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汕头市潮阳实验学校2024届普通高中毕业年级联合
模拟考试（二）
一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
三、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.
6 3
13 ．-6 14 ． 77 15 ． 0, 16 e
3
． 1,e

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 1 S 1（ ）因为 absinC 3 ab，所以 sinC 3 ，
2 4 2
π
又 ABC为锐角三角形，所以C ；
3
（2）由余弦定理可知，c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab (a b) 2 3ab，
因为 a b 6 2 ab ，所以ab 9，当且仅当 a b 3时，等号成立，
所以 c2 (a b)2 3ab 36 27 9 ，即 c 3，所以c的最小值为3.
18.
（1）点 (
1 , 1 ) 1 1在直线 y x 2上，得 2an 1 an an 1 a
，
n
1 1
所以数列 是以首项为 = 1a ，公差为2的等差数列． an 1
1
故 1 2 n 1 2n 1 1a ，即 an ．n 2n 1
a a 1 12
1 1
（ ） n 1 n ，(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
T 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 n 1 2 3 2

3 5 2 2n 1 2n 1
汕头联考二模 数学参考答案 第1页，共6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
T 1 1 1 + 1 1 1 1 = 1 1 1即 n 1 ，因 n 1,2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 n N
* ，故T ，
n 2
T 1 25故要使 n 3m 12 对 n N* 恒成立，需使3m 12 ，即m ，2 6
又m Z，所以m的最小值为5.
19.（1）取 AB中点O，连接OC,OA1,BA1
三棱柱 ABC - A1B1C1的所有棱长都为2
则CA CB AB AA1 2，又O为 AB中点，所以 AB OC，且OC 3
又 AB A1C， A1C OC C ,A1C ,OC 平面 A1CO
所以 AB 平面 A1CO，因为OA1 平面 A1CO，所以 AB OA1
因为O为 AB中点，所以 AA1 BA1，三角形 ABA1为等边三角形，所以OA1 3
由 A1C 6
2
，可得 A1C OC
2 OA21 ，所以OC OA1
又OA1 AB O,OA1, AB 平面 ABB1A1，所以OC 平面 ABB1A1
因为OC 平面 ABC，平面 ABC 平面 ABB1A1；
（2）由（1）可知OC OA1，OC AB， AB OA1，如图，以O为原点，OA,OA1 ,OC所在
直线为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系
则 A1 0, 3,0 ,B 1,0,0 ,B1 2, 3,0 ,C 0,0, 3 ， E 3 ,
3 ,0
2 2



由于OC 平面 ABB1A1，E 平面 ABB1A1，即OC 0,0, 3 可作为平面 A1EA的一个法向量

设平面CA
3 3
1E的法向量为 n x, y, z ，又 A1E , , 0 ,CA1 0, 3, 3
2 2
汕头联考二模 数学参考答案 第2页，共6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}

n
AE 3 x 3 1 y 0 y 3x
所以 2 2 ，令 x 1，则 n 1, 3, 3 y z
n CA1 3y 3z 0


所以 cosOC, n
OC n 3 21
，
OC n 3 7 7
21
由图可知二面角C A1E A为锐二面角，故二面角C A1E A的余弦值为 .
7
20.（1）依题意可得，随机变量 X {3,5,7,9}，
1
3 3
1 1
设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则 P C2 C33 2 3 2
，
2
P(X 3) 1
3 3

1,P X 5 C 1 1 3则 3 ，
2 8 2 8
3 3
P(X 7) C2 1 33 ,P X 9
1 1
2 8 2
，
8
故X的分布列为：
X 3 5 7 9
1 3 3 1P
8 8 8 8
故 E X 3 1 5 3 7 3 1 9 6 ；
8 8 8 8
（2）证明：设在甲参加了的2n n N* 局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y，
则所获总分为3Y (2n Y ) 2Y 2n，若 2Y 2n 4n，则Y n，
则 p1 P Y n ，因为 p(Y n) p(Y n) ，
2n 2n 2
1 Cn 1 1 Cn 1 1
故 1 P Y n 2n ，同理可得 2n 2 ,
p 2 1 p
2
2 2 2 2
1 2n 3 1 2n 1 2n 1p p Cn 1 Cn 1 1则 n 11 2 2n 2 2n ( C2n 2 C
n
2n)
2 2 2 4
1 2n 1 2n 2 ! 2n ! [ ]
2 4 n 1 ! n 1 ! n!n!n !
2n 1
1 2n ![(2n 2)(2n 1) 4(n 1)2 ] 2 4 n 1 ! n 1 !
1 2n 1 2n !( 2n 2) 2 0， 4(n 1)!(n 1)!
汕头联考二模 数学参考答案 第3页，共6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
故 p1 p2 .
21.（1）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，因为 P 2,4 在抛物线上，
所以16 4p，所以 p 4 ，所以C : y2 8x，
不妨设M 在N的左边，过 P作 PQ垂直于 x轴交于Q点，如下图，
因为 PM PN，所以 PMQ PNQ，
因为 PNQ PNx 180 ，
所以 PMQ PNx 180 ，
所以直线 PM ,PN 的倾斜角互补，
所以 kPM kPN 0，
显然 A,B不与 P关于 x轴的对称点重合，所以 x1 2, x2 2，
k k y 4 y 4 8 y 4 y 4 8 1 1 k 2 2
又因为 PA PM x 2 1 y 4 ， PB
kPN
1 y21 2
1
1 x2 2 y22 2
y2 4 ，
8 8
8 8
所以 0 ，所以 y1 4 yy 4 y 4 2
4，所以 y1 y2 8，
1 2
k y2 y1 y2 y 1 8
所以 AB x x y2
1
2 1 2 y
2
1 y1 y2 ，
8 8
即直线 AB的斜率为 1；
（2）设 AB : y x m，
y x m
联立 2 可得 y
2 8y 8m 0，
y 8x
所以 y1 y2 8, y1y2 8m，
且Δ 64 4 1 8m 0，所以m 2，
若M 与O重合，此时m 0，
由上可知m 2,0 ，
汕头联考二模 数学参考答案 第4页，共6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
2
又 AB 1 1 2 y1 y2 4y1y2 2 64 32m 8 m 2 ，
k
m 6
且 P到直线 AB的距离d ，
2
1 2
所以 S PAB d AB 2 2 6 m m 2 ，2
令 f m 2 6 m m 2 ,m 2,0 ，
所以 f m 3m 2 m 6 0，
所以 f m 在 2,0 上单调递增，且 f 0 72, f 2 0，
所以 PAB的面积取值范围是 2 2 0,2 2 72 ，即为 0,24 .
22.（1）函数的定义域为 0, ，
a 1 1 ax 1 x 1
求导得 f x a ，
x x 2 x 2
1
令 f x 0得 x1 ， x 1，a 2
1 1 1
当 a 1时， 1，当0 x 或 x 1时， f (x) > 0；当 x 1时， f x 0，a a a
则 f x 在 0,
1
， 1,
1
单调递增，在 ,1 单调递减；
a a
当 a 1时， f x 0恒成立，故 f x 在 0, 单调递增；
1 1 1
当 0 a 1时， 1，当 0 x 1或 x 时， f (x) > 0 ，当1 x 时， f x 0，a a a
f x 0,1 1 , 1 则 在 ， 单调递增，在 1, 单调递减．
a a
1 1
综上，当 a 1时， f x 在 0, ， 1, 单调递增，在 ,1 单调递减；
a a
当 a 1时， f x 在 0, 单调递增；
当 0 a 1时， f x 在 0,1 1， ,
1

a
单调递增，在 1, 单调递减；
a
（2）将 f x ax a 1 lnx 1 代入 g x ≥ax a 3 ln x 1 1中，
x x
x2e2x ax a 1 ln x 1 ax a 3 ln x 1 1，
x x
化简得 x2e2x 2 ln x 1 2ax，不等式两边同减去 2x得，
x2e2x 2 ln x 2x 1 2ax 2x，
汕头联考二模 数学参考答案 第5页，共6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
x2 2x可化为 e ln x2e2x 1 2 a 1 x，
令 h x x ln x 1 h x 1 1 x 1，则 ，
x x
易知当 x 0,1 时， h x 0， h x 单调递减，
当 x 1, 时， h x 0， h x 单调递增，
所以 h x min h 1 0 ，从而h x 0当且仅当 x 1时等号成立，
x2则 e2x ln x2e2x 1 0当且仅当 x2e2x 1时等号成立，
2 2x 2x 2 2x 2x
令u x x e ，u x 2xe 2x e 2xe 1 x ，
2 2x
故当 x 1或 x 0 时，u x 0，u x x e 单调递增，
当 1 x 0时，u x 0，u x x2e2x单调递减，
u 1 e 2 0，u 0 0，u 1 e2 1，
故存在 x0 0,1 ，满足 x 2e2x00 1，
当 a 1 x2时， e2x ln x2e2x 1 0， 2 a 1 x≤ 0，可得原不等式成立；
当 a 1时，由于存在 x0 0,1 x 2e2x，满足 00 1，
2 2x 2 2x
从而使得 x e ln x e 1 0，
而 2 a 1 x 0 ，于是 g x ≥ax 1 a 3 ln x 1不恒成立．
x
综上，实数a的取值范围是 ,1 ．
汕头联考二模 数学参考答案 第6页，共6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}★启用前注意保密
汕头市潮阳实验学校 2024 届普通高中毕业年级联合
模拟考试（二）数 学
本试卷共 4页，22小题，满分 120分 考试时间 120分钟
注意事项：
1. 答卷前, 考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考
证号填写在答题卡上, 将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选
项的答案信息点涂黑；如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。答案
不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各
题目指定区域内相应位置上；如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新
答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 A 1,2 , 2,1 , B x, y∣ x y 1 ，则 A B （ ）
A． 2,1 B． 1,2 C． 2,1 D． 1,2
2 3．设 z 2 2i i i ，则 z （ ）
A． 2 i B． 2 i
C． 1 2i D． 1 2i
3．在平行四边形 ABCD中，点 E是CD上靠近C的四等分点， BE与 AC交于点 F ，则

DF （ ）
3 2 2 3
A． AB AD B． AB AD
5 5 5 5
3
C． AB
1 AD 4 D． AB
1 AD
4 4 5 5
4 ABC sin Acos A cos2
1
．锐角 中，若 A ，则 A （ ）
2
π π π π
A． B． C． D．
12 8 6 4
5．设数列 an 满足 a1 2a2 3a3 nan 2n 1 n a N* n ，则数列 的前 10项和为
n 1


（ ）
20 11 51 23A． B． C． D．
11 6 22 6
汕头联考二模 高三数学试卷 试卷第 1页，共 6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
6．在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 、 N为线段 BD1上的两个三等分点，
动点G
1
在V AB1C内，且 S△GMN ，则G点的轨迹长度为（ ）6
A 3π． B 3π 3π 2 3π． C． D．
6 4 3 3
7 x
2 1
．设双曲线 y2 1的左、右焦点为F1、F2，渐近线方程为 y x2 ，过 F1直线 l交a 2
双曲线左支于 A、B两点，则 AF2 BF2 的最小值为（ ）
15
A．9 B．10 C．14 D．
2
8．若直线 y ax b与曲线 y 2 ln x相切，则 a b的取值范围为（ ）
A． e, 1 B． , e
C． 2, D． 1,
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错
的得 0分.
9．某地教师招聘考试，有 3200人参加笔试，满分为 100分，笔试成绩前 20%（含 20%）
的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计
图所示，则（ ）
A．90后考生比 00后考生多 150人 B．笔试成绩的 60%分位数为 80
C．参加面试的考生的成绩最低为 86分 D．笔试成绩的平均分为 76分
10．已知 tan tan tan kπ，其中 k Z 且 mπ m Z ，则下列结论
2 2
一定正确的是（ ）
A． sin sin 0 B． sin 0
C．cos 1 D． sin2 cos2 1
汕头联考二模 高三数学试卷 试卷第 2页，共 6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
11．在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中， P是线段C1D1上的动点，则（ ）
A．存在点 P，使 BP 3
B．存在点 P，使点 P到直线 BD1的距离为 2
1
C．存在点 P，使直线 B1P与 BD1所成角的余弦值为 3
D．存在点 P，使点A，C到平面 BB1P的距离之和为 3
12．已知定义域为R 的函数 f x 满足 f x y f x f y xy x y , f x 为 f x
的导函数，且 f 1 2，则（ ）
A． f x 为奇函数 B． f x 在 x 2处的切线斜率为 7
C． f 3 12 D．对
f x
x , x 0, , x x , f x1 x2 1 f x2 1 2 1 2
2 2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
6
13．若m 0，且 x 2 x m a 2 3 121 a1x a2 x a3x a12 x ，则m的值为 .
14．已知数列 an 满足 an 2n，在 an 和 an 1之间插入 n个 1，构成新的数列 bn ，则数列
bn 的前 20项的和为 .
x215．已知椭圆 22 y 1(a 1)， ABC是以点 B(0,1)为直角顶点的等腰直角三角形，直a
角边 BA,BC与椭圆分别交于另外两点 A,C．若这样的 ABC有且仅有一个，则该椭圆
的离心率的取值范围是 ．
16 f x 4ax x4．已知函数 ln a（ a 0且 a 1）在 0, 上有两个极值点x ，x1 2，
则实数 a的取值范围为 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
17．（本题 10分）在锐角 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 a b 6，且
ABC的面积 S 3 ab .
4
(1)求C；
(2)求c的最小值.
汕头联考二模 高三数学试卷 试卷第 3页，共 6页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
1 1
18．（本题 12分）已知数列 an 满足 a1 1，且点 ( , )在直线 y x 2a 上.n 1 an
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)数列{a *nan 1}前 n项和为Tn，求能使Tn 3m 12对 n N 恒成立的m（m Z）的最小
值.
19．（本题 12分）．如图，三棱柱 ABC - A1B1C1的所有棱长都为 2，A1C 6，AB A1C .
(1)求证：平面 ABC 平面 ABB1A1；
(2)若 E是棱 BB1的中点，求二面角C A1E A的余弦值.
汕头联考二模 高三数学试卷 试卷第 4页，共 6页
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20．（本题 12分）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答
3道题，若回答正确的次数不低于 2次，该局得 3分，否则得 1分，每次回答的结果相
1
互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为 2 ．
(1)若甲参加了 3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量 X ，求 X 的分布列与期望；
(2) 2n n N*若甲参加了 *局禁毒知识挑战赛，乙参加了 2n 2 n N 局禁毒知识挑战
赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于 4n的概率为 p1，乙在禁毒知识挑战赛中
获得的总分大于 4n 4的概率为 p2，证明： p1 p2．
汕头联考二模 高三数学试卷 试卷第 5页，共 6页
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21．（本题 12分）在直角坐标系 xOy中，点 P 2,4 为抛物线C : y2 2px（ p 0）上一
点，点 M、N为 x轴正半轴（不含原点）上的两个动点，满足 PM PN，直线 PM、PN
与抛物线 C的另一个交点分别为点 A、B.
(1)求直线 AB的斜率；
(2)求 PAB面积的取值范围.
1
22．（本题 12分）设 f x ax a 1 lnx （其中a 0）．
x
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)设 g x x2e2x f x ，若关于 x的不等式 g x ≥ax a 3 ln x 1 1恒成立，求实
x
数 a的取值范围．
汕头联考二模 高三数学试卷 试卷第 6页，共 6页
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模拟考试（二）
数学答案详解
一、单选题
1．
【答案】C
【详解】由题意知，仅点 (2,1)在直线 x y 1上，
所以 A B {(2,1)} .
故选：C
2．
【答案】B
【详解】由复数 z 2 2i i i3 2i 2 i 2 i，所以 z 2 i .
故选：B.
3．
【答案】D
【详解】平行四边形 ABCD中, AB∥CD，则 ABF∽ CEF，
AF AB
因为点 E是CD上靠近C的四等分点，所以 4，
CF CE
4
所以 AF AC，
5
4
故DF AF AD (AB AD ) AD
4
AB 1 AD ．
5 5 5
故选：D．
4．
【答案】B
1
【详解】由题意 sin 2A sin Acos A cos2 A
1 cos 2A
，而 2A 0, π ，所以
2 2 2
cos 2A sin 2A 0，
所以 tan 2A 1,2A
π
, A π .
4 8
故选：B.
汕头联考二模 数学答案详解 第 1页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
5．
【答案】C
【详解】由题意 a1 2a2 3a3 na
*
n 2n 1 n N ，则
a1 2a2 3a3 na n n 1 an 1 2 n 1 1 n N* ，
两式相减得 n 1 an 1 2 n N* 2 *，所以an 1 n N ，n 1
又 a1 2 1 1 3
2
，
1
3
3,n 1 ,n 12
所以 a
* a *n 2 n N ， n n N ，
,n 2 n 1

2 2 1 1

n

,n 2
n n 1 n n 1
a
所以数列 n 的前 10 项和为
n 1
3 2 1 1 1 1
1 1 3 2
1 1 51 .
2 2 3 3 4 10 11 2 2 11 22
故选：C.
6．
【答案】A
【详解】
如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， BD1 1 1 1 3 ，
因为M 、 N为线段 BD1上的两个三等分点，
3
所以 BN ，
3
易知 B1C BC1,C1D1 B1C,C1D1 BC1 C1 ，BC1 平面 BC1D1，C1D1 平面 BC1D1，
所以 B1C 平面 BC1D1，则 B1C BD1，
同理可证 AC BD1，又 AC 平面 B1AC， B1C 平面 B1AC， B1C AC C ，
则 BD1 平面 B1AC，
设点 B到平面 B1AC的距离为 h，则三棱锥 BB1AC的体积VB B AC V1 B1 BAC，
汕头联考二模 数学答案详解 第 2页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
1 S h 1 1 3 1 1 3则 B AC S ABC 1 2 h 1 h BN，3 1 3 3 4 3 2 3
所以 N在平面V AB1C内，
则GN MN，
S 1 MN NG 1 1 3 1 3所以 △GMN NG NG ，2 6 2 3 6 3
3
所以平面内点G的轨迹是以 N为圆心， 为半径的圆，
3
B AC N N 3 NE NF 3如图，在正三角形 1 中， 为中心，圆 的半径为 ，即 ，
3 3
NT 1 BT 1 6 6 1 ，3 3 2 6
ENT NE NF 3所以在直角三角形 中 2NT ，
3
π
则 ENT ENF
π
，
4 2
π 3π
所以三个虚线弧圆心角弧度数为 3 ，
2 2
3π π
则三个实线弧圆心角弧度数为 2π ，
2 2
G π 3 3π所以 点的轨迹长度为 .
2 3 6
故选：A
7．
【答案】A
x2
【详解】双曲线 22 y 1，对应b 1，a
1
渐近线方程为 y x，所以 a 2，
2
x2
所以双曲线的标准方程为 y2 1， c a2 b2 5 ，
4
根据双曲线的定义有 AF2 AF1 4, BF2 BF1 4，
两式相加得 AF2 BF2 AF1 BF1 8，
AF2 BF2 8 AF1 BF1 8 AB ，
汕头联考二模 数学答案详解 第 3页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
依题意可知直线 l与 x轴不重合，双曲线的左焦点为 F1 5,0 ，
设直线 l的方程为 x my 5 ，
x my 5

2 x 2 2由 x 消去 并化简得 m 4 y 2 5my 1 0，
y2 1
4
m
2 4 0
由
Δ 20m
2 4 2 ，解得m 2 ，m 4 0
由于直线 l与双曲线左支相交于两点，所以 2 m 2，
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 2 5m，则 y1 y2 ,y y
1
，
m2 4 1 2 m2 4
所以 AB 1 m2 y1 y
2
2 4y1y2
20m2 4 16m2 16 42 2 m2 1 1 m
2
2 1 m
m2 4 m 4 m2 4 2 4 m2
4 4 m2 20
4 20 2 ，4 m 4 m2
4 20 m2 0, 4 , 4 1，所以当m 0时， AB 取得最小值为1，
4 m2
所以 AF2 BF2 的最小值为1 8 9 .
故选：A
8．
【答案】C
1【详解】设切点为 x0 , 2 ln x
1 a
0 , x0 0，因为 2 ln x ，所以 x ．x 0
又因为切点 x0 , 2 ln x0 在直线 y ax b上，
所以 2 ln x0 ax0 b 1 b，解得b 1 ln x0，所以 a b 1
1
ln x
x 0 ．0
1
令 g x 1 ln x x 0 ，则 g x 1 1 x 1
x x2 x x2
，
所以 g x 在区间 0,1 上 g x 0， g x 单调递减，
在区间 1, 上 g x 0, g x 单调递增，
汕头联考二模 数学答案详解 第 4页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
所以 g x g 1 2min ，故 a b的取值范围为 2, ．
故选：C
二、多选题
9．
【答案】BD
【详解】对于 A 中，由年龄的扇形统计图，可得 90 后的考生有3200 45% 1440人，
00 后的考生有3200 40% 1280人，可得1440 1280 160人，所以 A 不正确；
对于 B 中，由频率分布直方图性质，可得 (0.01 0.02 a a 0.01) 10 1，
解得 a 0.03，则前三个矩形的面积和 (0.01 0.02 0.03) 10 0.6，
所以试成绩的60% 分位数为80分，所以 B 正确；
对于 C 中，设面试成绩的最低分为 x，由前三个矩形的面积和为0.6 ，第四个矩形的面
积为0.3，则80
0.02
10 86.6 87 分，所以 C 不正确；
0.03
对于 D 中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
x 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.3 95 0.1 76分，所以 D 正确.
故选：BD.
10．
【答案】BD
【详解】因为 tan tan tan kπ mπ，其中 k Z 且 m Z ，
2 2
tan tan sin sin sin cos sin cos
sin sin
所以 cos cos cos cos cos cos cos ，
所以 sin 0或 cos cos cos ，即 sin 0或 sin sin 0 .
kπ k Z mπ因为 且 m Z ，所以 sin sin 0，所以 sin 0，B 正确，
2 2
A 错误；
因为 sin 0，所以 nπ,n Z，所以 cos 1，C 错误；
因为 nπ,n Z 2 2 2 2 2 2，所以 sin cos sin nπ cos sin cos 1，D
正确.
故选：BD.
11．
汕头联考二模 数学答案详解 第 5页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
【答案】AB
2 2 2
【详解】连接 BC1，则 BP PC1 BC1 PC 8 2 2, 2 3 1 ，故 A 正确；
PD BC 2PD 2 2
点 P到直线 BD 的距离 d 1 11 1 BD
0, ，故 B 正确；
1 3 3
以DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系D xyz，

则 B 2,2,0 ，B1 2,2,2 ，D1 0,0,2 ，设P 0,m, 2 ，0 m 2，则 B1P 2,m 2,0 ，

BD1 2, 2,2 ，
B P BD 1假设存在点 P，使直线 1 与 1所成角的余弦值为 ，3

B1P BD1 8 2m 1
则 cos B1P, BD1
B P BD 2 3 4 m 2 2 3
，
1 1
整理得m2 10m 20 0，解得m 5 5 2，故 C 错误；
在平面 A1B1C1D1中，过 A1，C1分别作 A1A B1P，C1C B1P，垂足为 A ，C ，
则点 A1，C1到平面 BB1P的距离之和为 A1A C1C ．
设 A1C1 B1P M ，则 A1A C1C A1M MC1 A1C1 2 2 3 ，
当点 P与D1重合时，点A ，C到平面 BB1P的距离之和最大，
所以不存在点 P，使点A ，C到平面 BB1P的距离之和为 3，故 D 错误．
故选：AB
12
【答案】ACD
【详解】由题意定义域为R 的函数 f x 满足 f x y f x f y xy x y
令 x y 0，则 f 0 f 0 f 0 , f 0 0，
汕头联考二模 数学答案详解 第 6页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
令 y x，则 f 0 f x f x ，即 0 f x f x , f x f x ，
故 f x 为奇函数，A 正确；
由于 f x f x ，故 f x f x ，即 f x f x ，
则 f x 为偶函数，由 f 1 2可得 f 1 2 ，
由 f x y f x f y xy x y ，令 y 1得 f x 1 f x f 1 x x 1 ，
故 f x 1 f x 2x 1，令 x 2，则 f 1 f 2 3, f 2 5 ，B 错误；
又 f x y f x f y xy x y ，
3 3 3
则 f x y (x y) f x x y f y ，
3 3 3
x3
令 g(x) f x ，则 g x y g x g y ，
3
x3g(x) g(1) x f x g (x) x
3
由柯西方程知， ，故 g (1) x ，
3 3
则 f x x2 g(1)，由于 f 1 2，故1 g(1) 2, g(1) 1，
3
即 f x x x，则 f 3 12，C 正确；
3
对
f x f x x1, x2 0, , x x , f
x1 x 2 1 2 1 2
2 2
( x1 x2 )3 x x 3 3
2 1 2 1 (x1 x x 21 x )3 2 2 3 3 2
1
( x31 x
3 2 2 1 2
2 x1 x2 +x1x2 ) (x1 x2 ) (x1 x2 ) 0 ,8 8
x1 x2 f x1 f xf 2 故 ，D 正确，
2 2
故选：ACD
三、填空题
13．
【答案】 6
2 6【详解】由题意得 x x m 的展开式中的常数项与一次项系数相等，
m6则 C16 1 m5 ，解得m 6或 0（舍去）.
故答案为： 6
14．
汕头联考二模 数学答案详解 第 7页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
【答案】77
【详解】在 an ,an 1之间插入 n个 1，构成数列 bn : a1,1,a2 ,1,1,a3 ,1,1,1,a4 , ，而 an 2n，
n(n 1) 1 2
则数列 bn 中不超过 an 的数的个数为 n [1 2 (n 1)] n (n n) ，2 2
1
当 n 5时， (52 5) 15
1 2
，当 n 6时， (6 6) 21，
2 2
5
所以 S20 (a1 a2 a5 ) (20
2(1 2 )
5) 1 15 77 .
1 2
故答案为：77
15．
6
【答案】 0, 3
【详解】不妨设直线 BA : y kx 1(k 0) BC : y
1
，则直线 x 1，
k
y kx 1
2 1 a2k 2 2 2联立方程得 x ，得 x 2a kx 0
y2
，
2 1 a
x 2a
2k 1 k x 2a
2k
A ，用 代替 得 1 a2k 2 k c a2 k 2
，
2a2k 1 k 2 2 2 BA 1 k 2 x , BC 1 1 x 2a 1 kA ．1 a2k 2
2 C k a2 k 2
由 BA BC ，得 k 1 k
2 1 a 2 k 1 0 ，
该方程关于 k已有一解 k 1，由于符合条件的 ABC有且仅有一个，
k k 2 1 a2关于 的方程 k 1 0无实数解或有两个相等的实数解 k 1．
a 1
当方程无实数解时，
Δ 1 a2
2 ，解得1 a 3 ；
4 0
a 1
当方程有两个相等的实数解 k 1时，
1 a
2 2 ，解得 a 3，
1 a 3，
汕头联考二模 数学答案详解 第 8页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
e c c
2 1 6
则该椭圆的离心率
a a2
1 2 0,a 3
．

6
故答案为： 0, .
3


16．
3
【答案】 1,e e



【详解】令 f x 4 a x x3 ln a 0 ，由题意知，方程 a x x3 有两个不同的正实数解x1，
x
2，
所以 a 1，对 a x x3 两边取对数，得 x ln a 3ln x，
3
令 g x x ln a 3ln x x 0 ln a x ，则 g x lna 3

ln a

.
x x
x 3当 时， g x 0 x 3 3；当 时， g x 0；当 x 时， g x 0，
ln a ln a ln a
g x 0, 3 3 , 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
ln a ln a
3 3
于是 g x g 3 3lnmin ， ln a ln a
当 x 0时， g x ，当 x 时， g x ,
3 3
要使 g x 有两个零点，必须使3 3ln 0，即 ln 1 ln e ，
ln a ln a
3 3 3
所以 e，解得
ln a a ee
，故1 a e e .
3
此时，1 ， g 1 ln a 0，
ln a
x
而 g x x ln a 3ln x ln a 3 ，指数 y ax增长快过 y x3的增长，
x
即总存在 x
3
，使得 a x x30 ，此时 g x0 0 .ln a
3
故当 a 1,ee 时，由上面的讨论，可得 g x x ln a 3ln x x 0 有两个零点，设为x1，

x x x
2 1 2 .
当0 x x1时， g x x ln a 3ln x 0 ，
所以 a x x3， f x 4 ln a a x x3 0， f x 单调递增；
当 x1 x x2 时 g x x ln a 3ln x 0，
汕头联考二模 数学答案详解 第 9页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
x 3
所以 a x x3 ， f x 4 a x ln a 0， f x 单调递减；
当 x x x 3 x 32 时， g x x ln a 3ln x 0，所以 a x ， f x 4 a x ln a 0， f x 单
调递增.
所以x x f x1， 2就是 的两个极值点.
a
3
综上，实数 的取值范围是 1,e e .

3
故答案为： 1,e e .

四、解答题（共 70 分）
17．
π
【答案】(1)C ；
3
(2)3
1 1 3 3【详解】（ ）因为 S absinC ab，所以 sinC ，
2 4 2
π
又 ABC为锐角三角形，所以C ；
3
（2）由余弦定理可知， c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab (a b) 2 3ab，
因为 a b 6 2 ab ，所以ab 9，当且仅当 a b 3时，等号成立，
所以 c2 (a b)2 3ab 36 27 9 ，即 c 3，所以 c的最小值为 3.
18．
1
【答案】(1) an 2n 1
(2)5
1 1 1 1
【详解】（1）点 ( , ) y x 2 2an 1 a
在直线 上，得
n an 1 a
，
n
1 1
所以数列 是以首项为 = 1，公差为 2 的等差数列．
an a1
1
故 1 2 n 1 2n 1 1a ，即 an ．n 2n 1
a a 1 1 1 1 （2） n 1 n ，(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
所以T
1
1 1 1 1 1 1 1 1 n 2

3 2

3 5 2 2 n 1 2 n 1
汕头联考二模 数学答案详解 第 10页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1即 n +
= 1
2 3 3 5 2n 1 2n 1 2
1 ，因 n 1,2n 1 n N
* ，故T ，
n 2
故要使Tn 3m 12 对 n N* 恒成立，需使3m 12
1
，即m
25
，
2 6
又m Z，所以m的最小值为 5.
19．
【答案】(1)证明见解析
(2) 21
7
【详解】（1）取 AB中点O，连接OC,OA1,BA1
三棱柱 ABC - A1B1C1的所有棱长都为 2
则CA CB AB AA1 2，又O为 AB中点，所以 AB OC，且OC 3
又 AB A1C， A1C OC C ,A1C ,OC 平面 A1CO
所以 AB 平面 A1CO，因为OA1 平面 A1CO，所以 AB OA1
因为O为 AB中点，所以 AA1 BA1，三角形 ABA1为等边三角形，所以OA1 3
由 A1C 6 ，可得 A1C
2 OC 2 OA21 ，所以OC OA1
又OA1 AB O,OA1, AB 平面 ABB1A1，所以OC 平面 ABB1A1
因为OC 平面 ABC，平面 ABC 平面 ABB1A1；
（2）由（1）可知OC OA1，OC AB，AB OA1，如图，以O为原点，OA,OA1 ,OC所
在直线为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系
汕头联考二模 数学答案详解 第 11页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
则 A1 0, 3,0 ,B 1,0,0 ,B1 2, 3,0 ,C 0,0, 3 3 3，E , , 02 2

由于OC 平面 ABB1A1，E 平面 ABB1A1，即OC 0,0, 3 可作为平面 A1EA的一个法
向量
3 3
设平面CA1E的法向量为 n x, y, z ，又 A1E , , 0 ,CA 0, 3, 3
2 2
1


n A1E
3 x 3 y 0 y 3x
所以 2 2 ，令 x 1，则 n 1, 3, 3 n y z CA1 3y 3z 0

所以 cosOC, n
O C n 3 21 OC n 3 7 7 ，
由图可知二面角C A1E A为锐二面角，故二面角C A1E A
21
的余弦值为 .
7
20．
【答案】(1)分布列见解析；6
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意可得，随机变量 X {3,5,7,9}，
3 1
3 3
1 1
设甲、乙在一局比赛中得 分的概率为 P，则 P C23 C
3
3 ，
2 2 2
3 3
1 1 1 3
则 P(X 3) 1 ,P X 5 C2 8 3 ， 2 8
1 3P(X 3
3
7) C2 3 ,P X
1 1
9 ，
2 8 2 8
故 X 的分布列为：
X 3 5 7 9
1
P 3 3
1
8 8 8 8
故 E X 3 1 5 3 7 3 1 9 6 ；
8 8 8 8
（2 *）证明：设在甲参加了的 2n n N 局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为 Y，
则所获总分为3Y (2n Y ) 2Y 2n，若 2Y 2n 4n，则Y n，
汕头联考二模 数学答案详解 第 12页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
则 p1 P Y n ，因为 p(Y n) p(Y n) ，
1 2n 2n 21 Cn 1 Cn 1 1
故 1 P Y n 2n 2n 2 p 2 ，同理可得 ,1 p
2
2 2 2

2
2n 3 2n 1 2n 1
则 p p Cn 1 1 1 2 2n 2 C
n 1 1 ( 1 Cn 1 Cn
2 2n 2 2n 2 2n
)
2 4
1 2n 1 2n 2 ! 2n ! [ ]
2 4 n 1 ! n 1 ! n!n!n !
1 2n 1 2n ![(2n 2)(2n 1) 4(n 1)2 ]
2 4 n 1 ! n 1 !
1 2n 1 2n !( 2n 2) 0，
2 4(n 1)!(n 1)!
故 p1 p2 .
21．
【答案】(1) 1
(2) 0,24
【详解】（1）设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，因为 P 2,4 在抛物线上，
所以16 4p，所以 p 4 ，所以C : y2 8x，
不妨设M 在N的左边，过 P作 PQ垂直于 x轴交于Q点，如下图，
因为 PM PN，所以 PMQ PNQ，
因为 PNQ PNx 180 ，
所以 PMQ PNx 180 ，
所以直线 PM ,PN 的倾斜角互补，
汕头联考二模 数学答案详解 第 13页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
所以 kPM kPN 0，
显然 A,B不与 P关于 x轴的对称点重合，所以 x1 2, x2 2，
k k y1 4 y1 4 8 k k y2 4 y 4 8 2
又因为 PA PM x1 2 1
PB PN
y2 11 2
y1 4 ， x2 2 y2 2 y2 4 ，
8 8 2
8 8
所以 0y 4 y 4 ，所以
y1 4 y2 4，所以 y1 y2 8，
1 2
k y2 y 1 y2 y1 8AB 1所以 x x y22 1 2 y
2
1 y1 y2 ，
8 8
即直线 AB的斜率为 1；
（2）设 AB : y x m，
y x m
联立 2 可得 y
2 8y 8m 0
y 8x
，
所以 y1 y2 8, y1y2 8m ，
且Δ 64 4 1 8m 0，所以m 2，
若M 与O重合，此时m 0，
由上可知m 2,0 ，
AB 1 1
2

又 y y
2
1 2 4y yk 1 2
2 64 32m 8 m 2 ，

m 6
且 P到直线 AB的距离d ，
2
1
所以 S PAB d AB 2 2 6 m
2
m 2 ，
2
令 f m 6 m 2 m 2 ,m 2,0 ，
所以 f m 3m 2 m 6 0，
所以 f m 在 2,0 上单调递增，且 f 0 72, f 2 0，
所以 PAB的面积取值范围是 2 2 0,2 2 72 ，即为 0,24 .
22．
【答案】(1)答案见解析
(2) ,1
【详解】（1）函数的定义域为 0, ，
汕头联考二模 数学答案详解 第 14页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
a 1 1 ax 1 x 1
求导得 f x a 2 x x x 2
，
令 f x 0得 x 11 ， x2 1，a
1 1 0 x 1 f x 0 1当 a 1时， ，当 或 x 1时，
a a ( )
> ；当 x 1时， f x 0，
a

则 f x 在 0,
1 1
， 1, 单调递增，在 ,1 单调递减；
a a
当 a 1时， f x 0恒成立，故 f x 在 0, 单调递增；
1 1 1
当 0 a 1时， 1，当 0 x 1或 x 时， f (x) > 0，当1 x 时， f x 0，a a a
f x 0,1 1 1 则 在 ， , 单调递增，在 1, 单调递减．
a a
1 1
综上，当 a 1时， f x 在 0, ， 1, 单调递增，在 ,1 单调递减；
a a
当 a 1时， f x 在 0, 单调递增；
f x 0,1 1 , 1, 1 当 0 a 1时， 在 ， 单调递增，在a a 单调递减；
1 1
（2）将 f x ax a 1 lnx 代入 g x ≥ax a 3 ln x 1中，
x x
x2e2x ax a 1 ln x 1 1 ax a 3 ln x 1，
x x
化简得 x2e2x 2 ln x 1 2ax，不等式两边同减去 2x得，
x2e2x 2 ln x 2x 1 2ax 2x，
x2e2x可化为 ln x2e2x 1 2 a 1 x，
令 h x x ln x 1，则 h x 1 1 x 1 ，
x x
易知当 x 0,1 时， h x 0， h x 单调递减，
当 x 1, 时， h x 0，h x 单调递增，
所以 h x min h 1 0 ，从而h x 0当且仅当 x 1时等号成立，
则 x2e2x ln x2e2x 1 0当且仅当 x2e2x 1时等号成立，
令u x x2e2x，u x 2xe2x 2x2e2x 2xe2x 1 x ，
故当 x 1或 x 0 时，u x 0，u x x2e2x单调递增，
当 1 x 0时，u x 0，u x x2e2x单调递减，
u 1 e 2 0 2，u 0 0，u 1 e 1，
汕头联考二模 数学答案详解 第 15页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}
2 2x
故存在 x 00 0,1 ，满足 x0 e 1，
a 1 x2e2x ln x2e2x当 时， 1 0， 2 a 1 x≤ 0，可得原不等式成立；
2 2x
当 a 1时，由于存在 x 00 0,1 ，满足 x0 e 1，
x2e2x ln x2e2x从而使得 1 0，
而 2 a 1 x 0 ，于是 g x ax a 1≥ 3 ln x 1不恒成立．
x
综上，实数 a 的取值范围是 ,1 ．
汕头联考二模 数学答案详解 第 16页，共 16页
{#{QQABAQgEggAAAABAAAgCEwHYCkAQkBAACAoOhEAIMAIAyAFABAA=}#}

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