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专题11 计数原理、概率
知识点一　分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．
知识点二　分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·mn__种不同的方法．
重要结论
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
知识点三　排列与排列数
(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__．
知识点四　组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示．
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__1__．
(4)组合数的性质：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__．
重要结论
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
1. 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二项式系数__，式中的__Can－kbk__叫做二项展开式的__通项__，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第__k＋1__项：Tk＋1＝__Can－kbk__．
2.二项展开式形式上的特点
(1)项数为__n＋1__．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__．
(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n．
3.二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是__C＝C__．
(2)二项式系数先增后减，中间项最大．
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__．
重要结论
1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
1. 计数原理的应用
2. 排列数的应用
3. 组合数的应用
4. 求二项展开式的第n项.
5. 求二项展开式中的特定项.
6. 已知二项展开式的某项，求特定项的系数.
7. 二项式系数的最大值.
8. 随机事件的概率；
9. 简单的古典概型；
10. 相互独立事件的概率．
11. 独立重复试验与二项分布．
12. 离散型随机变量的分布列．
考点一 排列的应用
例1．从6名学生中选出2名学生担任数学，物理课代表的选法有（ ）
A.10种 B.15种
C.30种 D.45
例2．从1,2,3,4,5中任取两个数字，组成无重复数字的两位偶数的个数为( ).
A. 20 B. 12
C. 10 D. 8
【变式探究】用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．16 B．36 C．48 D．60
考点二 组合的应用
例3．从数字1,2,3,4,5中任取三个不同的数，可以作为直角三角形三条边的概率是__________.
例4．袋中有5个红球，5个黑球，从中任取3个球，既有红球又有黑球的概率为____________.
例4．计算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
例4．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A B C D E F中选出4辆分别开往紫蒙湖 美林谷 黄岗梁 乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（ ）
A．360 B．240 C．216 D．168
【变式探究】1. 某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
2. 从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）种．
A．13 B．14 C．15 D．16
3.（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
4. 将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（ ）
A．90种 B．540种 C．1620种 D．3240种
考点三 二项展开式
例5．的展开式中，常数项等于( ).
A. B. C. D.
例6．的展开式中，二项式系数和为128，则=_____.
【变式探究】1. 二项式展开式中含x项的系数是（ ）
A． B．
C． D．
2. 的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
考点四 古典概型
例7．已知集合和集合，分别在集合A和B中各取一个数，则这两个数的和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
例8．抛两枚均匀的骰子，结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为 ．
【变式探究】1. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（ ）
A． B． C． D．
2. 抛两枚均匀的骰子，结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为 ．
考点五 相互独立事件的概率
例10．甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，0.8.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 .
例11．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是 ．
【变式探究】1. 设甲乘汽车 动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为 .
2. 某射手每次射击击中目标的概率都是，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点五 离散型随机变量的分布列
例12.袋子中有5个白球和3个红球，从中任取2个球，
（1）求恰有1个红球的概率；
（2）求取到红球个数的概率分布.
【变式探究】(2020年河北对口)取一副扑克牌，去掉大小王牌，剩下梅花E、黑桃、红桃、方片四种花色共52张，现在放回地随AB机抽取3次，设ξ为抽到梅花产次数，求
（1）至少抽到1次梅花的概率；
（2）ξ的概率分布.
1. 展开式中含项与含项的系数之比为（ ）
A、 B、 C、2 D、4
2. 设事件A与B为互斥事件，则下列式子一定成立的是（ ）
A.P(A)+P(B)<1 B. P(A)+P(B)>1 C. P(A)+P(B)=1 D. P(A)+P(B) ≤1
3.将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有 种.
4.从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教.ξ表示选到的语文教师人数，求随机变量ξ的概率分布.
5.二项式的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第5项与第6项 D．第6项与第7项
6.国家派5支医疗队到4个疫区支援抗疫工作，每个地区至少分配1支医疗队，则不同的分配方案有（ ）
A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种
7.现有长度分别为1，2，3，4，5的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为 .
8.为备战2022年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为0.9,求在赛前4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布.
9.某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有( )
A.20种 B.40种 C.60种 D.80种
10.某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有 种.
11.同时掷2颗骰子，则掷出点数之和为7的概率为 。
12. 已知离散型随机变量的概率分布为
0 1 2 3
P 0.12 0.36 0.24
则( )
A. 0.24 B.0.28
C. 0.48 D. 0.52
13.北京至雄安将开通高铁，共设有6 个高铁站（包含北京站和雄安站），则需设计不同车票的种类有（ ）
A.12 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种
14. 某学校参加 2019 北京世界园艺博览会志愿活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中2名女生2名男生的选法有 种.
15．一口袋里装有4个白球和4个红球，现在从中任意取3个球，则取到既有白球又有红球的概率为 。
16.一颗骰子连续抛掷3次，设出现能被3整除的点的次数为,
(1) 求 P(=2) ；
(2) 求 的概率分布 .
17.某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为2组进行对抗赛，每组二名队员，分配方案共有（ ）种
A、2 B、 3 C、6 D、12
18．将一枚硬币抛三次，则至少出现一次正面的概率为 。
19.从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加学校组织的“两山杯”环保知识大赛，设ξ表示选中3人中女生的人数。求
（1）至少有 1 名女生的概率
（2）ξ的概率分布
20. 从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
21.为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：
（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？
（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？
（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？
22．取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为 .
23. 某生态园有个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外个出入口之一走出，进出方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
242. 从中任选三个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率是 ．
25.某实验室有名男研究员，名女研究员，现从中任选人参加学术会议，求所选人中女研究员人数的概率分布．专题11 计数原理、概
知识点一　分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．
知识点二　分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1·m2·…·mn__种不同的方法．
重要结论
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
知识点三　排列与排列数
(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__．
知识点四　组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示．
(3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__1__．
(4)组合数的性质：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__．
重要结论
对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
1. 二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二项式系数__，式中的__Can－kbk__叫做二项展开式的__通项__，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第__k＋1__项：Tk＋1＝__Can－kbk__．
2.二项展开式形式上的特点
(1)项数为__n＋1__．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n__．
(3)字母a按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n．
3.二项式系数的性质
(1)0≤k≤n时，C与C的关系是__C＝C__．
(2)二项式系数先增后减，中间项最大．
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__．
重要结论
1．二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
1. 计数原理的应用
2. 排列数的应用
3. 组合数的应用
4. 求二项展开式的第n项.
5. 求二项展开式中的特定项.
6. 已知二项展开式的某项，求特定项的系数.
7. 二项式系数的最大值.
8. 随机事件的概率；
9. 简单的古典概型；
10. 相互独立事件的概率．
11. 独立重复试验与二项分布．
12. 离散型随机变量的分布列．
考点一 排列的应用
例1．从6名学生中选出2名学生担任数学，物理课代表的选法有（ ）
A.10种 B.15种
C.30种 D.45种
【答案】C
【解析】，故选C。
例2．从1,2,3,4,5中任取两个数字，组成无重复数字的两位偶数的个数为( ).
A. 20 B. 12
C. 10 D. 8
【答案】D
【解析】首先排个位，从2，4中任取一个，共有2种，再排十位，从剩下的4个数中任取一个，共有4种，所以组成无重复数字的两位偶数的个数为8.
【变式探究】1. 用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．16 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.
【详解】第一步，从中任选一个数字排在百位，有种；
第二步，从剩下的个数字中任选个排在十位和个位，有种，
根据分步乘法计数原理得共有个无重复数字的三位数.
故选：C
考点二 组合的应用
例3．从数字1,2,3,4,5中任取三个不同的数，可以作为直角三角形三条边的概率是__________.
【答案】
【解析】从五个不同数中任取三个不同数的取法共有，而作为直角三角形的情况只有3,4,5一种，所以概率为
例4．袋中有5个红球，5个黑球，从中任取3个球，既有红球又有黑球的概率为____________.
【答案】
【解析】既有红球又有黑球包括1红2黑，2红1黑，而10球中任取3球的取法总数为，既有红球又有黑球的概率为
例4．计算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
【答案】A
【分析】利用组合和排列数公式计算
【详解】
故选：A
例4．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A B C D E F中选出4辆分别开往紫蒙湖 美林谷 黄岗梁 乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（ ）
A．360 B．240 C．216 D．168
【答案】B
【分析】优先考虑去乌兰布统，再把剩下的三个景区各安排一辆大巴前往，利用分步计算原理得解.
【详解】这6辆旅游大巴，A B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种.
故选：B.
【变式探究】1. 某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，第二种情况，有2位女生入选，根据分类加法计数原理计算可得答案.
【详解】可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有 种，
第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有 种，
根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为 种.
故选：B.
2. 从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）种．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，分析可得答案．
【详解】根据题意，从4名男生和2名女生中选2人参加会议，有种选法，
其中没有男生，即全部为女生的选法有种，
则至少有一名男生的选法有．
故选：B．
3.（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
【答案】A
【分析】利用排列数与组合数的计算公式即可得解.
【详解】.
故选：A.
4. 将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（ ）
A．90种 B．540种 C．1620种 D．3240种
【答案】B
【分析】根据分布计数原理，先求出医护人员的安排方案，再求出志愿者的安排方案即可.
【详解】第一步，医护人员的安排方案有种，
第二步，志愿者的安排方案有种，
∴不同的安排方案共有种，
故选：B
考点三 二项展开式
例5．的展开式中，常数项等于( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的展开式的通项为，当10-2r=0时，即r=5时，该项为常数项，等于.故选D
例6．的展开式中，二项式系数和为128，则=_____.
【答案】7
【解析】二项式系数和为=128，所以n=7.
【变式探究】1. 二项式展开式中含x项的系数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解.
【详解】二项式的通项公式，
令，则.
则二项式展开式中含x项的系数是.
故选：C
2. 的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.
【详解】的展开式的通项是，（）
由题意，，
因此，的系数是.
故选：B.
考点四 古典概型
例7．已知集合和集合，分别在集合A和B中各取一个数，则这两个数的和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举出所有基本事件，两数之和为偶数的基本事件，即可求两数之和为偶数的概率．
【详解】从集合和集合中各取一个数，
基本事件为，
，共个基本事件，
∵两数之和为偶数，
∴两数中全是偶数或全是奇数，
包含的基本事件为，共有8个，
∴两数之和为偶数的概率是．
故选：B．
例8．抛两枚均匀的骰子，结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为 ．
【答案】
【分析】对两枚骰子进行区分，再根据古典概型利用列举法即可得解.
【详解】对两枚骰子进行区分，则共有种，
其中“至少有一个向上数字是6点”有
共种，
则结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为.
故答案为：.
【变式探究】1. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型计算即可.
【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，相同的情况有6种，
所以其概率为.
故选：D
2. 抛两枚均匀的骰子，结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为 ．
【答案】
【分析】对两枚骰子进行区分，再根据古典概型利用列举法即可得解.
【详解】对两枚骰子进行区分，则共有种，
其中“至少有一个向上数字是6点”有
共种，
则结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为.
故答案为：.
考点五 相互独立事件的概率
例10．甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，0.8.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 .
【答案】0.26
【分析】两人同时独立射击，则恰有一人不中靶包括：甲中乙不中和甲不中乙中，利用独立事件的概率公式求解
【详解】解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08，
所以恰有一人不中靶的概率为P＝0.9×（1﹣0.8）+（1﹣0.9）×0.8＝0.18+0.08＝0.26.
故答案为：0.26.
例11．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是 ．
【答案】
【分析】计算出甲乙，甲丙，乙丙合格的概率，相加后得到答案.
【详解】甲乙合格的概率为，
甲丙合格的概率为，
乙丙合格的概率为，
故三人中恰有两人合格的概率为.
故答案为：
【变式探究】1. 设甲乘汽车 动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为 .
【答案】0.82/
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件“甲乘汽车前往某目的地”， 事件“甲乘动车前往某目的地”， 事件“甲正点到达目的地”.
.
故答案为：0.82
2. 某射手每次射击击中目标的概率都是，则这名射手在3次射击中恰有2次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用次独立重复实验恰好发生次的概率公式计算，即可求解.
【详解】这名射手在3次射击中有2次击中目标，有1次没有击中目标，
所以概率为：，
故选：D
考点五 离散型随机变量的分布列
例12．袋子中有5个白球和3个红球，从中任取2个球，
（1）求恰有1个红球的概率；
（2）求取到红球个数的概率分布.
【解析】（1）设A表示事件“恰有1个红球”，
(2)设表示抽到红球的个数，
所以，取到红球个数的概率分布为
0 1 2
P
【变式探究】(2020年河北对口)取一副扑克牌，去掉大小王牌，剩下梅花E、黑桃、红桃、方片四种花色共52张，现在放回地随AB机抽取3次，设ξ为抽到梅花产次数，求
（1）至少抽到1次梅花的概率；
（2）ξ的概率分布.
【解析】(1)由于4种花色均为13张，故一次抽取到梅花的概率为，从而抽到其他3种花色的概率，故
（2）根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为，，，3．并且
在赛前4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数 的概率分布为：
3
1.展开式中含项与含项的系数之比为（ ）
A、 B、 C、2 D、4
解析：D, ，故含项与含项的系数之比为4，故选D.
2. 设事件A与B为互斥事件，则下列式子一定成立的是（ ）
A.P(A)+P(B)<1 B. P(A)+P(B)>1 C. P(A)+P(B)=1 D. P(A)+P(B) ≤1
解析：D,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B) ≤1，故选D.
3. 将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有 种.
解析：先将桃树、苹果树、杏树种成一排，三棵树隔开4个空位，再将山楂树与梨树在这4个位置中选2个排好，即种.
4. 从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教.ξ表示选到的语文教师人数，求随机变量ξ的概率分布.
【解析】设随机变量ξ的所有可能取值为，，．并且
；；
．
随机变量ξ的概率分布为：
5.二项式的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第5项与第6项 D．第6项与第7项
解析：B，二项式的展开式有奇数项，所以中间一项的二项式系数最大，为第6项，故选B.
6.国家派5支医疗队到4个疫区支援抗疫工作，每个地区至少分配1支医疗队，则不同的分配方案有（ ）
A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种
解析：C, 5支医疗队到4个疫区，每个地区至少分配1支医疗队，可以先将5支医疗队分成4组，其中一组两支医疗队，另外3组各一支，共，然后将这4组排队分给4个疫区，共，所以共有.
7.现有长度分别为1，2，3，4，5的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为 .
解析：五条线段从中任取三条线段共有种取法，而由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知只有2，3，4；2，4，5；3，4，5三种情况可以构成三角形，所以概率为
8.为备战2022年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为0.9,求在赛前4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布.
【解析】随机变量ξ的所有可能取值为，，，3，4．并且
在赛前4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数 的概率分布为：
3 4
9.某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有( )
A.20种 B.40种 C.60种 D.80种
【答案】D
【解析】，所以选D.
10.某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有 种.
【答案】14400
【解析】.
11.同时掷2颗骰子，则掷出点数之和为7的概率为 。
【答案】
【解析】点数之和为7的结果为（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3），同时掷2颗骰子的结果为36种，故掷出点数之和为7的概率为
12. 已知离散型随机变量的概率分布为
0 1 2 3
P 0.12 0.36 0.24
则( )
A. 0.24 B.0.28
C. 0.48 D. 0.52
【答案】B
【解析】1-0.12-0.36-0.24=0.28，故选B.
13.北京至雄安将开通高铁，共设有6 个高铁站（包含北京站和雄安站），则需设计不同车票的种类有（ ）
A.12 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种
【答案】D
【解析】需设计不同车票的种类有，故选D.
14.某学校参加 2019 北京世界园艺博览会志愿活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中2名女生2名男生的选法有 种.
【答案】30
【解析】选出的4人中2名女生2名男生的选法有
15．一口袋里装有4个白球和4个红球，现在从中任意取3个球，则取到既有白球又有红球的概率为 。
【答案】
【解析】既有白球又有红球1白2红，2白1红，共48种，8个球中任取3个共，故概率为
16.一颗骰子连续抛掷3次，设出现能被3整除的点的次数为,
(1) 求 P(=2) ；
(2) 求 的概率分布 .
【解析】(1)能被3整除的只有3和6，故在一次抛掷中取到的概率为，从而出现不能被3整除的的概率为，故
（2）根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为，，，3．并且
故的概率分布为：
3
17.某体育兴趣小组共有4名同学，如果随机分为2组进行对抗赛，每组二名队员，分配方案共有（ ）种
A、2 B、 3 C、6 D、12
【答案】B
【解析】，故选B
18.将一枚硬币抛三次，则至少出现一次正面的概率为 。
【答案】
【解析】至少出现一次正面事件的对立事件为全出现反面，其概率为，故至少出现一次正面的概率为
19.从 4 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加学校组织的“两山杯”环保知识大赛，设ξ表示选中3人中女生的人数。求
（1）至少有 1 名女生的概率
（2）ξ的概率分布
【解析】（1）
（2）的概率分布为：
3
20.从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】C
【解析】，故选C
21.为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：
（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？
（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？
（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？
【解析】：（1）甲、乙必须去，但丙不去的选派方案的种数为
（2）甲去，乙、丙不去的选派方案的种数为
（3）甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为
22.取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为 .
【答案】
【解析】设正方形外接圆半径为1，则圆的面积为，正方形的边长为，面积为2，该点取自正方形内的概率为
23.某生态园有个出入口，若某游客从任一出入口进入，并且从另外个出入口之一走出，进出方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】进入口有4种选择，出口有3种选择，共12种。
242.从中任选三个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率是 ．
【答案】
【解析】这个三位数是偶数的概率为
25.某实验室有名男研究员，名女研究员，现从中任选人参加学术会议，求所选人中女研究员人数的概率分布．
【解析】女生人数的所有可能取值为，，，．并且
；；
，．
所选3个人中女生人数的概率分布为：

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