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专题十 平面向量
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
4．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
5．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
6．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.
7．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
一 、向量的基本概念及线性运算
1．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量
C．若，则 D．任意向量的模都是正数
【答案】B
【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；
对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；
对于D，零向量的模长是，故D错误，
故选：B.
2．已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误；
对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误；
对于C，向量，为单位向量，则，C正确；
对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误，
故选：C.
3．下列各式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，故错误；
对于B，，故错误；
对于C，，故错误；
对于D，，故正确；
故选：D．
二 、向量共线定理及坐标表示
4．已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】向量，，而与共线，则，解得，所以实数的值为，故选：C．
5．已知，，，若，则锐角等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】因为，，所以，又因为，且，
所以，即，所以，故选：C.
6．已知是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数　（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】，．向量，，，，
是平面上的两个不共线向量，，，故选：B．
三 、向量的数量积
7．设，，，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】因为，，，所以，故选：B.
8．已知向量，，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量，所以，由，可得，所以，因为，所以，故选：A.
9．已知向量，，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知向量，，所以，因为，所以，
解得，则，故选：A.
10．已知向量，，若与的夹角为，则（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【解析】因为，，且与的夹角为，所以，所以，故选：B.
一、选择题
1．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】A.由平面向量的定义可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；B.两个向量是相反向量，则两个向量平行，故B正确；C.向量不能比较大小，故C错误；D.当向量时，与不一定平行，故D错误；故选：B．
2．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为向量，所以，所以，故选：D.
3．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，解得，故，故选：A.
4．若向量，，则（ ）
A． B．25 C． D．19
【答案】A
【解析】因为，，所以，故，故选：A.
5．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．15°
【答案】C
【解析】由，以及，可得，则，即，又，所以夹角120°．故选：C.
6．已知平面向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知：，因为，所以，
故选：A．
7．已知向量，，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】由已知得，，又，所以，即。解得，，故选：D.
8．已知，，且，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，得 ，所以,故选：C
9．设，向量，且，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由知：且，则，可得，即，由知：，可得，即，所以，故,故选：B.
10．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
所以，，则，故选：D.
二、填空题
11．已知向量，若，则 ．
【答案】-2
【解析】因为向量，且，所以，所以，故答案为：-2.
12．已知向量、满足，，则 .
【答案】
【解析】因为，，解得，故答案为：.
13．已知向量，且，则向量与的夹角为 .
【答案】
【解析】因为，故，而，故即，故，而，故，故答案为：.
14．已知向量 ， 且， 则 ．
【答案】2
【解析】因为，由，，则，所以，解得，故答案为: 2.
15．已知向量，，若，则实数 ．
【答案】
【解析】由已知可得，，若，则，解得，故答案为：.
16．已知，若满足且，则 ．
【答案】
【解析】设，，由于且，所以，解得，所以，故答案为：.
三、解答题
18．已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）求．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1），，.
（2），∴．
19．已知向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】(1)2；(2)
【解析】解：（1）∵，且，∴，∴.
（2）∵，∴，即，∴，∴.
20．已知向量，，且与的夹角为．
（1）求及；
（2）若与垂直，求实数的值．
【答案】(1)，；(2)
【解析】解：（1）因为向量，且与的夹角为，所以，
解得，所以 ，则.
（2）由（1）知m = 1，故，故，，因为 与 垂直，所以，解得．专题十 平面向量
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度(或称模).的模记作．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.是一个与a同向的单位向量．－是一个与a方向相反的单位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
4．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
5．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
6．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.
7．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论 符号表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角的余弦 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
一 、向量的基本概念及线性运算
1．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量
C．若，则 D．任意向量的模都是正数
2．已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二 、向量共线定理及坐标表示
4．已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．已知，，，若，则锐角等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．已知是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数　（ ）
A．6 B． C．3 D．
三 、向量的数量积
7．设，，，则（ ）
A． B． C．5 D．
8．已知向量，，，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，且，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知向量，，若与的夹角为，则（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
一、选择题
1．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
2．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，，则（ ）
A． B．25 C． D．19
5．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．15°
6．已知平面向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
8．已知，，且，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．设，向量，且，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（　 ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知向量，若，则 ．
12．已知向量、满足，，则 .
13．已知向量，且，则向量与的夹角为 .
14．已知向量 ， 且， 则 ．
15．已知向量，，若，则实数 ．
16．已知，若满足且，则 ．
三、解答题
18．已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）求．
19．已知向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
20．已知向量，，且与的夹角为．
（1）求及；
（2）若与垂直，求实数的值．

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