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准考证号
姓名
(在此卷上答题无效)
福建省部分地市2024届高中毕业班第一次质量检测
数学试题
2024.1
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120.分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂
改液.
4.考试结束后，考生上交答题卡
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知zi=z+1(i为虚数单位)，则|z=
A.
B②
2
C.1
D.√2
2.设集合M={x|-2≤x≤2}，N={yly=2+1},则MUN=
A.[-2,+)
B.(1,2]
C.[1,2]
D.(1,+∞)
3.已知直线1与曲线y=x3-x在原点处相切，则1的倾斜角为
A君
B平
c
D.
4.已知a,b为单位向量，若|a+b=|a-b|,则a+b与a-b的夹角为
A号
B罗
c
D.狂
5.
已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x2-2x+1,则f(2)+f(0)=
A.2
B.1
C.-8
D.-9
6.已知a=x+上，b=ee,c=sinx+5cosx,则下列结论错误的为
A.3x∈[-1,1]，a>c
B.3x∈[-1,1]，b>c
C.3x∈[-1,1]，aD.3x∈[-1,1]，b7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所
排列的形状把数分成许多类，如图所示的1,5,12,22被称为五边形数，将所有的五边
形数从小到大依次排列，则其第8个数为
A.51
B.70
C.92
D.117
数学试题第1页（共4页）
代0S共，代己赐小醒小A共醒大太：空示，三
从人接股竹学同》=丙，下
A
10:1,.【
5。c1,:12
1.0.1)=224-
(第7题图)
8已知函数f(x)的定义域为R,V元，yeR,f(+1)fy+1)=f(x+y)-f(x-y),若f(0)≠0，
则f(2024)=
A.-2
B.-4
C.:2.
D.4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。·全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。贸六不：
,四
9.已知函数fx)-2sin(2x-于)，则
=卡op+8o且.3.d,D比限代安成喵O,8,A武内帕O8A△厌9
A∫(x)的最小正周期为T
:.i
Bfx)的图象关于点(2T,0)成中心对称张，y+S代斗周阳0△且，k答
Cf(x)在区间0，号]上单调递增
D.若fx)的图象关于直线=对称，则sin2x。号
10.已知甲、乙两组数据分别为：20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙组数据的平均
数比甲组数据的平均数大3，则
A.甲组数据的第70百分位数为23
B.甲、乙两组数据的极差相同
C.乙组数据的中位数为24.5
D.甲、乙两组数据的方差相同
1设精圆C等+卡=1(@>6>0)的左，右焦点分别为R,,过R的直线与C交于A,B两点，
若|FF2=2,且△ABF2的周长为8，则
A.a=2
B.C的离心率为}
C.AB可以为m
D.∠BAF2可以为直角
12.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，△ABF和△DCE均是等边三角形，
且AB=2√3，EF=x(x>0),则
A.EF∥平面ABCD
B.二面角A-EF-B随着x的减小而减小
C.当BC=2时，五面体ABCDEF的体积V(x)最大值为
2
D.当BG=时，存在x使得半径为5的球能内含于五面
2
(第12题图)
体ABCDEF
数学试题第2页（共4页）绝密★启用前 试卷类型：A
福建省部分地市 2024 届高中毕业班第一次质量检测
数学试题答案及详解 2024.1
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C B D D C A
1. 已知 z i z 1（ i为虚数单位），则 | z |
1
A． B 2． C．1 D．
2 22
1 1 i
解析：∵ z i z 1 z 2，∴ ，∴ | z | ，应选 B．
1 i 2 2 2
2．设集合M {x | 2 x 2}， N {y | y 2x 1}，则M N
A．[ 2， ) B． (1，2] C．[1，2] D． (1， )
解析：∵ N {y | y 1}，∴M N {x | x 2}，应选 A．
3．已知直线 l与曲线 y x3 x在原点处相切，则 l的倾斜角为
π π 3π 5π
A． B． C． D．
6 4 4 6
解析：∵ y x3 x，∴ y 3x2 1，∴曲线 y x3 x在原点处的切线 l的斜率为 y (0) 1，
∴ l 3π的倾斜角为 ，应选 C．
4
4．已知 a ， b为单位向量，若 | a b | | a b |，则 a b与 a b 的夹角为
π π 2π 3π
A． B． C． D．
3 2 3 4
解析：∵ | a b | | a b |，∴ (a b)2 (a b)2 ，∴ a b 0，即a b ，又 a ，b为单位向量，
∴ a ，b可视为边长为1的正方形相邻两条边作为有向线段所对应的向量，
显然 a b与 a b 为该正方形的两条对角线作为有向线段所对应的向量，
π
易知正方形的对角线相互垂直，即 a b与a b 的夹角为 ，应选 B．
2
5．已知 f (x)为定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) x2 2x 1，则 f (2) f (0)
A． 2 B．1 C． 8 D． 9
高三数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 17 页
解析：∵当 x 0时， f (x) x2 2x 1，∴ f ( 2) 9，∵ f (x)为定义在 R 上的奇函数，
∴ f (2) 9，且 f (0) 0，∴ f (2) f (0) 9，应选 D．
1
6．已知 a x ，b ex e x ， c sin x 3cos x ，则下列结论错误的为x
A． x [ 1,1]， a c B． x [ 1,1]，b c
C． x [ 1,1]， a c D． x [ 1,1]，b c
解析：（方法一）∵ c sin x 3cos x 2sin(x π ) ，∴ c 2，∵ ex 0，e x 0，∴由基
3
本不等式可知 b e x e x 2 e x e x 2 ，∴b c，故选项 D中的结论错误，应选 D．
（方法二）易知当 x 0.1时， a c；当 x 0时，b c；当 x 0.1时， a c，故 A，B，
C中结论正确，由排除法可知应选 D．
7．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子
所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12， 22被称为五边形数，将所有的
五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为
A．51 B． 70 C．92 D．117
(第 7题图)
解析：不妨设五边形数从小到大依次为 a1，a2 ，a ， ...3 an ，观察图形，将第一个图形视为
一层小石子，第二个图形视为两层小石子，第三个图形视为三层小石子（从左下角的小石子
开始作为第1层，沿右上角方向依次为第 2层，第3层， ，第 n层），以此类推，从第二个
图形起，每个图形中的第 k(k 2)层小石子排成三条长度相等的线段（每条线段上的小石子
数目恰为 k(k 2)，连接处有两个公用小石子），易知每层的小石子数目为 3k 2(k 2)，
∴第 8个图形的小石子数目为1 (3 2 2) (3 3 2) (3 8 2) 92（即等差数列
{3n 2}的前8项和），∴应选 C．
8．已知函数 f (x)的定义域为R ， x, y R ， f (x 1) f (y 1) f (x y) f (x y)，若
f (0) 0，则 f (2024)
A． 2 B． 4 C． 2 D． 4
解析：（方法一）令 x y 0，则[ f (1)]2 f (0) f (0) 0，∴ f (1) 0，
高三数学参考答案及评分标准 第 2 页 共 17 页
令 x 0， y x，则 f (1) f (x 1) f (0 x) f (0 x) 0 ，∴ f (x) f ( x)，
令 y x，则 f (x 1) f (1 x) f (0) f (2x) ，
令 y x，则 f (x 1) f (x 1) f (2x) f (0) ，
∴ f (x 1) f (1 x) f (x 1) f (x 1) ，
若 f (x 1) 0恒成立，则与题设条件 f (0) 0矛盾，∴ f (1 x) f (x 1)，
又∵ f (x) f ( x)，∴ f (x) f ( x) f (2 x)，
∴ f (x) f (x 4)，∴ 4为 f (x)的周期，∴ f (2024) f (0)，
令 x y 1，则 f (2) f (2) f (2) f (0) ，
又∵ f (2) f (0)，∴ f (0) f (0) 2 f (0) ，解得 f (0) 2，∴ f (2024) 2，应选 A.
（方法二）∵ cos(x y) cos(x y) 2sin xsin y ，
∴ 2cos(x π )cos( y π ) cos(x y) cos(x y) ，
2 2
∴[ 2cos(x π )][ 2cos( y π )] [ 2cos(x y)] [ 2cos(x y)] ，
2 2
由此联想去构造函数，∵ f (x 1) f (y 1) f (x y) f (x y) f (x) πx，∴可令 2cos ，
2
显然 f (x) 2cos πx 符合 x, y R ， f (x 1) f (y 1) f (x y) f (x y)，且 f (0) 0，
2
∴ f (2024) 2cos(1012π) 2，应选 A．
二、多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 BC BD AC ACD
π
9．已知函数 f (x) 2sin(2x ) ，则
3
π
A． f (x)的最小正周期为
2
2π
B． f (x)的图象关于点 ( ,0)成中心对称
3
C． f (x) π在区间[0, ]上单调递增
3
D．若 f (x)
1
的图象关于直线 x x0对称，则 sin 2x0 2
2π
解析：（选项 A） f (x)的最小正周期为 π，∴选项 A错误；
2
高三数学参考答案及评分标准 第 3 页 共 17 页
x 2π 2x π（选项 B）当 时， π，又 sin π=0，∴ f (x)的图象关于点 (2π ,0)成中心对称，
3 3 3
∴选项 B正确；
（选项 C）当 0 x π π 2x π π y sin x [ π , π 时， ，又函数 在区间 ]上单调递增，
3 3 3 3 3 3
∴ f (x) π在区间[0, ]上单调递增，∴选项 C正确；
3
（选项 D）∵ f (x)的图象关于直线 x x π π0对称，∴ 2x0 kπ (k Z)，3 2
2x kπ 5π∴ 0 (k Z)
1
，∴ sin 2x0 ，∴选项 D错误，6 2
综上所述，应选 BC．
10．已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和 a，23，24，25，26，
27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则
A．甲组数据的第 70百分位数为 23 B．甲、乙两组数据的极差相同
C．乙组数据的中位数为 24.5 D．甲、乙两组数据的方差相同
解析：∵乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大 3，注意到两组数据的特点（将 a调到乙
组数据的最后位置，则每个数值对应大3），∴易知 a 28，
（选项 A）易知甲组数据的第 70百分位数为第5个数 24，∴选项 A错误；
（选项 B）∵ 25 20 28 23 5，∴甲、乙两组数据的极差均为5，∴选项 B正确；
25 26
（选项 C）乙组数据的中位数为 25.5，∴选项 C错误；
2
（选项 D）∵设甲组数据为 xi，乙组数据为 yi ，则 yi xi 3，易知甲、乙两组数据的方差
相同，∴选项 D正确，
综上所述，应选 BD．
2 2
11．设椭圆C : x y2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 Fa b 1
的直线与C 交于 A，
B两点，若 |F1F2 | 2，且△ ABF2的周长为8，则
A． a 1 2 B．C 的离心率为
4
C． | AB |可以为 π D． BAF2 可以为直角
解析：（选项 A）由△ ABF2的周长为8，及椭圆定义可知 4a 8，即 a 2，∴选项 A正确；
（选项 B）∵ |F1F2 | 2 2c， a 2
c 1
，∴C 的离心率为 ，∴选项 B错误；
a 2
高三数学参考答案及评分标准 第 4 页 共 17 页
x2 y2 2b2
（选项 C）∵b2 22 12 3，∴C的方程为 1，易知 | AB | 2a，即3 | AB | 4，
4 3 a
∵3 π 4，∴ | AB |可以为 π，∴选项 C正确；
（选项 D）（方法一）不妨设 | AF1 | m，| AF2 | n，则m n 2a 4，∴m2 2mn n2 16，
若 BAF2为直角，则m2 n2 4c2 4，∴ 4 2mn 16，即mn 6，
∴m， n为方程 x2 4x 6 0的两个实数根，易知 42 4 6 0，
∴方程 x2 4x 6 0无实数根，∴ BAF2不可能为直角，选项 D错误，

（方法二）不妨设直线 AB的方程为 x my 1，A(x1, y1)，B(x2 , y2 )，则 AB (x2 x1, y2 y1)，

AF2 (1 x1, y1)，若 BAF2 为直角，则 AB AF2 (x2 x1)(1 x1) (y2 y1)y1 0，
∴ (my2 my1)(2 my1) (y2 y
2m
1)y1 0，显然 y1 y2，∴m(2 my1) y1 0，即 y1 2 ，m +1
x my 1，
2 2 2m联立 x y 得 (3m2 4)y2 6my 9 0 ①，∵ y1 2 是方程①的实数根，
1， m +1 4 3
2
∴ (3m2 4)( 2m )2 12m 9 0 ，化简得12m4 20m2 9 0②，
m2+1 m2+1
②显然不可能成立，∴ BAF2 不可能为直角，选项 D错误，
综上所述，应选 AC．
12. 如图所示，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是矩形，△ ABF 和△DCE均是等边
三角形，且 AB 2 3， EF x (x 0)，则
A． EF // 平面 ABCD
B．二面角 A EF B随着 x的减小而减小
27
C．当 BC 2时，五面体 ABCDEF 的体积V (x)最大值为
2
BC 3D．当 3时，存在 x使得半径为 的球能内含于五面体 ABCDEF
2 2
(第 12题图)
解析：（选项 A）显然 A，D， E ， F 四点共面，且 B，C， E ， F 四点共面，
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∵ BC //AD，∵ AD 平面 ADEF ， BC 平面 ADEF ，∴ BC //平面 ADEF ，
∵平面 BCEF 平面 ADEF EF ，∴ BC //EF ，
∵ BC 平面 ABCD， EF 平面 ABCD，∴EF //平面 ABCD，故选项 A正确；
3
（选项 B）设二面角 A EF B的大小为 2 ，点 F 到平面 ABCD的距离为 h，则 tan ，
h
∵点 F 到平面 ABCD的距离当且仅当平面 FAB 平面 ABCD时取得最大值，
∴当 x BC时， tan 3 取得最小值，即 取得最小值，亦即二面角 A EF B取得最
h
小值，故选项 B错误；
（选项 C）当 BC 2时，如图所示，把五面体 ABCDEF 补全成直三棱柱 FGI EKJ ，
分别取 AB，GI 的中点M ，H ，易得 FH 平面 ABCD， FM 3，
设 FMH (0 π ) ，则MH 3cos ， FH 3sin ，
2
E
K D A G
M H
J C B I
∴V (x) V五面体ABCDEF V三棱柱FGI EKJ 2V四棱锥F ABIG
1
2 3 3sin (2 2 3cos ) 2 1 3sin 2 3 3cos 6 3sin 6 3sin cos ，
2 3
π
令 f ( ) 6 3sin 6 3sin cos ，则 f ( ) 6 3cos 6 3cos2 0，解得 ，
3
π f ( ) f ( ) f ( π) 6 3sin π 6 3sin πcos π 27易知 是函数 的极大值点，则 max ，3 3 3 3 3 2
∴五面体 ABCDEF 27的体积V (x)最大值亦为 ，故选项 C正确；
2
3
（选项 D）当 BC 时，若△ ABF 和△DCE所在平面均垂直于平面 ABCD时，构成正三
2
棱柱 ABF DCE 3 3 3，易知此时正三棱柱内最大的球半径 r ，此时半径为 的球不
4 2 2
能内含于五面体 ABCDEF ，对于一般情形，如下图所示，左图为左视图，右图为正视图，
F E F
I H G N M
由 C的结果可以想到，当五面体 ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，
FMH π易知当 3 3时， FH ， IH 39 3，且 IF ，
3 2 2
高三数学参考答案及评分标准 第 6 页 共 17 页
FIG r 1 3 3 2 3 1
3 3 3
设△ 的内切圆半径为 1，则 r1(2 3
39
)，解得 r ；
2 2 2 2 1 13 2 2
另一方面，设等腰梯形 EFMN 3 π 3 3
3 3
中的圆的半径为 r2，则 r2 tan r ，4 3 4 13 2 1
3 3
∴半径为 的球能内含于五面体 ABCDEF ，
13 2
3
∴半径为 的球亦能内含于五面体 ABCDEF ，故选项 D正确，
2
综上所述，应选 ACD．
三、填空题：
3
13． ； 14． 24； 15． 2 ； 16． 26 ； (
4 5 ,2)．
5 5
13．若 sin(
π 3
) ，则 cos( π ) ________．
4 5 4
π
解析：∵ cos( ) cos[(
π ) π ] sin( π ) π 3 3 ，∴ cos( ) ，应填 ．
4 4 2 4 4 5 5
14．《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计
划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_______种．
解析：显然甲、乙、丙三名同学每人均有三种选法，由分步乘法原理可知有33 27种选法，
若三人选择的书全部相同，则有3种选法，∴若三人选择的书不全相同，则有 27 3 24种
不同选法，应填 24．
15．已知平面 的一个法向量为 n (1,0,1)，且点 A(1,2,3)在 内，则点 B(1,1,1)到 的距离
为 ．

| AB n | 2
解析：易知 AB (0, 1, 2)，∴点 B(1,1,1)到 的距离为 2，应填 ．
| n | 22
16．设△ ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边 AB的中点，点 P在△ ABC所在
的平面内，记△ PCD与△ PAB面积分别为 S1， S2 ，且 S1 S2 1．当 | PB | 10，
且 | PA | | PB |时， | PA | ________；记 | | PA | | PB | | a，则实数 a的取值范围为
________．（注：第一空 2分，第二空 3分）

解析：以D为原点，DB为 x轴正方向建立直角坐标系 xDy，B(1,0)，C(0,1)，A( 1,0)，
设 P(x0 , y0 )
1 1
，则 S1 | x2 0
|， S2 | y0 |，∴ | x0 | | y0 | 1 ①，2
高三数学参考答案及评分标准 第 7 页 共 17 页
当 PB 10，且 PA PB时， x0 0， | PB |2 (x0 1)
2 y20 10 ②，
联立①，②，解得 x0 4， | y0 | 1，
∴ | PA | 2 (x0 1)
2 y20 26，∴ | PA | 26 ，故应填 26 ；
（或者由 | PA | 2 | PB |2 4x0亦可得 | PA |
2 26，从而 | PA | 26 ）
若 || PA | | PB || a，则由双曲线的定义知点 P在以 A，B为焦点的双曲线上，但不包含
x2 y2
1 4x2 4y2
双曲线的两个顶点，且该双曲线的方程为 (a 2
，
) 1 (a )2 ，即 a2

4 a2
1
2 2
∵该双曲线的顶点的横坐标的绝对值小于半焦距 1，
1
∴双曲线和曲线 | x | | y |
1
1有交点即双曲线的渐近线和曲线 | x | | y | 1有交点，
2 2
1 4 a2 1
∴双曲线渐近线斜率的绝对值小于 ，即
2 0
，
a2 2
2
∴ 0 4 a 1 4 5 4 52 ，解得 a ( ,2)，故应填 ( ,2)．a 4 5 5
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知△ ABC的内角 A， B，C 的对边分别为 a，b， c，且 a2 cosB abcos A 2c．
(1) 求 a；
(2) 若 A 2π ，且△ ABC的周长为 2 5 ，求△ ABC的面积．
3
解：(1) ∵ a2 cosB abcos A 2c，∴ a(acosB bcos A) 2c ， ………………………1分
由正弦定理，得 a sin AcosB sinBcos A 2sinC， ……………………………………2分
即 asin(A B) 2sinC ， …………………………………………………………………3分
∵ A B C π，∴ sin(A B) sinC， …………………………………………………4分
∴ asinC 2sinC，
∵ 0 C π，∴ sinC 0，
∴ a 2． ……………………………………………………………………………………5分
(2)由(1) 知 a 2，
2 2 2 2 2
在△ ABC b c a b c 4中，由余弦定理，得 cos A ， ……………………6分
2bc 2bc
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b2 c2 4 1
∴ ，整理得：b2 c2 bc 4 ①， ………………………………7分
2bc 2
∵ a b c 5 2，∴b c 5 ②， ……………………………………………8分
由①，②得b2 c2 bc (b c)2 bc 4，∴bc 1， ……………………………………9分
记△ ABC的面积为 S，
1
∴ S bc sin A 1 sin 2π 3 ． ………………………………………………………10分
2 2 3 4
18.（12分）
如图，在四棱锥 E ABCD中，AD//BC，2AD BC 2，AB 2，AB AD，EA
平面 ABCD，过点 B作平面 BD．
(1) 证明：平面 //平面 EAC；
(2) 已知点 F 为棱 EC的中点，若 EA 2，求直线 AD 与平面 FBD所成角的正弦值.
(第 18题图)
证明：(1) 设 AC与 BD的交点为O， E
∵ AD//BC，且 AB AD，∴ AB BC，
F
∵ AD=1， AB 2， AB AD，
且 AB 2， BC 2， AB BC， B C
∴△ ABD △ BCA O，…………………………2分
ABD BCA A∴ ， D
∴ BAC ABD BAC BCA，
∵ AB BC，∴ BAC BCA 90 ，
∴ BAC ABD 90 ，
高三数学参考答案及评分标准 第 9 页 共 17 页
即 BAO ABO 90 ，∴ AOB 90 ，
∴ AO BO，即 AC BD， ……………………………………………………………4分
∵ EA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD，
∴ EA BD，
∵ EA AC A， EA,AC 平面 EAC，
∴ BD 平面 EAC，
又∵ BD，且 B 平面 EAC，
∴平面 //平面 EAC． ………………………………………………………………………5分
(2) （方法一）∵ AB AD， EA 平面 ABCD，
∴ AB， AD， AE两两垂直．
如图，以 A为原点， AB， AD， AE分别为 x轴，
y轴， z轴，建立空间直角坐标系 A xyz，
则 A(0 , 0 , 0)，D(0 ,1 , 0)， B( 2 , 0 , 0)，
E(0 , 0 , 2)，C( 2 , 2 , 0)，

∴ AD (0 ,1 , 0)， BD ( 2 ,1 , 0)， BC (0 , 2 , 0)，BE ( 2 , 0 , 2)，………………8分
∵点 F 为棱 EC的中点，

∴ BF 1 (BC BE ) 2 ( ,1 ,1) ， ………………………………………………………9分
2 2
设平面 FBD的一个法向量为 n (x , y , z)，

2x y 0， BD n 0，
则 ∴
BF n 0
2
， x y z 0，
2
取 x 2，得 y 2 2， z 2 ，
∴平面 FBD的一个法向量为 n (2 , 2 2 , 2)，………………………………………10分
记直线 AD与平面 FBD所成角为 ，

则 sin | cos AD,n |
| A
D n | | 2 2 | 2 7 ，
| AD || n | 1 4 8 2 7
2 7
∴直线 AD与平面 FBD所成角的正弦值为 ． ………………………………………12分
7
（方法二）如图，取 AC中点M ，连接 FM ，
∵ F为棱 EC的中点，
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FM EA
E
∴ 1，且 FM //EA，
2
EA F∵ 平面 ABCD，
∴ FM 平面 ABCD， …………………………6分
B C
∵OM 平面 ABCD，∴ FM OM ， M
O
∵ AB AD， AB BC，
A D
∴ BD AB 2 AD2 3， AC AB 2 BC 2 6 ， ……………………………7分
易知△OBC △ODA，
OA DA 1
∴ ，
OC BC 2
OA OC 6 AC 6∴ ，即OA ，
2 2 3 3
AM AC 6 6又 ，∴OM AM OA ,
2 2 6
∵ FM 1，且 FM OM ，∴OF 1 7 1 ， …………………………………8分
6 6
∵ BD 平面 EAC，OF 平面 EAC，
∴ BD OF ，
∴ S 1 FBD BD OF
1 7 14
3 ， ……………………………………………9分
2 2 6 4
∵ AD 1 2， AB 2，且 AB AD，∴ S ABD ；…………………………………10分2
设 h为 A到平面 BFD的距离，
∵V 1 1A BFD VF ABD，∴ S3 BFD
h S
3 ABD
FN，
14 2 2 7
即 h 1，解得 h ， ……………………………………………………11分
4 2 7
记直线 AD与平面 FBD h 2 7所成角为 ，则 sin ，
AD 7
AD 2 7∴直线 与平面 FBD所成角的正弦值为 ． ………………………………………12分
7
19．（12分）
已知数列{a *n}的前 n项和为 Sn，a2 2a1 4，当 n N ，且 n 2时，Sn 1 3Sn 2Sn 1．
(1) 证明：{an}为等比数列；
b a(2) n设 n ，记数列{bn}的前 n
1
(a 1)(a 1) 项和为
Tn，若Tm m 2 1，求正整
n n 1 7 2
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数m的最小值．
解：(1) ∵当 n N*，且 n 2时， Sn 1 3Sn 2Sn 1 ，
∴当 n 2时， Sn 1 Sn 2(Sn Sn 1)，
∴ an 1 2an (n 2)， ………………………………………………………………………3分
∵ a2 2a
*
1 4，∴ an 1 2an (n N )，且 a1 2，
∴{an}是以首项为 2，且公比也为 2的等比数列． ………………………………………5分
(2)由(1) 易知{an}的通项公式为 an 2
n (n N* )， ………………………………………6分
n
∵b
an 2 1 1
n n ， ………………………8分(an 1)(an 1 1) (2 1)(2
n 1 1) 2n 1 2n 1 1
T (1 1 )+( 1 1 1 1 1 1 1∴ n ) ( n-1 n )+( ) 1 ，…………9分3 3 7 2 1 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 n 1 1
∵T 1m m 2 1，∴1
1 1
1，
7 2 2m 1 1 7 2m 2
∴ 2m 1 1 7 2m 2 ，即8 2m 2 1 7 2m 2 ，……………………………………………10分
∴ 2m 2 1，∴m 2 0，∴m 2，
∴m 3，即正整数m的最小值为3 . ………………………………………………………12分
20．（12分）
已知甲、乙两支登山队均有 n名队员，现有新增的 4名登山爱好者 a，b，c，d 将
依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放
有红球和黑球各 2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同．先由第一名新增登山爱好
者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着
由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重
复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分
至甲队，否则被分至乙队．
(1) 求 a，b，c三人均被分至同一队的概率；
(2) 记甲、乙两队的最终人数分别为 n1， n2 ，设随机变量 X | n1 n2 |，求 E(X )．
解：(1) a，b， c三人均被分至同一队当且仅当三人同分至甲队或同分至乙队．
设事件 A “ a被分至甲队”， B “b被分至甲队”，C “ c被分至甲队”，
当 a即将摸球时，箱中有 2个红球和 2个黑球，则 a被分至甲队即 a摸出红球的概率为
P(A) 2 1 ， ……………………………………………………………………1分
2 2 2
当 a被分至甲队时，箱中有 2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即 b摸出红球的概率为
高三数学参考答案及评分标准 第 12 页 共 17 页
P(B | A) 2 2 ， ……………………………………………………………………2分
2 3 5
当 a，b均被分至甲队时，箱中有 2个红球和 4个黑球，则 c被分至甲队即 c摸出红球的
概率为 P(C | AB)
2 1
， …………………………………………………………3分
2 4 3
∴ P(AB) P(A)P(B | A) 1 2 1 ，
2 5 5
1 1 1
∴ P(ABC) P(AB)P(C | AB) ， ……………………………………………4分
5 3 15
1
同理可知，新增登山爱好者 a，b， c均被分至乙队的概率也为 ，
15
∴ a，b，c 1 1 2三人均被分至同一队的概率为 ．……………………………5分(2)
15 15 15
由题设可知， X 的可能取值为 4， 2，0， ……………………………………6分
X 4表明新增的 4名登山爱好者均被分至甲队或乙队，
∴ P(X 4) 2 2 2 2 2 4 ； …………………………………………………7分
4 5 6 7 105
X 2表明新增的 4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名则被分至另一队，
设新增的第 k (k 1,2,3,4)名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，
P 2 3 3 3 9 2 3 3 3 9则 1 P(k 1) 2 ， P P(k 2) 2 ，4 5 6 7 70 2 4 5 6 7 70
P P(k 3) 2 2 2 4 3 43 ， P P(k 4) 2
2 2 2 5 2
，
4 5 6 7 35 4 4 5 6 7 21
…………………………………9分
7
∴ P(X 2) P1 P2 P3 P4 ； …………………………………………………10分15
X 0表明新增的 4名登山爱好者中各有 2名被分至甲队和乙队，
∴ P(X 0) 1 P(X 2) P(X 4) 52 ； ………………………………………11分
105
4 7 52 38
∴ X 的数学期望 E(X ) 4 2 0 ． ………………………12分
105 15 105 35
21．（12分）
f (x) a ln x x 1已知函数 有两个极值点 x ， x ．
x 1 1 2
(1) 求实数 a的取值范围；
f (x1) f (x ) a 2a
2
(2) 2证明： ．
x1 x2 a 1
a 2 ax2f (x) 2(a 1)x a解：(1) 易知 (x 0)， …………………………1分
x (x 1)2 x(x 1)
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若 a 0，则 f (x) 0在 (0, )上恒成立，
∴ f (x)在 (0, )上单调递减，不可能有两个极值点，与题设矛盾，
∴ a 0， ……………………………………………………………………………………2分
∵ f (x)有两个极值点 x1， x2，
2
∴关于 x的方程 ax 2(a 1)x a 0 (a 0)有两个相异的正实数根 x1， x2， ………3分
4(a 1)2 4a2 4(1 2a) 0,

a 1
∴ 0, ……………………………………………………4分
a
a 0,
1
解得 0 a ，
2
1
∴实数 a的取值范围为 (0, )． ……………………………………………………………5分
2
1 2(1 a)
(2) 由(1)知，0 a ，且 x1 x2 ， x1x2 1，…………………………………6分2 a
不妨设 0 x1 1 x2，
a ln x x1 1 a ln x x2 1 a ln x1 2(x 1 x2 )1 2
化简可得 f (x1) f (x2 ) x1 1 x2 1 x2 (x1 1)(x2 1)
x1 x2 x1 x2 x1 x2
a ln x1
x 2
2 ， …………………………………………………………7分
x1 x2 x1x2 1 x1 x2
f (x1) f (x2 ) a(ln x1 ln x2 ) 2 a(ln x1 ln x 2 ) a
∴ x1 x2 x1 x 2 2(1 a)2 x1 x ，……………………8分2
a
f (x1) f (x2 ) a 2a
2 1 2a ln x ln x a ln x ln x
欲证 1 2，只需证 1 1 2a 1 x x ，只需证
，
x1 x2 a 1 1 2 1 a x1 x2
x1 1
2 ln x1 ln x 2 1 x1 x2只需证 x x x x ，只需证
ln ，
1 2 1 2 2 x2 x1 1
x2
x1 1 t 1
令 t (0 t 1)x ，则需证 ln t ， …………………………………………………10分2 2 t 1
1 1
由(1)知，当 a 时， ax2 2(a 1)x a (x 1)2 0 ，即 f (x) 0，
2 2
高三数学参考答案及评分标准 第 14 页 共 17 页
f (x) 1∴ ln x x 1 在 (0, )上单调递增， ……………………………………………11分
2 x 1
∵ 0 t 1，∴ f (t) f (1) 0 1 ln t t 1 0 1 ln t t 1，即 ， 即 ，
2 t 1 2 t 1
f (x1) f (x
2
2 ) a 2a
∴ ．…………………………………………………………………12分
x1 x2 a 1
22．（12分）
在平面直角坐标系 xOy中，点 P(1,0)，点 A为动点，以线段 AP为直径的圆与 y轴相切，
记 A的轨迹为 ，直线 AP交 于另一点 B．
(1) 求 的方程；
(2) △OAB的外接圆交 于点C（不与O，A，B重合），依次连接O，A，C ，B构
成凸四边形OACB，记其面积为 S．
(i) 证明：△ ABC的重心在定直线上；
(ii) 求 S的取值范围．
x 1 y
解：(1) 设 A(x, y)，则线段 AP的中点坐标为 ( , )， ………………………………1分
2 2
x 1 1 1
∵以线段 AP为直径的圆与 y轴相切，∴ AP (x 1)2 y 2 ，……………2分
2 2 2
化简，得 y2 4x． ………………………………………………………………………3分
(2) (i)如图，设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，C(x3 , y3 )，
（方法一）∵O， A，C ， B四点共圆，
∴ OAB OCB， ………………………………4分
由对称性可知直线OA， AB，OC， BC 的斜率存在，
不妨设其分别为 k1， k2， k3， k4，
且OA，AB，OC，BC 的倾斜角为 1， 2， 3 ， 4，
∴ OAB 2 1， OCB 4 3，
∵ OAB OCB，∴ tan OAB tan OCB ，
k2 k1 k4 k3
∴ 1 k k 1 k k ①， ……………………………………………………………5分 1 2 3 4
k y1 y 41 1 ∵ x 11 y 2 y ，1
4 1
4 4 4
∴同理可得 k2 k k y ， ， ，1 y
3 y 42 3 y2 y3
高三数学参考答案及评分标准 第 15 页 共 17 页
y2 y2
代入①并化简，得 y1(y1 y2 ) 16 y3 (y2 y3 ) 16
， …………………………………6分

即 y1(y1 y2 ) y3(y2 y3)，即 (y1 y3)(y1 y2 y3) 0，
∵ y1 y3，∴ y1 y2 y3 0
1
，即 (y1 y2 y ) 0 ，3 3
ABC 1∵△ 的重心的纵坐标为 (y1 y2 y3) ，3
∴△ ABC的重心在定直线 y 0上．…………………………………………………………7分
（方法二）∵O， A，C ， B四点共圆，设该圆方程为 x2 y2 dx ey 0，
x2 y2 dx ey 0，
联立 消去 x 42 ，得 y (4d 16)y
2 16ey 0 ， ……………………4分
y 4x，
即 y(y3 (4d 16)y 16e) 0 ，
∴ y y 31， y2， y3即为关于 的方程 y (4d 16)y 16e 0的3个根，……………………5分
则 y3 (4d 16)y 16e (y y1)(y y 2)(y y 3) ，
∵ (y y1)(y y2 )(y y3) y
3 (y 21 y2 y3)y (y1y2 y2 y3 y1y3)y y1y2 y3
由 y2 1的系数对应相等得， y1 y2 y3 0，即 (y1 y2 y3) 0 ，3
∵△ ABC 1的重心的纵坐标为 (y
3 1
y2 y3) ，………………………………………………6分
∴△ ABC的重心在定直线 y 0上．…………………………………………………………7分
(ii) 记△OAB和△ ABC的面积分别为 S1和 S2，
x my 1，
设直线 AB : x my 1，联立 2 消去 x，得 y
2 4my 4 0，
y 4x，
∴ y1 y2 4m， y1y2 4，
S 1∴ 1 |OP | | y1 y2 |
1
16m 2 16 2 m 2 1 ，……………………………………8分
2 2
由(i)得， y3 (y1 y2 ) 4m，
x 1∴ y 2 4m23 3 ，即C(4m
2 , 4m)， ……………………………………………………9分
4
| 8m2 1|
∵ | AB | x1 x2 2 m(y1 y2) 4 4m
2 4 ，C到直线 AB的距离 d ，
m2 1
2
∴ S
1 1
| AB | d (4m22 4)
| 8m 1|
2 m2 1 | 8m2 1|，
2 2 m2 1
∴ S S S 2 m 21 2 1(1 | 8m
2 1|) ， …………………………………………………10分
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不妨设m 0，且 A在第一象限，即 y1 0， y2 0， y3 4m 0，
依次连接O， A，C ， B构成凸四边形OACB，∴ y3 (y1 y2 ) y2 ，即 y1 2y2，
4
又∵ y1y2 4，∴ 2yy 2 ，即 y
2
2 2，即 2 y2 0，
2
4 2 1
∴ 4m y1 y2 y 22 2 2 2 2y ，即m ，即m ，………………11分2 4 8
∴ S 2 m2 1(1 | 8m2 1|) 16m2 m2 1 ，
3 2
设 t m2 1，则 t ，
4
令 f (t) 16t(t 2 1)，则 f (t) 16(3t 2 1)，
t 3 2 3 2∵ ，∴ f (t) 16(3t 2 1) 0，∴ f (t)在区间 ( , )上单调递增，
4 4
∴ f (t) f (3 2 ) 3 2 ，
4 2
∴ S 3 2的取值范围为 ( , )． ……………………………………………………………12分
2
高三数学参考答案及评分标准 第 17 页 共 17 页

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