若 , 则
10.一个圆锥高为4，母线长为5，则该圆锥的体积是
11.设正方体的边长为1，则它的外接球的直径为
12.如图，正方体中，异面直线与所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
13．已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
14．已知球的半径为6cm，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
15.下列命题中不正确的是（ ）
A.如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线,那么这条直线垂直于这个平面
B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面
C.如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线,那么这条直线垂直于这个平面
D.如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线垂直于这个平面
16.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ）
①若，，，则； ②若，，，则；
③若，，，则； ④若，，，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中的真命题是（ ）
A.如果，，，那么 B.如果，，那么
C.如果，，，那么 D.如果，，那么
18. 若圆锥和圆柱的底面半径均为R，高均为3R，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是
A. B. C. D.
19. 设,为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A.若,则 B. 若,则
C.若 ,则 D. 若 ,则
20.圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 .
21.三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ）
B. C. D.
22.如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.
(1)证明:平面ACE;
(2)设PA=1，，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积.
23．在四棱锥中，，，，，平面.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.
24．如图, 在三棱雉 中, 平面 .
(1) 证明：平面 平面 ;
(2) 若 , 直线 与平面 所成的角为 ,求三棱雉 的体积.
25.如图、在三棱柱中，底面，, ，为的中点，
(1)证明: 平面；
(2)求直线与平面所成的角.

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