资源简介

重难点突破：平面向量最值问题全梳理
模块一、题型梳理
数量积的最值问题
平面向量满足，则最小值是______
已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为 .
如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
在矩形中，，，若，分别在边，上运动（包括端点，且满足，则的取值范围是__________．
已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是
向量模长的最值问题
已知为单位向量，且，向量满足，则范围为
向量满足 与的夹角为，，则的最大值为（ ）
已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是__________．
向量夹角的最值问题
已知非零向量满足，若函数 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为
非零向量满足=，，则夹角最小值是
已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
平面向量系数的最值问题
已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
【分析】与的夹角为锐角等价于，且与不共线同向，所以由，得，再除去与共线同向的情形．
已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是
如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为
直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为________
平面向量与三角函数相结合的最值问题
已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
平面向量与二次函数相结合的最值问题
在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______．
在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
B． C． D．
平面向量与基本不等式相结合的最值问题
若平面向量，满足：；则的最小值是．
在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为 ．
已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________
平面向量与圆相结合的最值问题
在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是 ．
已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为
A． B． C． D．
若过点的直线与相交于两点，则取值范围______
已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________
给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是
平面向量与三角形相结合的最值问题
在中，已知，，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
已知平面向量满足 ，且与的夹角为，则的取值范围是___________
如图，在直角三角形中，，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是_______
模块二、真题赏析
已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
如图，在平面四边形中，，，，
． 若点为边上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为
A．3 B． C． D．2
已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
模块三、模拟题汇编
1．在平面内，定点A，B，C，D满足 ==，===2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
2．已知点在圆上运动，且．若点的坐标为，则的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
3．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于
A．13 B．15 C．19 D．21
6．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
7．设，为单位向量，非零向量，，若，的夹角为，则的最大值等于________．
8．已知向量，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 ．
9．已知向量,满足,,则的最小值是 ，最大值是 ．
10．设向量
（I）若，求的值；
（II）设函数，求的最大值．重难点突破：平面向量最值问题全梳理
模块一、题型梳理
数量积的最值问题
平面向量满足，则最小值是______
分析：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可
【解析】如图建系可得：
由可得：
而，由轮换对称式不妨设，则
，
已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为 .
【分析】本题由于为过的任一直线，所以的值不确定，从而不容易利用三边向量将进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线方程，与方程联立解出坐标，从而可解出最大值
【解析】以为轴建立直角坐标系，
设直线，由可得：
得：；得：
若直线与相交，则；
如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
在矩形中，，，若，分别在边，上运动（包括端点，且满足，则的取值范围是__________．
已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，设
，
设，
又的取值范围为，故选C
已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是
【解析】令＝＝＋＋＝，
当时，＝，
因为，所以，则建立直角坐标系，，，
设，则，，
所以＝＝；
当时，＝＋≥，
解得，所以，则建立直角坐标系，，，
设，则，，
所以＝＝．
综上所述，当时，取得最小值
向量模长的最值问题
已知为单位向量，且，向量满足，则范围为
【解析】如图，，又
向量满足 与的夹角为，，则的最大值为（ ）
【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围．
【解析】设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立直角坐标系
∵ 与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）
∵，∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离．
∵圆心到B的距离为，∴的最大值为
已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是__________．
【解析】
，
表示与的距离之和的倍，
当共线时，取得最小值，
即有，故答案为．
向量夹角的最值问题
已知非零向量满足，若函数 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为
【解析】，设和夹角为，因为有极值，所以，即，即，所以
非零向量满足=，，则夹角最小值是
【解析】由题意得，，整理得，即，，，夹角的最小值为
已知向量满足，且关于的函数在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
平面向量系数的最值问题
已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
【分析】与的夹角为锐角等价于，且与不共线同向，所以由，得，再除去与共线同向的情形．
【解析】由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且．
已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是
【解析】
如图 三点共线，
∵是的重心，
解得， 结合图象可知
令 故
故，当且仅当等号成立
如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为
【解析】因为三点共线，所以，
因为是重心，所以，所以，
化简得，解得题目所给图像可知．
由基本不等式得
即．当且仅当，
即时，等号成立，故最小值为．
直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为________
【解析】
以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，
∴可设， 因为，
所以
， ，
即的最大值为故答案为．
平面向量与三角函数相结合的最值问题
已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【解析】（1）因为，，，所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．又，所以．
（2）.
因为，所以，从而.
于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值
平面向量与二次函数相结合的最值问题
在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为______．
【解析】设，，所以，
当时，取得最小值．
在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数性质求最大值.
【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，
，，，，因为点在线段的延长线上，设，
，解得，，，，
所在直线的方程为 ，因为点在边所在直线上，故设
，，
当时故选：
【小结】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题
平面向量与基本不等式相结合的最值问题
若平面向量，满足：；则的最小值是．
【解析】，
在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为 ．
【解析】 因为，，
，
，
，
当且仅当即时的最小值为
已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________
【分析】本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
【解析】由可得， ，根据A、B、C三点共线可得，且，
所以
所以最小值为，故填.
平面向量与圆相结合的最值问题
在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是 ．
【解析】设，由，得，向量，
故的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，其最大值为圆的圆心到点的距离加上圆的半径，
即．
已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为
A． B． C． D．
【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，
又设，代入得，
又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，
即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．
若过点的直线与相交于两点，则取值范围______
【解析】本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。所以。进而的范围是
已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________
【分析】题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大。即，只需计算的模长即可
【解析】当与同向时，在上的投影最大，
在中，，
即
，
给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是
思考方向一 ：考虑特值法
解法1 当与重合时，，
当与重合时，，
当从的端点向圆弧内部运动时，，
于是猜想当是的中点时，取到最大值.
当是的中点时，由平面几何知识是菱形，
∴∴
猜想的最大值是.
思考方向二：考虑坐标法
建立如图3，所示的平面直角坐标系，设，则.
于是可化为：，
∴（1）
解法2：函数法求最值
由方程组（1）得：
∴，
又，∴当时，
解法3：不等式法求最值
由方程组（1）得：，
∴，由，及得：，
∴，∴，当且仅当时取等号，∴
思考方向三：考虑向量的数量积的运算
解法：两边点乘同一个向量
∵∴
设，则 ，又，
∴，∴，
∴当时，
解法5：两边平方法
∵∴
∴
，
∴，当且仅当时取等号，
∴
思考方向四：考虑平行四边形法则
过作∥交于，作∥交于，则是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：，在中，设，
则 ， 且
解法6：利用正弦定理
，
，由等比性值得：，
∴，∴当时，
解法7：利用余弦定理
∴，
∴，当且仅当时取等号，∴
小结：仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数法和不等式法.当然，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.
平面向量与三角形相结合的最值问题
在中，已知，，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】，而又由余弦定理可得，再利用基本不等式即可解决.
【解析】在中，由，及余弦定理可得，又
（当且仅当时取等号），所以，即.因为，所以为的中点，所以的面积，所以，所以的面积的最大值为.故选：B.
【小结】本题考查余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生运算求解能力，是一道中档题.
已知平面向量满足 ，且与的夹角为，则的取值范围是___________
【分析】本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成，，从而可利用正余弦定理求出即的取值范围
【解析】在中，由正弦定理可得：
而
如图，在直角三角形中，，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是_______
【分析】直角三角形直角边已知，且为图形内动点，所求不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设，可得，而所在范围是一块区域，所以想到用线性规划求解
【解析】以为轴建立直角坐标系
，设
；
数形结合可得：
模块二、真题赏析
【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.
则,
令0.
又因为可取遍，
所以当时，有最小值.
因为和的取值不相关，或，
所以当和分别取得最大值时，y有最大值，
所以当时，有最大值.
故答案为0；.
【小结】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.
(2018天津)如图，在平面四边形中，，，，
． 若点为边上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形中，，，所以，，，
设,，所以，，
因为，所以，即，解得，
即，因为在上，所以，由，得，即，因为，，
所以
，令，
因为函数在 上单调递减，在上单调递增，
所以．所以的最小值为，故选A．
（2017新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为
A．3 B． C． D．2
【解析】如图建立直角坐标系，
则，，，，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，
所以，，，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A．
（2017新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A． B． C． D．
【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，，，设
所以，，
所以 ，
当时，所求的最小值为，故选B．
(2018浙江)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
解法一：设为坐标原点，，，，由
得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l为半径的圆．
因为与的夹角为，所以不妨令点在射线()上，如图，
数形结合可知．故选A．
解法二：由得．
设，，，所以，，
所以，取的中点为．则在以为圆心，为直径的圆上，如图．
设，作射线，使得，所以
．故选A．
模块三、模拟题汇编
1．在平面内，定点A，B，C，D满足 ==，===2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A． B． C． D．
【解析】由知,为的外心．由== 知为的内心，所以为正三角形，易知其边长为，取的中点，因为是的中点，所以，所以，则．故选B．
2．已知点在圆上运动，且．若点的坐标为，则的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由题意得，AC为圆的直径，故可设，，，∴而，∴的最大值为，故选B．
3．（2020·四川省绵阳南山中学高三）点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意得，再利用基本不等式即可求解．
【解析】将平方得，
（当且仅当时等号成立），，的最小值为，故选：D．
【小结】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．
4．（2020·内蒙古高三）已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【解析】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.故选：.
【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
5．已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于
A．13 B．15 C．19 D．21
【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
所以点，，，所以
=（当且仅当，即时取等号），所以的最大值为13．
6．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1
A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定
【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最小值为，即，则知若确定，则唯一确定．
7．设，为单位向量，非零向量，，若，的夹角为，则的最大值等于________．
【解析】
，所以的最大值为2．
8．已知向量，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 ．
【解析】由题意令，，，
则由 可得 ①，令 ②
得对一切实数恒成立，
所以．
故．故最大值为．
9．已知向量,满足,,则的最小值是 ，最大值是 ．
【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有，
，则，
令，则，据此可得：
，即的最小值是4，最大值是.
10．设向量
（I）若，求的值；
（II）设函数，求的最大值．
【解析】（I）由，，
及，又，所以.
（II）=.
当所以
更多微信扫上方二维码码获取

展开更多......

收起↑