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第01讲 导数的概念及运算 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背 2
第二部分：高考真题回归 4
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：导数的概念 5
高频考点二：导数的运算 8
高频考点三：导数的几何意义 10
角度1：求切线方程（在型） 10
角度2：求切线方程（过型） 11
角度3：已知切线方程（或斜率）求参数 12
角度4：导数与函数图象 14
角度5：共切点的公切线问题 18
角度6：不同切点的公切线问题 21
角度7：与切线有关的转化问题 24
第四部分：数学文化（高观点）题 26
第五部分：高考新题型 28
①开放性试题 28
②探究性试题 30
第六部分：数学思想方法 31
①函数与方程的思想 31
②数形结合得思想 32
③转化与化归思想 34
第一部分：知识点必背
1、平均变化率
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
2、导数的概念
（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
（2）定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
3、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
5、导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（甲卷理，文）·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
3．（2021·全国（甲卷理）·高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．
4．（2022·天津·高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·陕西·高二校联考期末）设，则（ ）
A． B． C．3 D．12
例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数，则（ ）
A．3 B． C． D．0
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
例题3．（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知函数，则__________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
2．（多选）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）下列函数求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）若函数满足，则_____________
高频考点三：导数的几何意义
角度1：求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知函数，那么在点处的切线方程为___________．
例题2．（2023·贵州贵阳·统考一模）函数在点处的切线方程为___________.
练透核心考点
1．（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为______．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）函数的图像在点处的切线方程为__________．
角度2：求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线的方程为__________.
例题2．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.
练透核心考点
1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）写出曲线过点的一条切线方程__________．
2．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______．
角度3：已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为_____________
例题2．（2023春·天津河东·高二校考阶段练习）已知函数在处的切线与直线垂直，则实数_______.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
练透核心考点
1．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
2．（2023·全国·高二专题练习）直线是曲线的切线，则______.
3．（2023·全国·高二专题练习）若直线是曲线的切线，则________．
角度4：导数与函数图象
典型例题
例题1．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
例题2．（2022·高二课时练习）已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）如图，直线是曲线在处的切线，则___________.
练透核心考点
1．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，，，，则关于排序正确的是_____________．
3．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．
角度5：共切点的公切线问题
典型例题
例题1．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点是曲线与曲线的公共切点，则两曲线在点处的公共切线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
例题2．（2023·重庆·统考二模）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
若点为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：
练透核心考点
1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，， 若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数______.
2．（2023·全国·高二专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________.
角度6：不同切点的公切线问题
典型例题
例题1．（多选）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若存在过点的直线与曲线和都相切，则的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
例题2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与有公共切线，求实数的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则__________.
2．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）若曲线与曲线有一条过原点的公切线，则m的值为__________．
角度7：与切线有关的转化问题
典型例题
例题1．（2023·四川成都·川大附中校考二模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
B． C． D．
练透核心考点
1．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知，则y的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____.
第四部分：数学文化（高观点）题
1．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考）牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f (x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f (x)在点(x1，f (x1))处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f (x)在点(xn，f (xn))(n∈N)处的切线ln＋1，记ln＋1与x轴交点的横坐标为xn＋1，并称xn＋1为r的n＋1次近似值．设f (x)＝x3＋x－1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为________．
2．（2023·全国·高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.
3．（2023·全国·高三专题练习）在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为 __________________.
4．（2023·高二课时练习）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则曲线在点处的切线方程为______；用此结论近似计算的值为______．
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2022·广东佛山·统考模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②的函数____________．
①的图象关于点对称；②曲线在点处的切线方程为
2．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
3．（2022秋·广东佛山·高三统考期中）已知函数经过点，且，请写出一个符合条件的函数表达式：__________.
②探究性试题
1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为，称是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（ ）
A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的三次近似值为
C．
D．
第六部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）函数的导函数满足关系式，则_____________．
3．（2022秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知曲线和，若直线与，都相切，且与的相切于点，则的横坐标为______.
②数形结合得思想
1．（2023·河南郑州·高二校考）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有个，则实数的值为________.
2．（2023·全国·高二专题练习）点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值是，则实数a的值是__________.
③转化与化归思想
1．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若实数，，，满足，则的最小值为__．
第01讲 导数的概念及运算 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背 2
第二部分：高考真题回归 4
第三部分：高频考点一遍过 5
高频考点一：导数的概念 5
高频考点二：导数的运算 8
高频考点三：导数的几何意义 10
角度1：求切线方程（在型） 10
角度2：求切线方程（过型） 11
角度3：已知切线方程（或斜率）求参数 12
角度4：导数与函数图象 14
角度5：共切点的公切线问题 18
角度6：不同切点的公切线问题 21
角度7：与切线有关的转化问题 24
第四部分：数学文化（高观点）题 26
第五部分：高考新题型 28
①开放性试题 28
②探究性试题 30
第六部分：数学思想方法 31
①函数与方程的思想 31
②数形结合得思想 32
③转化与化归思想 34
第一部分：知识点必背
1、平均变化率
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
2、导数的概念
（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
（2）定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
3、导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
5、导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（甲卷理，文）·高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
3．（2021·全国（甲卷理）·高考真题）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
4．（2022·天津·高考真题）已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
【答案】(1)
【详解】（1），故，而，
曲线在点处的切线方程为即.
5．（2022·北京·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
【详解】（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为,
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：B
例题2．（2023秋·陕西·高二校联考期末）设，则（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】B
【详解】，.
故选：B
例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图知：，即.
故选：A
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】因为函数在处的导数为2，
所以.
故选：A
3．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数，则（ ）
A．3 B． C． D．0
【答案】A
【详解】因为，
因为，所以，所以，
故选:A.
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，所以，解得．
故选：A．
例题2．（2023秋·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）已知函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
【答案】C
【详解】解：因为函数，
所以，
则，
解得，
则，
所以，
故选：C
例题3．（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知函数，则__________．
【答案】6
【详解】因为，
所以，
所以，，
所以，
故答案为：6.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【详解】由已知条件得，
则，解得，
故选：A．
2．（多选）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）下列函数求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C正确；
D：，故D错误.
故选：BC.
3．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）若函数满足，则_____________
【答案】1
【详解】因为，
所以，则，解得：，
则，则.
故答案为：1.
高频考点三：导数的几何意义
角度1：求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知函数，那么在点处的切线方程为___________．
【答案】
【详解】由，则，
所以，
又，
所以在点处的切线方程为，即．
故答案为：．
例题2．（2023·贵州贵阳·统考一模）函数在点处的切线方程为___________.
【答案】
【详解】由得，
所以，又，
即为切点，所以切线方程为，即.
故答案为：．
练透核心考点
1．（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为______．
【答案】
【详解】因为，所以．因为，，所以所求切线方程为，即.
故答案为：
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）函数的图像在点处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】由题意，得，
所以，
又，
则所求切线的方程为，
故答案为：
角度2：求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线的方程为__________.
【答案】
【详解】解：设切点坐标为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
又直线l过点，
所以，
整理得，解得，
所以，
直线l的斜率，
所以直线l的方程为，
故答案为：.
例题2．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为____________.
【答案】
【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率，
故切线方程为，又因为点在切线上，
所以，整理得到，
解得，所以切线方程为．
故答案为: .
练透核心考点
1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）写出曲线过点的一条切线方程__________．
【答案】或（写出其中的一个答案即可）
【详解】解：因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
因为当或时，；当时，，
所以函数在处取得极大值，又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．
故答案为：或（写出其中的一个答案即可）
2．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______．
【答案】或
【详解】设切点为，
因为，所以，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过，所以，解得或，
所以切线方程为或.
故答案为：或
角度3：已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为_____________
【答案】
【详解】设切点坐标为，由函数可得，
因为函数有一条斜率为2的切线，所以，
解得，所以切点坐标为，
故答案为：.
例题2．（2023春·天津河东·高二校考阶段练习）已知函数在处的切线与直线垂直，则实数_______.
【答案】
【详解】因为，其中，则，所以，，
易知直线的斜率存在，由题意可得，解得.
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
【答案】
【详解】设直线与曲线的切点为，
对求导得，所以，即，
所以，所以切点为，
由切点在切线上，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是．
故答案为：．
练透核心考点
1．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知函数的图象在处的切线方程为，则__________.
【答案】-1
【详解】因为，所以.
又的 图象在处的切线方程为，所以，解得，
则，所以，代入切线方程得，解得，
所以 ,
故答案为：-1.
2．（2023·全国·高二专题练习）直线是曲线的切线，则______.
【答案】
【详解】设切点坐标为，其中，对函数求导得，
所以，切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
所以，，解得.
故答案为：.
3．（2023·全国·高二专题练习）若直线是曲线的切线，则________．
【答案】2
【详解】对函数求导得，设直线与曲线相切于点，则，由点在切线上得，即，所以，解得，．
故答案为：2
角度4：导数与函数图象
典型例题
例题1．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C.
例题2．（2022·高二课时练习）已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题中的图象可以看出，在内，，
且在内，单调递增，
在内，单调递减，
所以函数在内单调递增，
且其图象在内越来越陡峭，
在内越来越平缓．
故选：D．
例题3．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）如图，直线是曲线在处的切线，则___________.
【答案】
【详解】直线过点，，直线斜率，
又直线是在处的切线，，又，
.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2022·江苏·高二专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由图可知函数在点的切线斜率小于，即，
在点的切线斜率等于，即，
在点的切线斜率大于，即，
所以；
故选：B
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，，，，则关于排序正确的是_____________．
【答案】
【详解】由图象知在上单调递增，
又过点和点的直线的斜率为，
由导数的几何意义，知为曲线在处的切线方程的斜率，
为曲线在处的切线方程的斜率，如图，
得，
即．
故答案为：
3．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．
【答案】##5.5
【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，
又由直线是曲线在点处的切线，则，
所以．
故答案为：
角度5：共切点的公切线问题
典型例题
例题1．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点是曲线与曲线的公共切点，则两曲线在点处的公共切线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【详解】设点的坐标为
对曲线求导得，
对曲线求导得，得解得，得点坐标为，切线为．
故答案为B.
例题2．（2023·重庆·统考二模）已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________.
【答案】
【详解】函数的图象在处的切线的切点为，
因为，所以切线斜率为，切线方程为，即，
设的图象的切线的切点为，因为，所以切线斜率为，
切线方程为，即，
由题，解得，，斜率为.
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.
（1）若点为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题意可知，与的图象在唯一公共点处的切线相同，
又因为，，
所以，即，
由得，可得或.
由点唯一可得或，即或，
所以，由可得，可得，合乎题意.
综上可得，；
练透核心考点
1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，， 若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数______.
【答案】1
【详解】，，
设公共点为，则，即，消得
，
令，
∴在上单调递增，又，∴，．.
故答案为：1.
2．（2023·全国·高二专题练习）若曲线和曲线存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________.
【答案】
【详解】，，则有，．
设公共切点的坐标为，，则
，，
，．
根据题意，有
，解得．
公切线的切点坐标为，切线斜率为2．
公切线的方程为，即．
故答案为：
角度6：不同切点的公切线问题
典型例题
例题1．（多选）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）若存在过点的直线与曲线和都相切，则的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】AB
【详解】由题意可得，，
因为在直线l上，当为的切点时，
则，所以直线l的方程为，
又直线l与相切，
所以满足，得；
当不是的切点时，
设切点为，
则，
所以，得，
所以，所以直线的方程为.
由，得，
由题意得，所以.
综上得或.
故选:AB
例题2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为______．
【答案】
【详解】设直线与曲线和分别相切于，两点，
分别求导，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因为直线为两曲线的公切线，
所以，解得，
所以直线的方程为，令，则．
则直线与轴的交点坐标为．
故答案为：.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线与有公共切线，求实数的取值范围．
【答案】．
【详解】设切线与相切于点，则，
∴切线方程为，即，
联立得，
∴，即，
即有解，令，
则，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，又时，，
故的值域为，
∴，即，
故实数a的取值范围是
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则__________.
【答案】
【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，.
因为，所以该公切线的方程为
同理可得，该公切线的方程也可以表示为
因为该公切线过原点，所以，解得.
故答案为：
2．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）若曲线与曲线有一条过原点的公切线，则m的值为__________．
【答案】8或
【详解】因为过原点斜率不存在的直线为，该直线与曲线不相切，
所以设曲线的过原点的切线的方程为，切点为，
则，，，
所以，
当时，，
所以直线与曲线相切，设切点为，
则，，，
所以或，
当时，，
当时，，
当时，，
则，，，
满足方程的解不存在，故不存在.
所以或，
故答案为：8或.
角度7：与切线有关的转化问题
典型例题
例题1．（2023·四川成都·川大附中校考二模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.
设切点为，，
所以，切线斜率为，
由题知得或（舍），
所以，，此时点到直线距离.
故选：C
例题2．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：可以理解为点之间距离的平方，
即，
可知在函数的图象上，在直线上，
可得，
设函数在点处的切线与直线平行，则直线的斜率为1，
可得，整理得，
∵在定义域内单调递增，且，
∴方程有且仅有一个解，
则，
故的最小值为点到直线的距离，
故的最小值为.
故选：C.
练透核心考点
1．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知，则y的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：可以理解为点之间距离的平方，
即，
可知在函数的图像上，在直线上，
可得，
设函数在点处的切线与直线平行，则直线的斜率为1，
可得，整理得，
∵在定义域内单调递增，且，
∴方程有且仅有一个解，则，
故的最小值为点到直线的距离，
故的最小值为.
故选：C.
2．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是_____.
【答案】
【详解】设直线与相切，则切线的斜率为
且，令，则，即切点的横坐标为，
将，代入，可得，即切点坐标为，
所以点P到直线的距离的最小值即为到直线的距离，
即，
故答案为:
第四部分：数学文化（高观点）题
1．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考）牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数y＝f (x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，作曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；作曲线y＝f (x)在点(x1，f (x1))处的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，并称x2为r的2次近似值．一般的，作曲线y＝f (x)在点(xn，f (xn))(n∈N)处的切线ln＋1，记ln＋1与x轴交点的横坐标为xn＋1，并称xn＋1为r的n＋1次近似值．设f (x)＝x3＋x－1的零点为r，取x0＝0，则r的2次近似值为________．
【答案】##
【详解】由，得，取，，
所以过点作曲线的切线的斜率为1，
所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为1，即，
因为，所以过点作曲线的切线的斜率为4，
所以直线的方程为，其与轴交点的横坐标为，即，
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为___________（结果保留两位小数）.
【答案】
【详解】由，，所以在处的切线方程为：，令，
可得：，所以在处的切线方程为：，令，
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为 __________________.
【答案】
【详解】解：当x∈[﹣1，1]时，由拉格朗日中值定理可得＝，
∵f'（x）＝ex+m，
∴+m，即，
∴.
故答案为：.
4．（2023·高二课时练习）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则曲线在点处的切线方程为______；用此结论近似计算的值为______．
【答案】 ##
【详解】，则，，又，所以切线方程为，
由近似计算理论有，所以．
故答案为：；．
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2022·广东佛山·统考模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②的函数____________．
①的图象关于点对称；②曲线在点处的切线方程为
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为曲线在点处的切线方程为，
故切点为，，
由的图象关于点对称可得为一个奇函数向上平移1个单位长度得到，
结合以上条件，故不妨令，定义域为R，
且，
故的图象关于点对称，
又，，
且，
故在点处的切线方程为，
整理得：，满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
2．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为，
所以，
不妨设直线l与的切点为，斜率为，
则，解得或或，
当时，直线l为；
当时，直线l为，即；
当时，直线l为，即；
综上：直线l的方程为或或.
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2022秋·广东佛山·高三统考期中）已知函数经过点，且，请写出一个符合条件的函数表达式：__________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】不妨考虑为一次函数情况，设，满足，
进而，由得，所以，
故答案为：
②探究性试题
1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法—牛顿迭代法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为，称是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（ ）
A．若取初始近似值为1，则过点作曲线的切线
B．若取初始近似值为1，则该方程解的三次近似值为
C．
D．
【答案】ABD
【详解】解：构造函数，则，取初始近似值，，，则，即，则A正确；
，，
，则B正确；
根据题意，可知，
上述式子相加，得，C不正确，则D正确.
故选：ABD.
第六部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
故，即，
所以.
故选：B.
2．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）函数的导函数满足关系式，则_____________．
【答案】
【详解】由，函数两边求导得：，
令，则，所以
代入函数得：．
故答案为：
3．（2022秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知曲线和，若直线与，都相切，且与的相切于点，则的横坐标为______.
【答案】
【详解】由题意，，
设与相切于点，
在中， ，，，
在中，，，，
∵直线与，都相切，
∴，即，
在中，函数单调递增，
∴
∵，即
∴，即，
∴解得
∴
故选：C.
②数形结合得思想
1．（2023·河南郑州·高二校考）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有个，则实数的值为________.
【答案】
【详解】设，则点到直线的距离，
满足题意的点有且仅有个，有且仅有个不同解；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，；
当，即时，图象如下图所示，
即与至多有个交点，即方程至多有个不同解，不合题意；
当，即时，图象如下图所示，
若与有且仅有个不同交点，则，解得：，
即当时，方程有且仅有个不同解；
综上所述：.
故答案为：.
2．（2023·全国·高二专题练习）点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值是，则实数a的值是__________.
【答案】
【详解】由题设且，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，如图所示，
当为平行于并与曲线相切直线的切点时，距离最近.
令，可得（舍）或，
所以，则曲线上切线斜率为1的切点为，
所以，即（舍去）或，
故答案为：.
③转化与化归思想
1．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式成立，
即，即，
其几何意义表示点与的距离的平方不超过，即最大值为．
∵为直线：即上一点，
∴设与平行，且与相切于点，
∴，由导数的几何意义，在点处切线的斜率，
∴解得，∴，
∴直线：上的点与曲线的距离的最小值即点到直线的距离，
∴当且仅当时，，
∴解得，
综上所述，的取值集合为．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）若实数，，，满足，则的最小值为__．
【答案】
【详解】实数，，，满足，
，．分别设，．
则的最小值可看做曲线和直线上的动点与的最小距离，
设直线与曲线相切于点，．
则，，解得，．
．点到直线的距离．
即的最小值为．
故答案为：．

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