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专题十一 立体几何
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 a∥b
3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
5．空间角
(1)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，范围：.
(2)二面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角的范围：[0，π]．
6．圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl
7．柱、锥、球的表面积和体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
球 S＝4πR2 V＝πR3
一 、空间中点、线、面的位置关系
1．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面 D．梯形可确定一个平面
【答案】D
【解析】A. 由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项错误；
B. 一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；
C. 两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；
D. 梯形可确定一个平面，所以该选项正确.
故选：D.
2．下列命题中，所有正确命题的序号是___________.
①两个相交平面把空间分成4部分.
②有两个角是直角的四边形是平面图形.
③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.
④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上.
【答案】①③④
【解析】对①，两个相交平面把空间分成4部分，故①正确；
对②，如图所示：
，满足题意，此时为立体图形，故②错误；
对③，若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点，在两个平面的交线上，故③正确。
对④，如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，此时交点为两个平面的公共点，必在两个平面的交线上，故④正确。
故答案为：①③④
3．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分．
【答案】8
【解析】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1；三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2；三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5，所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．
故答案为：8．
二 、空间中的平行关系
4．下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
【答案】C
【解析】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；
对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行，故B错误；
对C，能推出与平行；
对D，当直线在平面内时，与不平行.
故选：C.
5．已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（ ）
A．必相交 B．必平行
C．相交或平行 D．平行或在平面内
【答案】D
【解析】因为，且，那么直线b在内或平行，故选：D.
6．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
【答案】B
【解析】∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA，故选：B.
三 、空间中的垂直关系
7．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内
【答案】A
【解析】梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知线面关系为垂直，故选：A.
8．空间四边形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC
【答案】D
【解析】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC，故选：D.
9．已知直线、与平面，其中，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】如图1，满足，但不垂直，充分性不成立，当时，因为，由线面垂直的定义可知：，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
10．在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（ ）
A． B．
C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直
【答案】B
【解析】∵平面，直线平面，∴，故选：B．
一、选择题
1．给出下列命题：
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②如果两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直；
③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；
④如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
以上命题中真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】①，垂直于同一条直线的两条直线可能相交或异面，①错误.
②，，根据平行的传递性、线线角的知识可知，②正确.
③，如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面可能相交，③错误.
④，根据面面垂直的性质定理可知：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，④正确，所以真命题的序号是②④，故选：D.
2．已知直线l及两个不重合的平面，，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，且内有无数条直线与l垂直，则
【答案】C
【解析】A选项，如图1，满足，，但不满足，A错误；
如图1，满足，，但不满足，B错误；
若，，由面面平行的定义可知，C正确；
若内这无数条直线均平行，则不能推出，D错误，
故选：C．
3．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、异面或相交
【答案】D
【解析】如图，在正方体中，⊥平面ABCD，⊥平面ABCD， 与平面ABCD所成角均为，此时.则这两条直线可能平行；、与平面ABCD所成角均为，此时两直线、互为异面直线.则这两条直线可能异面；、与平面ABCD所成角均为，此时.则这两条直线可能相交，故选：D．
4．若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方体的体对角线长为，所以球的直径，所以球的表面积为，故选：C.
5．已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】如图，平面平面，平面，但平面，A错误；
分别是的中点，则平面，平面，平面，平面，显然平面与平面不平行，B项错误；
平面平面，平面，而平面，D项错误；
对于C项，，，则或.又，则.
故选：C.
6．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.
故选：B.
7．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，两球的表面积之比为，则，所以两球的体积之比为，故选：C.
8．正方体中，直线和平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接，交于，连接，因为平面，在平面内，所以 ，因为，，所以平面，所以为直线和平面所成的角，设正方体的棱长为1，则，所以，因为，所以，所以直线和平面所成的角为，故选：A.9．
10．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，所以FGAD，所以或其补角为异面直线AE，FG所成角，设正四面体的边长为a，则，，由余弦定理得：，所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为.
故选：C.
二、填空题
11．下列推理正确的是 ．
①，，，
②，
③，
④，
⑤，
【答案】①②④
【解析】①，，，，即，故①对；
②，，故②对；
③，，可能l与相交，可能有，故③不对；
④，，必有故，④对；
⑤，，则l，m可能平行，也可能异面，⑤不对，
故答案为：①②④.
12．在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】底面，是与底面所成的角，设正方体的棱长为，则，，，，故答案为：.
13．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 ．
【答案】平行或异面
【解析】直线平面，直线在平面内，则直线与平面内任意直线无交点，，或与异面，故答案为：平行或异面.
14．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】连接，根据长方体的性质可知，所以是异面直线与所成角（或其补角），在三角形中，，由余弦定理得，故答案为：.
15．圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的体积为 .
【答案】或
【解析】设圆柱底面圆的半径为，高为，若为底面圆的周长，则，则圆柱的体积为，
若为底面圆的周长，则，则圆柱的体积为，故答案为:或.
16．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为 ．
【答案】
【解析】因为F是PC的中点，PA⊥平面ABC，PA＝4，所以F到平面ABC的距离为2，所以三棱锥BEFC的体积为，故答案为：.
三、解答题
18．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵在中，D是AB的中点，，∴，∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，
∴平面．
19．如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点．
（1）求证：平面;
（2）求证：平面．
【答案】证明见解析
【解析】证明：（1）由题知D,E分别是的中点,,平面平面,
平面,得证;
（2）由题知,D是的中点,,平面,平面且,故平面得证．
20．如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又PC 平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.
（2）解：取BC的中点为O，连接MO，
PM∥BC，又PM=BC=CO，∴四边形PMOC为平行四边形，
∴PC∥MO，∵PC⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC， ∠AMO为AM与PC所成的角，即∠AMO=，
∵AC=CO=1，∠ACO=，∴AO=，∴OM=1，则四边形PMOC为正方形，
．专题十一 立体几何
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 a∥b
3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
5．空间角
(1)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角，范围：.
(2)二面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角的范围：[0，π]．
6．圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl
7．柱、锥、球的表面积和体积
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
球 S＝4πR2 V＝πR3
一 、空间中点、线、面的位置关系
1．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面 D．梯形可确定一个平面
2．下列命题中，所有正确命题的序号是___________.
①两个相交平面把空间分成4部分.
②有两个角是直角的四边形是平面图形.
③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.
④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上.
3．在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分．
二 、空间中的平行关系
4．下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
5．已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（ ）
A．必相交 B．必平行
C．相交或平行 D．平行或在平面内
6．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
三 、空间中的垂直关系
7．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内
8．空间四边形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC
9．已知直线、与平面，其中，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既不充分也不必要
10．在正方体中，直线平面（l与直线不重合），则（ ）
A． B．
C．与l异面但不垂直 D．与l相交但不垂直
一、选择题
1．给出下列命题：
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②如果两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直；
③如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；
④如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
以上命题中真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．已知直线l及两个不重合的平面，，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，且内有无数条直线与l垂直，则
3．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、异面或相交
4．若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
6．如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．正方体中，直线和平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
10．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．下列推理正确的是 ．
①，，，
②，
③，
④，
⑤，
12．在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 .
13．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 ．
14．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
15．圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的体积为 .
16．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为 ．
三、解答题
18．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
19．如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点．
（1）求证：平面;
（2）求证：平面．
20．如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求三棱锥的体积.

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