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第一章 数与式
第四节 二次根式及其运算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的相关概念 ☆ 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
考点2 二次根式的基本性质 ☆☆
考点3二次根式的运算 ☆☆
1．二次根式的有关概念：
(1)二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数不含分母．
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
（3）二次根式有意义的条件，分式有意义的条件：
(1)当代数式是整式时，字母(未知数)可取全体实数；(2)当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当代数式是二次根式时，被开方数非负
2．二次根式的性质：
（1）()2＝a(a≥0)．
（2）＝|a|＝
（3）＝·(a≥0，b≥0)．
（4）＝(a≥0，b＞0)．
二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．
3．二次根式的运算：
(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．
(2)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)．
(3)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点一　二次根式的相关概念
◇典例1：（2023 婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是 　x≥2　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】x≥2．
【点拨】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
【解析】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2
故答案为：x≥2．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
◆变式训练
1．（2021 丽水）要使式子有意义，则x可取的一个数是　4（答案不唯一）　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】4（答案不唯一）．
【点拨】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．
【解析】解：要使式子有意义，必须x﹣3≥0，
解得：x≥3，
所以x可取的一个数是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，注意：式子中a≥0．
2．（2022 江北区模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂．
【答案】C
【点拨】利用分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．
【解析】解：根据题意得：x+1＞0且x≠0，
解得：x＞﹣1且x≠0，
故选：C．
【点睛】此题考查的是分式分母不为0和二次根式、零指数幂有意义的条件，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
■考点二 二次根式的性质
◇典例2：（2022 河北）下列正确的是（　　）
A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32 D．＝0.7
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】B
【点拨】根据＝判断A选项；根据＝ （a≥0，b≥0）判断B选项；根据＝|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．
【解析】解：A、原式＝，故该选项不符合题意；
B、原式＝×＝2×3，故该选项符合题意；
C、原式＝＝92，故该选项不符合题意；
D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握＝ （a≥0，b≥0）是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022 桂林）化简的结果是（　　）
A． B．3 C． D．2
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】A
【点拨】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【解析】解：＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
2．（2022 内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+|a﹣1|的化简结果是（　　）
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【答案】B
【点拨】根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0，根据＝|a|和绝对值的性质化简即可．
【解析】解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握＝|a|是解题的关键．
■考点三 二次根式的运算
◇典例3：（2021 西宁）计算：．
【考点】二次根式的混合运算；完全平方公式；平方差公式．
【答案】﹣8+2．
【点拨】利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解析】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）
＝﹣4﹣4+2
＝﹣8+2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
◆变式训练
1．（2022 拱墅区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】C
【点拨】利用二次根式的加减法法则计算A、B，利用二次根式的乘、除法法则计算C、D，根据计算结果判断即可．
【解析】解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
3﹣＝2≠3，故选项B错误；
×＝，故选项C错误；
÷＝＝2≠4，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
2．（2022 青岛）计算的结果是（　　）
A． B．1 C． D．3
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】B
【点拨】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
【解析】解：（﹣）×
＝﹣
＝﹣
＝3﹣2
＝1，
故选：B．
【点睛】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
3．（2022 甘肃）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】﹣．
【点拨】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．
【解析】解：原式＝﹣2
＝﹣．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握 ＝（a≥0，b≥0）是解题的关键．
4．（2023 金昌）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】6．
【点拨】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解析】解：原式＝3××2﹣6
＝12﹣6
＝6．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
■考点四　 二次根式的化简求值及应用
◇典例4：（2020 金华二模）先化简，再求值：，其中a＝+1．
【考点】二次根式的化简求值．
【答案】2a﹣2，2．
【点拨】原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解析】解：原式＝a2﹣2﹣a2+2a
＝2a﹣2，
当a＝+1时，原式＝2（+1）﹣2＝2．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◆变式训练
1．（2022 瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为 　3﹣2　．
【考点】二次根式的化简求值．
【答案】3﹣2．
【点拨】由a＝+1，得a﹣1＝，再代入所求式子计算即可．
【解析】解：∵a＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2﹣2a+2
＝（）2﹣2（+1）+2
＝3﹣2﹣2+2
＝3﹣2，
故答案为：3﹣2．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是整体思想的应用．
1．（2023 金华）要使有意义，则x的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】D
【点拨】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．
【解析】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
则x的值可以是2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（2021 杭州）下列计算正确的是（　　）
A． B． C．＝±2 D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】A
【点拨】利用二次根式的性质可知答案．
【解析】解：A.，符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，关键是熟记性质进行计算．
3．（2023 慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【答案】A
【点拨】分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解析】解：依题意得：x﹣2＞0，
解得x＞2．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式是解题的关键．
4．（2023 萧山区一模）已知，则实数a的值为（　　）
A．9 B．3 C． D．±3
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】D
【点拨】利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
【解析】解：∵，
∴a2＝9，
∴a＝±3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2023 南湖区一模）下列各式中，正确的是（　　）
A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C． D．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【答案】A
【点拨】根据幂的运算，算术平方根，平方根的意义计算即可．
【解析】解：A、（﹣3）2＝9，符合题意；
B、（﹣2）3＝﹣8，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的运算，算术平方根，平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（2022 杭州）计算：＝　2　；（﹣2）2＝　4　．
【考点】最简二次根式；有理数的乘方．
【答案】2，4．
【点拨】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．
【解析】解：＝2，（﹣2）2＝4，
故答案为：2，4．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．
7．（2022 萧山区一模）计算：＝　　．
【考点】二次根式的乘除法．
【答案】
【点拨】根据二次根式的乘法法则计算．
【解析】解：＝＝．
故答案为：．
【点睛】考查二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）．
8．（2023 杭州）计算：＝　﹣　．
【考点】二次根式的加减法．
【答案】﹣．
【点拨】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：原式＝﹣2
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．（2023 浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝　2　．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【答案】2．
【点拨】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
【解析】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴﹣2m+9＝5m﹣5，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
10．（2023 龙游县一模）已知：：a＝，b＝，则＝　2　．
【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；零指数幂；负整数指数幂．
【答案】2．
【点拨】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
【解析】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，
∴
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
11．（2021 丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；解二元一次方程组．
【答案】B
【点拨】首先解方程组求得x，y的值，则a2，b2的值即可求得，然后代入代数式即可求解．
【解析】解：解方程组，得：，
则a2＝x+y＝9，b2＝x﹣y＝7﹣2＝5．
则＝＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，以及二次根式的化简，正确求得x，y的值是关键．
12．（2023 萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：
解：原式＝．
试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【答案】婷婷的解答过程正确，求解过程见解析．
【点拨】根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则即可得出婷婷的解答过程正确，先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【解析】解：婷婷的解答过程正确，另一种解答过程如下：
×
＝
＝
＝12．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除和二次根式的性质与化简，能灵活运用二次根式的乘法法则和二次根式的性质进行计算是接此题的关键．
13．（2021 永嘉县校级模拟）计算：．
【考点】二次根式的加减法．
【答案】3﹣．
【点拨】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【解析】解：原式＝2﹣3+3×+2
＝2﹣3++2
＝3﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
14．（2023 舟山二模）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：7　+4　＝（ 2　+1　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【考点】二次根式的混合运算；完全平方式．
【答案】m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点拨】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解析】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
1．（2021 金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠0
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【答案】C
【点拨】根据被开方数为非负数并且分母不能为0可得问题的答案．
【解析】解：根据题意得x+1≥0，且x≠0．
∴x≥﹣1且x≠0．
故选：C．
【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数为非负数并且分母不能为0是解决此题关键．
2．（2023 杭州二模）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】C
【点拨】二次根式的被开方数是非负数，算术平方根的开方结果也是非负数，当a的值不确定时要分情况讨论，即带上绝对值符号．
【解析】解：∵a的值不确定，可取任意实数，
∴＝|a|．
故选：C．
【点睛】主要考查了二次根式的化简．在化简的过程中要注意：＝|a|．其中a可取任意实数．
3．（2022 湖北）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】D
【点拨】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【解析】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2023 滨江区校级模拟）的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的乘除法．
【答案】B
【点拨】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式＝2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的乘法，解题的关键是熟练运用乘法运算法则，本题属于基础题型．
5．（2023 温岭市一模）式子成立的条件是（　　）
A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1
【考点】二次根式的乘除法．
【答案】C
【点拨】利用二次根式的除法法则及负数没有平方根求出x的范围即可．
【解析】解：根据题意得：，
解得：0＜x≤1，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2021 上城区校级一模）计算，结果正确的是（　　）
A．+2 B．10 C．4 D．
【考点】二次根式的加减法．
【答案】C
【点拨】直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：+＝+3
＝4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
7．（2022 安顺）估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．
【答案】B
【点拨】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解析】解：原式＝2+，
∵3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
8．（2022 衢州）计算 ＝　2　．
【考点】二次根式的乘除法．
【答案】2
【点拨】直接计算即可．
【解析】解：原式＝2．
故答案是2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
9．（2021 金华）二次根式中，字母x的取值范围是 　x≥3　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】x≥3
【点拨】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
【解析】解：当x﹣3≥0时，二次根式有意义，
则x≥3；
故答案为：x≥3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、不等式的解法；熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
10．（2022 哈尔滨）计算的结果是 　2　．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【答案】2．
【点拨】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．
【解析】解：原式＝+3×
＝
＝2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
11．（2023 内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝　2﹣m　．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【答案】2﹣m．
【点拨】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可．
【解析】解：由数轴可知：1＜m＜2，
∴m﹣2＜0，
∴＝|m﹣2|＝2﹣m．
故答案为：2﹣m．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．
12．（2021 衢州）若有意义，则x的值可以是 　2（答案不唯一）　．（写出一个即可）
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】2（答案不唯一）．
【点拨】由题意可得：x﹣1≥0，解不等式即可得出答案．
【解析】解：由题意可得：
x﹣1≥0，
即x≥1．
则x的值可以是大于等于1的任意实数．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练应用二次根式有意义的条件进行计算是解决本题的关键．
13．（2023 兰州）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】．
【点拨】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质化简，进而计算得出答案．
【解析】解：原式＝3﹣2
＝．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（2022 仙居县二模）计算：．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；负整数指数幂．
【答案】3．
【点拨】直接利用负整数指数幂的性质以及平方差公式化简，进而计算得出答案．
【解析】解：原式＝+3﹣
＝3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．
15．（2023 南湖区二模）化简：，以下是小曹同学的解答过程．思考并完成以下任务．解：原式＝①；＝②；＝2③；任务：
（1）小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；
（2）请尝试写出正确的化简过程．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【答案】（1）①，二次根式化简出错；
（2）2﹣2．
【点拨】（1）直接利用二次根式的性质判断得出答案；
（2）利用二次根式的性质结合二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：（1）小曹的解答过程是从第①步开始出错，错误的原因是二次根式化简出错；
（2）原式＝﹣（2﹣）
＝﹣2+
＝2﹣2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
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第一章 数与式
第四节 二次根式及其运算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的相关概念 ☆ 中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.
考点2 二次根式的基本性质 ☆☆
考点3二次根式的运算 ☆☆
1．二次根式的有关概念：
(1)二次根式：式子 叫做二次根式．
(2)最简二次根式需满足两个条件：
①被开方数 ．
②被开方数中 的因数或因式．
（3）二次根式有意义的条件，分式有意义的条件：
(1)当代数式是整式时，字母(未知数)可取全体实数；(2)当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当代数式是二次根式时，被开方数非负
2．二次根式的性质：
（1）()2＝ (a≥0)．
（2）＝ ＝
（3）＝ (a≥0，b≥0)．
（4）＝ (a≥0，b＞0)．
二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．
3．二次根式的运算：
(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．
(2)二次根式的乘法：·＝ (a≥0，b≥0)．
(3)二次根式的除法：＝ (a≥0，b＞0)．
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．
■考点一　二次根式的相关概念
◇典例1：（2023 婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是 　．
◆变式训练
1．（2021 丽水）要使式子有意义，则x可取的一个数是　 　．
2．（2022 江北区模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0
■考点二 二次根式的性质
◇典例2：（2022 河北）下列正确的是（　　）
A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32 D．＝0.7
◆变式训练
1．（2022 桂林）化简的结果是（　　）
A． B．3 C． D．2
2．（2022 内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+|a﹣1|的化简结果是（　　）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
■考点三 二次根式的运算
◇典例3：（2021 西宁）计算：．
◆变式训练
1．（2022 拱墅区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 青岛）计算的结果是（　　）
A． B．1 C． D．3
3．（2022 甘肃）计算：．
4．（2023 金昌）计算：．
■考点四　 二次根式的化简求值及应用
◇典例4：（2020 金华二模）先化简，再求值：，其中a＝+1．
◆变式训练
（2022 瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为 　．
1．（2023 金华）要使有意义，则x的值可以是（　　
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
2．（2021 杭州）下列计算正确的是（　　）
A． B． C．＝±2 D．
3．（2023 慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2
4．（2023 萧山区一模）已知，则实数a的值为（　　）
A．9 B．3 C． D．±3
5．（2023 南湖区一模）下列各式中，正确的是（　　）
A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C． D．
6．（2022 杭州）计算：＝　 　；（﹣2）2＝　 　．
7．（2022 萧山区一模）计算：＝　 　．
8．（2023 杭州）计算：＝　 　．
9．（2023 浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝　 　．
10．（2023 龙游县一模）已知：a＝，b＝，则＝　　．
11．（2021 丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
12．（2023 萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：
解：原式＝．
试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．
13．（2021 永嘉县校级模拟）计算：．
14．（2023 舟山二模）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 　+　　＝（ 　　+　　 ）2；
（3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值．
1．（2021 金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠0
2．（2023 杭州二模）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 湖北）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 滨江区校级模拟）的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 温岭市一模）式子成立的条件是（　　）
A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1
6．（2021 上城区校级一模）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 安顺）估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8．（2022 衢州）计算 ＝　 　．
9．（2021 金华）二次根式中，字母x的取值范围是 　 　．
10．（2022 哈尔滨）计算的结果是 　 　．
11．（2023 内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝　 　．
12．（2021 衢州）若有意义，则x的值可以是 　 　．（写出一个即可）
13．（2023 兰州）计算：．
14．（2022 仙居县二模）计算：．
15．（2023 南湖区二模）化简：，以下是小曹同学的解答过程．思考并完成以下任务．解：原式＝①；＝②；＝2③；任务：
（1）小曹的解答过程是从第几步开始出错的，请指出错误的原因；
（2）请尝试写出正确的化简过程．
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