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妙解离心率问题
【目录】
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
考点四：椭圆与双曲线的 4a通径体
考点五：椭圆与双曲线的 4a直角体
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
考点七：双曲线的 4a底边等腰三角形
考点八：焦点到渐近线距离为 b
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
考点十一：渐近线平行线与面积问题
考点十二：数形结合转化长度角度
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
考点要求 考题统计 考情分析
2023年新高考 I卷第 5、16题，10分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线
2023年甲卷第 9题，5分 概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，
2022年甲卷第 10题，5分 二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规
离心率
2022年浙江卷第 16题，4分 的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．
2021年甲卷第 5题，5分
2021年天津卷第 8题，5分
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1
1. 利用曲线的范围建立不等关系．
2
2. x
2 y
利用线段长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆 + = 1(a> b> 0)的左、右焦点，P为椭圆上的任
a2 b2
2 2
意一点， PF1 ∈ a- c, +
y
a c ；F x1,F2为双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一
a2 b2
点， PF1 ≥ c- a．
2 y2
3. x利用角度长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆 + = 1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若∠F
a2 2
1
b
PF θ2= θ，则椭圆离心率 e的取值范围为 sin ≤ e< 1．2
4. 利用题目不等关系建立不等关系．
5. 利用判别式建立不等关系．
6. 利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7. 利用基本不等式，建立不等关系．
2 2
1 (2023 新高考Ⅰ)设椭圆C1: x + y2= 1(a> 1)，C2: x + y2= 1的离心率分别为 e ，e2 4 1 2．若 e2= 3e1，a
则 a= ( )
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 6
3
2 2
2 ( y2023 ) x甲卷 已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的离心率为 5，C的一条渐近线与圆 (x- 2)2
a2 b2
+ (y- 3)2= 1交于A，B两点，则 |AB| = ( )
A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5
5 5 5 5
2 2
3 (2022 ) x y甲卷 椭圆C: + = 1(a> b> 0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于 y轴对称．若
a2 b2
1
直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为 ( )
4
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
2 2 2 3
4 (2021 甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2= 60°，|PF1| = 3|PF2|，则
C的离心率为 ( )
A. 7 B. 13 C. 7 D. 13
2 2
2 2
5 (2021 天津) x y已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点与抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点重合，
a2 b2
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若 |CD| = 2|AB|，则双曲线的离心
率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
2
x2
2
(2022 ) C: + y = 1(a> b> 0) 16 甲卷 已知椭圆 的离心率为 ，A1，A2分别为C的左、右顶点，B2 2 3
a b
为C的上顶点．若BA1 BA2=-1，则C的方程为 ( )
x2 + y
2 2 2
= x + y = x
2
+ y
2 2
A. 1 B. 1 C. = 1 D. x + y2= 1
18 16 9 8 3 2 2
2
x2 y
7 (2022 全国)若双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的一条渐近线与直线 y= 2x+ 1垂直，则C的离
a2 b2
心率为 ( )
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
4 2
8 (多选题) (2022 乙卷)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切
3
线与C交于M，N两点，且 cos∠F1NF2= ，则C的离心率为 ( )5
A. 5 B. 3 C. 13 D. 17
2 2 2 2
2 2
9 (2023 新高考Ⅰ)已知双曲线C: x - y = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，
a2 b2

点B在 y轴上，F1A⊥FB 21 ，F2A=- F2B，则C的离心率为 ．3
x2 y
2
b
10 (2022 浙江)已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲
a2 b2 4a
线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且 x1< 0< x2．若 |FB| = 3|FA|，则双曲线的离心率是
．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：e= 1 1+ = ，根据 α范围求解值域．sinα cosα 2sin α+ π4
1 1
双曲线：e= = ，根据 α范围求解值域．
cosα sinα 2cos α+ π4
3
2 2
1 ( y2024· x重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知椭圆 + = 1 a> b> 0 上一点A，它关于原
a2 b2
π π
点的对称点为B，点 F为椭圆右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF= α，且 α∈ , ，则该椭圆的离心12 3
率 e的取值范围是 ( )
A. 2 , 3- 1 B. 2 , 6 C. 3- 1, 6 D. 6 , 6 2 2 3 3 3 2
2 y2
1 (2024· ) x高三单元测试 已知椭圆 + = 1(a> b> 0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F
a2 b2
π π
为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF= α，且 α∈ ,12 6

，则该椭圆的离心率 e的取值范围为 ( )
A. 3- 1,
6 B.
3 6 6
3- 1, C. , D. 0,
6
3 2 4 3 3
2 2
2 (2024·宁夏银川· x y高三银川二中校考阶段练习)已知椭圆 + = 1(a> b> 0)上有一点A，它关于
a2 b2
原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF= α，且 α∈ π π ,
，则该椭圆的离
12 4
心率 e的取值范围为 ( )
A. 2 , 6 B. 3- 1 3 , C. 3- 1,
6 D.
2 ,
3
2 3 2 2 3 2 2
2 2
3 (2024·河南驻马店·高三统考期末) : x - y已知双曲线C (a> b> 0)右支上非顶点的一点A关于原
a2 b2

点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF BF = 0，设∠BAF= θ且 θ∈ π , 5π ，则双曲线C离心率的取4 12
值范围是 ( )
A. ( 2,2] B. [ 2,+∞) C. ( 2,+∞) D. (2,+∞)
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
x2
2
F1,F2是椭圆 +
y = 1(a> b> 0)的焦点，点P在椭圆上，∠F 21PF2= θ，则 cosθ≥ 1 2e (当且仅当动点
a2 b2
为短轴端点时取等号)．
2 2
1 ( y2024· x辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知点 F1，F2分别是椭圆 + = 1(a> b> 0)的左、右焦点，点P
a2 b2
是椭圆上的一个动点，若使得满足 ΔPF1F2是直角三角形的动点 P恰好有 6个，则该椭圆的离心率为
( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
2 2 2 3
1 (2024·江西抚州·高三统考期末)设F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 p,使∠F1PF2= 120°,则
椭圆离心率的取值范围是 ( )
4
A. 0, 3 B. 0, 3 C.2 2
3 ,1 D. 3 ,12 2
2 2
2 (2024· · x y宁夏 高三校联考阶段练习)已知F1 ，F2是椭圆C: + = 1(a> b> 0)的两个焦点，若椭
a2 b2
圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为 ( )
A. 1 2 2 2 1 2 ， B. 2 2 ，1 C. 0， D. ， 2 2 2 2
x2 y
2
3 (2024·高三课时练习)已知椭圆 + = 1(a> b> 0)的两个焦点分别为F
2 2 1
、F2，若椭圆上存在点
a b
P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A. 0, 2 B. 2 ,12 2 C. 0,
1 D. 1 ,12 2
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
sin2 α cos2 α2 + 2 = 1，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
e 2椭 e
2
双
1 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=
π e e 1，记椭圆和双曲线的离心率分别为 1， 2，则当 取最大值时，e1，e3 e e 2
的值分别是 ( )
1 2
A. 2 6 B. 1 5 3 2， ， C. ， 6 D. ， 3
2 2 2 2 3 4
1 (2024·湖南·高三校联考期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限
和第三象限的交点，且QF2⊥F2P，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e 22，则 4e1+e22最小值等于 ．
2 (2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1,
F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若 PF1 = 24，椭圆与双曲线
的离心率分别为 e1,e2，则 3e1e2的取值范围是 ( )
A. 1 ,+∞ B. 1,+∞ C. 1 ,+∞ D. 1 ,+∞9 3 2
考点四：椭圆与双曲线的 4a通径体
椭圆与双曲线的 4a通径体
2 2
如图，若AF2⊥F b λ+ 1 b1F2，易知 AF2 = ，若AF1= λF1B(λ> 1)，则一定有 AF1 = ，根据 AFa 2 a 1 + AF2 =
5
2a λ+ 3
2
可得 b = 2a λ+ 3，即 (1- e2) = 1 e= λ- 1
2 a 4 λ+ 3
2 2
1 ( y2024·河南新乡·高三统考期末)设双曲线C : x - = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点分别是 F1、F2，过 F2 2 1a b
的直线交双曲线 C的左支于M、N两点，若 MF2 = F1F2 ，且 2 MF1 = NF1 ，则双曲线 C的离心率是
( )
A. 4 B. 5 C. 5 D. 3
3 3 2 2
2 2
1 ( y2024·甘肃庆阳· x高三校联考阶段练习)已知F1，F2分别是椭圆C： + = 12 2 a> b> 0 的左、右焦a b
点，过点F1的直线交椭圆C于M，N两点.若 MN + NF2 = 2 MF2 ，且MF2⊥NF2，则椭圆C的离心率为
( )
A. 3 B. 5 C. 2 D. 6
3 5 2 6
2 2
2 ( y2024· x湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C: + = 1(a> b> 0)的左 右焦点分别为F1、F2，过
a2 b2
F1作直线 l与椭圆相交于M、N两点，∠MF2N= 90°，且 4 F2N = 3 F2M ，则椭圆的离心率为 ( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 5
3 2 3 5
考点五：椭圆与双曲线的 4a直角体
λ 1
如左图，若AF2⊥AB，AB过原点，且AF1= λF1B，∠AF1F2= α，则 ecosα=
λ+
可得离心率．
1
如右图，若 BF2⊥AC，AB过原点，且 AF 2= λF2C (0< λ< 1)，通过补全矩形，可得 AF1⊥ AC， AF2 =
λ+ 1 b2 λ 1 ，借助公式 ecosα= + 可得离心率．2 a λ 1
2 2
1 (2024· x山东济南·校联考)设F1，F2分别是椭圆E: +
y = 1(a> b> 0)的左、右焦点，过F2的直线交椭2 2
a b
圆于A，B两点，且AF1 AF2= 0，AF2= 2F2B，则椭圆E的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
3 4 3 4
6
2 2
1 (2024·安徽池州·高三统考期末) F x y设 1、F2分别是椭圆E: + = 1(a> b> 0)的左、右焦点，过点F
a2
1
b2
-c,0 的直线交椭圆E于A,B两点，若 AF1 = 3 F1B ，且AB⊥AF2，则椭圆E的离心率是 ( )
A. 1 B. 5 C. 3 D. 2
2 2 2 2
2 2
2 ( y2024· x湖北黄冈·高三统考期末)已知椭圆C: + = 1 a> b> 0 的左、右焦点分别为F1，F2，过
a2 b2

F 22的直线交椭圆于A，B两点，AF2= λF2B，且AF1 AF2= 0，椭圆C的离心率为 ，则实数 λ= ( )2
A. 2 B. 2 C. 1 D. 3
3 3
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
1 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│ AF2 = 2 F2B ， AB │=
BF1 ，则C的方程为 ( )
2 2 2 2
A. x + y2= 1 B. x
2 y x2+ = + y
2
1 C. = y1 D. x + = 1
2 3 2 4 3 5 4
2 2
1 (2024·江西九江· x y高三九江一中校考期末)已知双曲线 - = 1 a> 0,b> 0 左右焦点为F1，F2 2 2，
a b
过F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且PF2= 2F2Q，若△PQF1为以Q为顶角的等腰三角形，则双
曲线的离心率为 ( )
A. 7 B. 2 C. 21 D. 3
3
2 2
2 (2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习) x已知双曲线 - y = 1(a> 0,b> 0)左右焦点为F
2 2 1
，
a b
F2，过F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且PF2= 3F2Q，若△PQF1为以Q为顶角的等腰三角形，则
双曲线的离心率为 ( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
考点七：双曲线的 4a底边等腰三角形
1
当 F2A = F2B 或者 AB = 4a时，令∠AF1F2= α,则一定存在① F1M = F2B ，② e=
cos2α
7
2 2
1 (2024· · x y河南 高三校联考阶段练习)设F2为双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)的右焦点，直线 l：x- 3y
a2 b2
+ c = 0 (其中 c 为双曲线 C 的半焦距 ) 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 M ，N 两点，若 MN

F2M +F2N = 0，则双曲线C的离心率是 ( )
A. 15 B. 5 C. 1 D. 5
3 3 3 2
2 2
1 (2024·贵州·校联考模拟预测) F x y设 2为双曲线C： - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点，直线 l：x- 2y
a2 b2
+ c= 0(其中 c为双曲线C的半焦距)与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若MN F2M +F2N
= 0，则双曲线C的离心率是 ( )
A. 5 B. 4 C. 15 D. 2 3
3 3 3 3
2 y2
2 (2024· · x全国 高三长垣市第一中学校联考开学考试)设双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的左 右焦
a2 b2
3
点分别为F1,F2，过点F1作斜率为 的直线 l与双曲线C的左 右两支分别交于M ,N两点，且
3
F2M +F2N MN = 0，则双曲线C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2
x2 y
2
3 (2024·全国·模拟预测)已知F1，F2分别为双曲线C: - = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点，过F2 2 1的a b
∠ABF 1
直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin 2 = ， AB = BF2 ，则双2 4
曲线C的离心率为 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
考点八：焦点到渐近线距离为 b
b b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线 l1:y= x，l2:y=- x，过右焦点作FM⊥ l1，FN⊥ l2，由于渐近a a
b MF2 NF2 b MF2 NF2 b
线方程为 y=± x，故 = = ，且斜边 OF2 = c，故 = = ，故 OM = ON = a， MF2 a OM ON a OF2 OF2 c
= NF2 = b.
8
2 2
1 ( y2024· x河南新乡·高三校联考阶段练习)已知双曲线C : - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F ,
a2 b2
1
F2，过 F2作双曲线C的一条渐近线的垂线 l，垂足为H，直线 l与双曲线C的左支交于 E点 ，且H恰为线
段EF2的中点，则双曲线C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
2 2
1 (2024· x y吉林白山·高三校联考阶段练习)已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左右焦点分别为F1，
a2 b2
F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M (异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且
MF2 OP则该双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
2
2 2
2 (2024·山西运城· ) x y高三统考期末 已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2 2 2，以a b
OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，若线段MF1交双曲线于点P，且 PF2 = 5 PF1 ，则双曲线
的离心率为 ( )
A. 26 B. 34 C. 2 D. 3
4 4
2 2
3 ( y2024· · x辽宁 统考模拟预测)已知双曲线C： - = 1(a> 0,b> 0)的一个焦点为F，过F作双曲
a2 b2
1
线C的一条渐近线的垂线，垂足为A.若△OFA(O为坐标原点)的面积等于 c2(c为双曲线C的半焦距)，
4
则双曲线C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
2 2
4 (2024·广西南宁·统考) x y已知双曲线E: - = 1(a> 0,b> 0)的左焦点为F1，过点F2 2 1的直线与两条a b
渐近线的交点分别为M、N两点 (点F1位于点M与点N之间)，且MF1= 2F1N，又过点F1作F1P⊥OM于P
(点O为坐标原点)，且 |ON | = |OP|，则双曲线E的离心率 e= ( )
A. 5 B. 3 C. 2 3 D. 6
3 2
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
2 y2
1 (2024· x江西九江·高三九江一中校考阶段练习)F是双曲线 - = 1 a> 0,b> 0 的左焦点，过点F作
a2 b2
双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若 3FA= FB，则此双曲线的离心率为
( )
9
A. 2 B. 5 C. 2 3 D. 3
3 3
2 y2
1 (2024· x广西玉林·校考模拟预测)过双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)的右焦点F引一条渐近线的
a2 b2
垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是 ( )
A. ( 2，+∞) B. ( 3，+∞) C. (2，+∞) D. (3，+∞)
2 y2
2 (2024· x江西新余·统考)已知双曲线C: - = 1 a> 0,b> 0 ，过右焦点F作C的一条渐近线的垂
a2 b2

线 l，垂足为点A，l与C的另一条渐近线交于点B，若AF = 2 AB，则C的离心率为 ( )
5
A. 30 B. 2 C. 2 3 D. 5
5 3 2
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
b
以F1F2为直径作圆，交一条渐近线 y= x于点B，BF1交另一条渐近线于点A，则令∠BOF2= α,则∠BFa 1
F= α2 ，e= 1+ tan2α2
2 y2
1 (2024·全国· x校联考)过双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点F作 x轴的垂线，与双曲线C及其一
a2 b2
条渐近线在第一象限分别交于A,B两点，且OF = 2OA-OB(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率是
( )
A. 2. B. 3 C. 3 2 D. 2 3
2 3
2 y2
1 (2024· x山西晋城·统考)设F1，F2是双曲线C： - = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点，以线段F2 2 1F2为a b
直径的圆与直线 bx- ay= 0在第一象限交于点A，若 tan∠AF2O= 2，则双曲线C的离心率为 ( )
10
A. 5 B. 3 C. 3 D. 2
3 2
2 2
2 (2024· x河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知双曲线C： - y = 1 a> 0,b> 02 2 的左，a b
右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双
曲线C的离心率为 ( )
A. 1+ 3 B. 1+ 5 C. 1+ 3 D. 1+ 5
2 2
2 y2x
3 (2024·陕西宝鸡·统考)已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的左 右焦点分别为F
2 2 1
，F2，且以F1F2
a b
为直径的圆与双曲线C的渐近线在第四象限交点为P，PF1交双曲线左支于Q，若 2F1Q=QP，则双曲线的
离心率为 ( )
A. 10+ 1 B. 10 C. 5+ 1 D. 5
2 2
考点十一：渐近线平行线与面积问题
x2 y
2
a2 2
①双曲线C： - = 1 b上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
a2 b2 c2
x2 y
2
②双曲线 C： - = 1上的任意点 P作双曲线 C的两条渐近线的平行线，分别交于A，B两点，则
a2 b2
2 2 2
PA c ab PB 是一个常数 ，SAOBP= ，OA OB=
a b
4 2 4
2 2
1 ( y2024· x北京·人大附中校考)已知F1，F2分别为双曲线C： - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点，过F2作
a2 b2
11
C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若 cos∠MF 51N= ，则C的离心率为 ( )13
A. 2 B. 85 C. 5 D. 5
2 3
2 2
1 (2024· x y山东潍坊·高三统考期末)已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)上一点P坐标为 ( 5,m)
a2 b2
(m> 0),F为双曲线C的右焦点，且PF垂直于 x轴.过点P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，它们
与两条渐近线围成的图形面积等于 1，则该双曲线的离心率是 .
2 y2
2 (2024· x重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)过双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)右支上一
a2 b2
点P作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点M，N，O为坐标原点，设△OMN的面积为S，若S
b2≥ ，则双曲线C的离心率取值范围为 ． (用区间作答)
2
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
2 2
1 (2024 ·四川泸州 ·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习) F ,F C : x y已知 1 2分别为双曲线 - =
a2 2 b
1 a> 0,b> 0 的左、右焦点，P是C左支上一点， PF2 = 2 PF1 ，若存在点M满足 F1P= 2MP,OM FP1
= 0，则C的离心率为 .
2 2
1 ( y2024· x内蒙古赤峰·高三校考期末)已知双曲线Γ: - = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点分别为F2 1,
a b
2
F2，点A在Γ上，且AF1 AF2= 0，射线AO,AF2分别交Γ于B,C两点 (O为坐标原点)，若 F2B = F2C ，则
Γ的离心率为 ．
( · · ) x
2
- y
2
2 2024福建龙岩 高三福建省连城县第一中学校考期末 如图，已知双曲线C： = 1的左、
a2 a+ 2
右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与 y轴的正半轴交于A点，△AMF1的内
切圆在边MF1上的切点为N，若 MN = 2，则双曲线C的离心率为 .
12妙解离心率问题
【目录】
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
考点四：椭圆与双曲线的 4a通径体
考点五：椭圆与双曲线的 4a直角体
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
考点七：双曲线的 4a底边等腰三角形
考点八：焦点到渐近线距离为 b
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
考点十一：渐近线平行线与面积问题
考点十二：数形结合转化长度角度
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
考点要求 考题统计 考情分析
2023年新高考 I卷第 5、16题，10分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线
2023年甲卷第 9题，5分 概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，
2022年甲卷第 10题，5分 二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规
离心率
2022年浙江卷第 16题，4分 的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．
2021年甲卷第 5题，5分
2021年天津卷第 8题，5分
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1
1. 利用曲线的范围建立不等关系．
2 2
2. x利用线段长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆 +
y = 1(a> b> 0)的左、右焦点，P为椭圆上的任
a2 b2
2 y2
意一点， PF1 ∈ a- c,a+ c ；F1,F x2为双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一
a2 b2
点， PF1 ≥ c- a．
2 y2
3. x利用角度长度的大小建立不等关系．F1,F2为椭圆 + = 1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若∠F2 2 1a b
PF2= θ，则椭圆离心率 e的取值范围为 sin θ ≤ e< 1．2
4. 利用题目不等关系建立不等关系．
5. 利用判别式建立不等关系．
6. 利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7. 利用基本不等式，建立不等关系．
(2023 ) C : x
2 x2
1 新高考Ⅰ 设椭圆 1 + y2= 1(a> 1)，C2: + y2= 1的离心率分别为 e1，e2．若 e2= 3e ，
a2 4
1
则 a= ( )
A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 6
3
【答案】A
x2
【解析】由椭圆C2: + y2= 1可得 a4 2= 2，b2= 1，∴ c2= 4- 1= 3，
∴椭圆C2的离心率为 e = 32 ，2
∵ ce2= 3e 1 1 11，∴ e1= ，∴ = ，2 a1 2
∴ a21= 4c21= 4(a21-b21) = 4(a21-1)，
∴ a= 2 3 或 a=- 2 3 (舍去)．
3 3
故选：A．
2 2
2 (2023 y甲卷)已知双曲线C: x - = 1(a> 0,b> 0)的离心率为 5，C的一条渐近线与圆 (x- 2)2
a2 b2
+ (y- 3)2= 1交于A，B两点，则 |AB| = ( )
A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5
5 5 5 5
【答案】D
x2 y
2
【解析】双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的离心率为 5，
a2 b2
可得 c= 5a，所以 b= 2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x，
一条渐近线与圆 (x- 2)2+ (y- 3)2= 1交于A，B两点，圆的圆心 (2,3)，半径为 1，
2
= |4- 3| 1圆的圆心到直线 y 2x的距离为： = ，
1+ 4 5
所以 |AB| = 2 1- 1 = 4 5．
5 5
故选：D．
2 2
3 ( y2022 x甲卷)椭圆C: + = 1(a> b> 0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于 y轴对称．若
a2 b2
1
直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为 ( )
4
A. 3 B. 2 C. 1 D. 1
2 2 2 3
【答案】A
【解析】已知A(-a,0)，设P(x0，y0)，则Q(-x0，y0)，
y
kAP=
0 ，
x0+a
y
k = 0AQ ，a- x0
= y
2
故 k k 0
y0 y0 1
AP AQ x0+

a a- = = ①，x a20 -x20 4
x2 y2 b2(a2-x2∵ 0 + 0 = 1，即 y2 0)0= ②，
a2 b2 a2
b2 1
②代入①整理得： = ，
a2 4
c b2e= = 1- 2 =
3
．
a a 2
故选：A．
4 (2021 甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2= 60°，|PF1| = 3|PF2|，则
C的离心率为 ( )
A. 7 B. 13 C. 7 D. 13
2 2
【答案】C
【解析】设 |PF1| =m，|PF2| =n，
则根据题意及余弦定理可得：
m= 3n m=
6 c
7
1 = m2+n2-4c2 ，解得 2 ，2 2mn n= c7
∴ 2c 2c 2c 7所求离心率为 = = = ．
2a m-n 4 c 2
7
故选：C．
x2
2
5 (2021 天津) y已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点与抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点重合，
a2 b2
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若 |CD| = 2|AB|，则双曲线的离心
率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
3
【答案】A
p
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为 x=- ，
2
p b
由题意可得： = c，渐近线的方程为：y=± x，
2 a
2 2
可得A -c, b b，B -c,- ，a a
C -c, bc ，D -c,- bc ，a a
2b2
所以 |AB| = ，|CD| = 2bc，
a a
由 |CD| = 2|AB|，
解得：c= 2b，即 a= b，
c
所以双曲线的离心率 e= = 2．
a
故选：A．
2 2
6 ( y2022 ) x 1甲卷 已知椭圆C: + = 1(a> b> 0)的离心率为 ，A1，A2分别为C的左、右顶点，B2 2 3
a b
为C的上顶点．若BA1 BA2=-1，则C的方程为 ( )
2 y2x 2 y
2 2 2 2
A. + = y1 B. x + = 1 C. x + = 1 D. x + y2= 1
18 16 9 8 3 2 2
【答案】B
2 y2x
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为 + = 1(m> 0)，
9m2 8m2
则A1(-3m,0),A2(3m,0),B(0,2 2m)，
由平面向量数量积的运算法则可得：

BA1 BA2= (-3m,-2 2m) (3m,-2 2m) =-9m2+8m2=-1，∴m2= 1，
x2 y
2
则椭圆方程为 + = 1．
9 8
故选：B．
2 2
7 ( y2022 全国) x若双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的一条渐近线与直线 y= 2x+ 1垂直，则C的离
a2 b2
心率为 ( )
A. 5 B. 5 C. 5 D. 5
4 2
【答案】D
x2: - y
2
【解析】由双曲线C = 1(a> 0,b> 0)的方程可得渐近线方程为 y=± b x，
a2 b2 a
b 1
由题意可得 = ，
a 2
c 2 5
所以双曲线的离心率 e= = 1+ b2 = 1+
1 = ，
a a 4 2
故选：D．
8 (多选题) (2022 乙卷)双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切
线与C交于M 3，N两点，且 cos∠F1NF2= ，则C的离心率为 ( )5
4
A. 5 B. 3 C. 13 D. 17
2 2 2 2
【答案】AC
x2 y
2
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为 - = 1(a> 0,b> 0)，
a2 b2
设过F的切线与圆D:x2+y2= a21 相切于点P，
则 |OP| = a，OP⊥PF1，又 |OF1| = c，
所以PF= OF 21 1 -OP2= c2-a2= b，
过点F2作F2Q⊥MN于点Q，
所以OP F2Q，又O为F1F2的中点，
所以 |F1Q| = 2|PF1| = 2b，|QF2| = 2|OP| = 2a，
因为 cos∠F1NF2= 3 π 4，∠F1NF2< ，所以 sin∠F1NF2= ，5 2 5
QF
所以 |NF | = 2 5a2 ∠ = ，则 |NQ| = |NF2| cos∠F
3a
sin FNF 2 1
NF2= ，
1 2 2
所以 |NF1| = |NQ| +|F1Q| = 3a + 2b，2
由双曲线的定义可知 |NF1| -|NF2| = 2a，
3a
所以 + 2b- 5a = 2a，可得 2b= 3a b，即 = 3 ，
2 2 a 2
2
所以C的离心率 e= c = 1+ b2 = 1+
9 = 13．
a a 4 2
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为A，连接OA，则 |OA| = a，|F1A| = b，
过F2作F2B⊥MN于B，则 |F2B| = 2a，因为 cos∠F 31NF2= ，所以 |NF2| = 5a，|NB| = 3a，5 2 2
|NF2| -|NF1| = 5a - 3a - 2b = a+ 2b= 2a，即 a= 2b，2 2
c
所以 e= = 1+ b
2
= 1+ 1 = 5
a a2
，A正确．
4 2
故选：AC．
x2( ) : - y
2
9 2023 新高考Ⅰ 已知双曲线C = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F，F．点A在C上，
a2 2
1 2
b
2
点B在 y轴上，F1A⊥F1B，F2A=- FB，则C的离心率为 ．3 2
3 5
【答案】
5
5
【解析】(法一)如图，设F1(-c,0)，F2(c,0)，B(0,n)，
设A(x,y)，则F2A= (x- c,y),F2B= (-c,n)，
2 x- c=
2
3 c 5 2又F2A=- FB，则3 2 y=- 2 ，可得A c,- n ，n 3 3 3
8
又F1A⊥F1B，且F1A= c,- 2 n ,F1B= (c,n)，3 3

则F1A FB= 8 c2- 2 n21 = 0，化简得n2= 4c2．3 3
又点A在C上，
25
9 c
2 4 2
2
- 9
n
= 1 25c 4n
2
则 ，整理可得 - = 1，
a2 b2 9a2 9b2
2 2 2
代n2= 4c2 25c - 16c = 9 16e，可得 ，即 25e2- = 9，
a2 b2 e2-1
解得 e2= 9 1或 (舍去)，
5 5
3 5
故 e= ．
5

( ) =- 2 |F2A|FA FB = 2法二 由 2 2 ，得 ，3 |FB| 3
2
设 |F2A| = 2t,|F2B| = 3t，由对称性可得 |FB| = 3t， 1
则 |AF1| = 2t+ 2a,|AB| = 5t，
设∠F1AF2= θ，则 sinθ= 3t = 3 ，5t 5
所以 cosθ= 4 = 2t+ 2a，解得 t= a，
5 5t
所以 |AF1| = 2t+ 2a= 4a,|AF2| = 2a，
2 2 2
在△AF1F 16a +4a -4c 42 中，由余弦定理可得 cosθ= = ，
16a2 5
即 5c2= 9a2 e= 3 5，则 ．
5
3 5
故答案为： ．
5
x2 y
2
b
10 (2022 浙江)已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双曲
a2 b2 4a
线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且 x1< 0< x2．若 |FB| = 3|FA|，则双曲线的离心率是
．
3 6
【答案】 ．
4
【解析】(法一)如图，过点A作AA′⊥ x轴于点A′，过点B作BB′⊥ x轴于点B′，
由于B(x b b2，y2)且 x2> 0，则点B在渐近线 y= x上，不妨设B m, ma a ,m> 0，
|BB
b
| m
设直线AB的倾斜角为 θ，则 tanθ= b ，则 = b b，即 a = ，则 |FB′| = 4m，
4a |FB | 4a |FB | 4a
∴ |OF| = c= 4m-m= 3m，
|AA | = |AF| = 1 |AA | = 1 |BB | = bm = bc又 ，则 ，
|BB | |BF| 3 3 3a 9a
6
|FA | = |AF| = 1 |FA | = 1 |FB | = 4m又 ，则 ，则 |x1| = 3m-
4m = 5m = 5c，
|FB | |BF| 3 3 3 3 3 9
∴点A 5c的坐标为 - , bc ，9 9a
2 b2c225c
2 c2∴ 81 - 81a = 1，即 = 81 = 27，
a2 b2 a2 24 8
∴ e= c = 3 6．
a 4
y=
b
( ) 4a
(x+ c)
B c , bc法二 由 ，解得 ，y= b 3 3a ax
又 |FB| = 3|FA|，
所以点A的纵坐标为 y = bc1 ，9a
y= b (x+ c) 5c代入方程 中，解得 x1=- ，4a 9
A - 5c bc c
2 27
所以 , ，代入双曲线方程中，可得 = ，9 9a a2 8
所以 e= c = 3 6．
a 4
3 6
故答案为： ．
4
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
e= 1 1椭圆： + = ，根据 α范围求解值域．sinα cosα 2sin α+ π4
1 1
双曲线：e= = ，根据 α范围求解值域．cosα sinα 2cos α+ π4
2 2
1 (2024· x y重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知椭圆 + = 1 a> b> 0 上一点A，它关于原
a2 b2
点的对称点为B，点 F为椭圆右焦点，且满足AF⊥BF ∠ABF= α α∈ π π，设 ，且 , ，则该椭圆的离心12 3
7
率 e的取值范围是 ( )
A. 2 , 3- 1 B. 2 , 6 C. 3- 1, 6 D. 6 6 2 2 3 3 ,3 2
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为F ，连接AF ,BF ，
则四边形AFBF 为矩形，
则 AB = FF = 2c, AF = BF ，
所以 BF + BF = BF + AF = 2a，
在Rt△ABF中，由∠ABF= α，
得 AF = AB sinα= 2csinα, BF = AB cosα= 2ccosα，
所以 2csinα+ 2ccosα= 2a，
c = 1 1所以 = ，
a sinα+ cosα 2sin α+ π4
α∈ π , π α+ π ∈ π , 7π因为 ，所以 ，12 3 4 3 12
2sin α+ π ∈ 6所以 4 , 22 ，
e= c所以 ∈ 2 ,
6 .
a 2 3
故选：B.
2 2
1 ( y2024· x高三单元测试)已知椭圆 + = 1(a> b> 0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F
a2 b2
为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF= α，且 α∈ π ,
π
12 6

，则该椭圆的离心率 e的取值范围为 ( )
A. 3- 1, 6 B. 3- 1, 3 C.
6 , 6 D. 0, 63 2 4 3 3
【答案】A
【解析】如图所示，
设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′．
则四边形AFBF′为矩形．
因此 |AB= |FF′| = 2c． |AF| +|BF| = 2a．所以 |AF| = 2csinα，|BF| = 2ccosα．
∴ 2csinα+ 2ccosα= 2a．
8
∴ e= 1 = 1 ，
sinα+ cosα 2sin α+ π4
∵ α∈ π ,
π
12 6

，
∴ α+ π ∈ π , 5π ，4 3 12
∴ sin α+ π ∈ 3 , 2+ 6 4 2 4 ，
其中 sin 5π = sin π + π = sin π cos π + cos π sin π = 1 × 2 + 3 × 2 = 2+ 6 ，12 6 4 6 4 6 4 2 2 2 2 4
∴ 2sin α+ π ∈ 6 ,
1+ 3
4 2 2
．
∴ e∈ 3- 1,
6
3
．
故选：A．
x2 y
2
2 (2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习)已知椭圆 + = 1(a> b> 0)上有一点A，它关于
a2 b2
π π
原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF= α，且 α∈ ,

，则该椭圆的离12 4
心率 e的取值范围为 ( )
A. 2 , 6 B. 3- 1 , 3 C. 3- 1,
6 2 3
2 3 2 2 3
D. ,2 2
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为F′，连接AF ，BF ，可知四边形AFBF 为矩形，从而可知 AB = FF = 2c，且
AF + BF = 2a，由∠ABF= α，可得 AF = 2csinα， BF = 2ccosα，结合 2csinα+ 2ccosα= 2a c，可得
a
= 1 π π，根据 α∈ , ，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF ，BF ，则四边
sinα+ cosα 12 4
形AFBF 为矩形，
所以 AB = FF = 2c， AF + BF = AF + AF = 2a，
由∠ABF= α，可得 AF = AB sinα= 2csinα， BF = AB cosα= 2ccosα，
∴ 2csinα+ 2ccosα= 2a c = 1 = 1，即 ，
a sinα+ cosα 2sin α+ π4
∵ α∈ π ,
π π π π ，∴ α+ ∈ , ，12 4 4 3 2
∴ sin α+ π ∈ 3 ,1 ，∴ 2sin α+
π ∈ 6 , 2 ，
4 2 4 2
∴ e= c ∈ 2 , 6 .a 2 3
9
故选：A.
2 2
3 (2024·河南驻马店· x y高三统考期末)已知双曲线C: - (a> b> 0)右支上非顶点的一点A关于原
a2 b2

点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF BF = 0，设∠BAF= θ且 θ∈ π , 5π ，则双曲线C离心率的取4 12
值范围是 ( )
A. ( 2,2] B. [ 2,+∞) C. ( 2,+∞) D. (2,+∞)
【答案】C
【解析】
如图所示，设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ，

因为AF BF = 0，所以四边形AFBF 为矩形，
所以 AB = FF = 2c，
因为 AF = 2ccosθ， BF = 2csinθ， AF - AF = 2a，
所以 2csinθ- 2ccosθ= 2a，
1 1
所以 e= = ，
sinθ- cosθ 2sin θ- π4
∵ θ∈ π , 5π ，∴ θ- π ∈ 0, π ， 2sin θ- π ∈ 0, 2 ，4 12 4 6 4 2
∴ e∈ 2,+∞ ，
故选：C
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
2 y2
F x1,F2是椭圆 + = 1(a> b> 0)的焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2= θ，则 cosθ≥ 1 2e2(当且仅当动点
a2 b2
为短轴端点时取等号)．
2 2
1 (2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末) y已知点 F1，F x2分别是椭圆 + = 1(a> b> 0)的左、右焦点，点P
a2 b2
是椭圆上的一个动点，若使得满足 ΔPF1F2是直角三角形的动点 P恰好有 6个，则该椭圆的离心率为
( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
2 2 2 3
【答案】C
c 2 2
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为 900，所以 b= c，所以 a= 2c，所以 e= = = ，
a 2 2
故选：C．
1 (2024·江西抚州·高三统考期末)设F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 p,使∠F1PF2= 120°,则
椭圆离心率的取值范围是 ( )
A. 0, 3 B. 0, 3 C. 3 ,1 D. 3 ,12 2 2 2
10
【答案】D
【解析】F1(-c，0)，F2(c，0)，c> 0，设P x1,y1 ，则 |PF1| = a+ ex1，|PF2| = a- ex1．
1 a+ ex 21 + a- ex 2 2△PFF cos120° =- = 1
-4c
在 1 2中，由余弦定理得 ，2 2 a+ ex1 a- ex1
x2= 4c
2-3a2 2 2
解得 1 ．∵ x21∈ 0,a2 ，∴ 0≤ 4c -3a < a2，即 4c2-3a2≥ 0．且 e2< 1
e2 e2
∴ e= c ≥ 3 3．故椭圆离心率的取范围是 e∈ ,1
a 2 2
( · · ) : x
2
+ y
2
2 2024宁夏 高三校联考阶段练习 已知F1 ，F2是椭圆C = 1(a> b> 0)的两个焦点，若椭
a2 b2
圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为 ( )
A. 1 2， B. 2 ，1 C.2 2 2 0
2
， D. 1 2，
2 2 2
【答案】B
2 y2x
【解析】若椭圆C上存在点P，使得PF1⊥PF2，即以F1F2为直径的圆与椭圆C: + = 1(a> b> 0)有交
a2 b2
x2+y2= c2 2
点，设F (-c,0),F (c,0)， 2 ，解得 x2 2 2 a 21 2 x2 + y = = (2c -a ) ≥ 0，即 2c
2-a2≥ 0，e≥ ，又 0< e< 1，故
2 2 1 c2 2a b
e∈ 2 ，12 .
故选：B.
2 2
3 ( y2024· x高三课时练习)已知椭圆 + = 1(a> b> 0)的两个焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点
a2 b2
P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A. 0, 2 B. 2 ,1 C. 0, 12 2 2 D.
1 ,1
2
【答案】B
【解析】
当动点P从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅
当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．
∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△F1P0F2中，∠F1P0F2> 90°，
∴Rt△ OP0F2中，∠OP0F2> 45°，∴ b< c，
∴ a2-c2< c2，∴ a2< 2c2，∴ e> 2 ，
2
11
∵ 0< e< 1 ∴ 2 < e< 1 2， ．椭圆离心率的取值范围是 ,1 ，故选B．2 2
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
sin2 α cos2 α2 + 2 = 1，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
e 2椭 e
2
双
1 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点 F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=
π 1
，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则当 取最大值时，e1，e2的值分别是 ( )3 e1e2
A. 2 6 1 5 3 2， B. ， C. ， 6 D. ， 3
2 2 2 2 3 4
【答案】A
2 y2 2x x2 y
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为： + = 1 a> b> 0 ，c= a2-b2， - = 1，c=
a2 b2 a21 b
2
1
a2+b21 1．
设 PF1 =m， PF2 =n．m>n．则m+n= 2a，m-n= 2a1，∴m= a+ a1，n= a- a1．
因为∠F1PF π2= ，3
2 2 2
cos π
m +n - 2c
所以 = = 1 ，
3 2mn 2
即 a+ a 21 + a- a 21 -4c2= a+ a1 a- a1 ．
∴ a2+3a21-4c2= 0 ∴ 1， + 3 = 4，
e21 e
2
2
∴ 4≥ 2 1 × 3 1 22 2 ，则 ≤ ，当且仅当 e1=
2
，e2= 6 时取等号．
e1 e2 e1e2 3 2 2
故选：A．
1 (2024·湖南·高三校联考期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们在第一象限
和第三象限的交点，且QF2⊥F2P，记椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则 4e2 21+e2最小值等于 ．
9
【答案】
2
【解析】设椭圆长半轴为 a1，双曲线实半轴为 a2，F1 -c,0 ，F2 c,0 ，
P为两曲线在第一象限的交点，Q为两曲线在第三象限的交点，如图，
由椭圆和双曲线定义与对称性知 PF1 + PF2 = 2a1， PF1 - PF2 = 2a2，
四边形PF1QF2为平行四边形， QF2 = PF1 = a1+a2，
PF2 = a1-a2，而QF2⊥F2P，则PF1⊥F2P，因此 F1F2 2= PF 21 + PF2 2，
即 4c2= a +a 21 2 + a -a 21 2 = 2a2 21+2a2，
2 2
于是有 2c2= a2 a a1+a2 2= 1 + 2 1 12，则 ， + = 2，
c2 c2 e21 e
2
2
1 2 2 2 2
所以 4e21+e22= (4e21+e2) 1 + 1 = 1 e5+ 2 + 4e1 ≥ 1 5+ e2 2 4e1 = 9 ，2 2 e21 e22 2 e21 e2 2 e2 e22 1 2 2
12
e2= 3 3当且仅当 1 ，e22= 时取等号．4 2
9
故答案为：
2
2 (2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1,
F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若 PF1 = 24，椭圆与双曲线
的离心率分别为 e1,e2，则 3e1e2的取值范围是 ( )
A. 1 ,+∞ B. 1,+∞ C. 1 ,+∞ D. 1 ,+∞9 3 2
【答案】B
【解析】
设椭圆与双曲线的半焦距为 c，椭圆长半轴为 a1，双曲线实半轴为 a2， PF1 = r1， PF2 = r2，
∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，点P在第一象限内，
∴ PF2 = F1F2 , PF1 > PF2 , PF2 + F1F2 > PF1 ，
即 r1= 24，r2= 2c，且 r1> r2，2r2> r1，
2c< 24，4c> 24，解得：6< c< 12．
c 2c 2c 2c c
在双曲线中， PF1 - PF2 = 2a2，∴ e2= = = = = ；a2 2a2 r1-r2 24- 2c 12- c
PF + PF = 2a ∴ e = c = 2c = 2c 2c c在椭圆中， 1 2 1， 1 + = + = + ；a1 2a1 r1 r2 24 2c 12 c
∴ e1e c2= +
c 1
12 c 12- = ；c 144 - 1
c2
∵ 6< c< 12，∴ 36< c2< 144，则 1< 144 < 4 ∴ 0< 144， - 1< 3，
c2 c2
1 1
可得： > ，
144 - 1 3
c2
∴ 3e1e2的取值范围为 1,+∞ .
故选：B.
考点四：椭圆与双曲线的 4a通径体
椭圆与双曲线的 4a通径体
13
2 2
如图，若AF2⊥F1F b2，易知 AF2 = ，若AF1= λF1B(λ> 1)，则一定有 AF1 = λ+ 1 b ，根据 AF1 + AF =a 2 a 2
2
2a λ+ 3 b λ+ 3可得 = 2a，即 (1- e2) = 1 e= λ- 1
2 a 4 λ+ 3
2 2
1 ( y2024· x河南新乡·高三统考期末)设双曲线C : - = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点分别是 F1、F2，过 F1
a2 b2
的直线交双曲线 C的左支于M、N两点，若 MF2 = F1F2 ，且 2 MF1 = NF1 ，则双曲线 C的离心率是
( )
A. 4 B. 5 C. 5 D. 3
3 3 2 2
【答案】B
【解析】如下图所示：
MF2 = F1F2 = 2c，由双曲线的定义可得 MF1 = MF2 - 2a= 2c- 2a，
所以， NF1 = 2 MF1 = 4c- 4a，则 NF2 = NF1 + 2a= 4c- 2a，
MF 2∠ = 1
+ F1F2 2- MF2 2
由余弦定理可得 cos MF1F2 = c- a，
2 MF1 F1F2 2c
NF 2+ FF 2- NF 2
cos∠NF1F2=
1 1 2 2 = c- 3a，
2 NF1 F1F2 4c
因为 cos∠NF1F2= cos π-∠MF1F2 =-cos∠MF1F2，
c- 3a =- c- a故 ，整理可得 3c= 5a c 5，故该双曲线的离心率为 e= = .
4c 2c a 3
故选：B.
2 y2
1 (2024· x甘肃庆阳·高三校联考阶段练习)已知F1，F2分别是椭圆C： + = 1 a> b> 02 2 的左、右焦a b
点，过点F1的直线交椭圆C于M，N两点.若 MN + NF2 = 2 MF2 ，且MF2⊥NF2，则椭圆C的离心率为
( )
A. 3 B. 5 C. 2 D. 6
3 5 2 6
14
【答案】B
【解析】因为 MN + NF2 = 2 MF2 ，
所以可设 NF2 =m- d， MF2 =m， MN =m+ d m> 0,d> 0 ，
因为MF2⊥NF2，所以 m- d 2+m2= m+ d 2，解得m= 4d，
因为 NF2 + MF2 + MN = 4a= 3m 4 5，所以 NF2 = a， MF2 = a， MN = a，3 3
MF
所以 cos∠F2MN=
2 = 4 ，
MN 5
在△MF1F2中， F1F 22 = 2c， MF1 = 2- MF2 = a，3
2 2
23 a +
4
3 a - (2c)
2
由 cos∠F2MF 41= = ，可得 a2= 5c2，
2× 23 a×
4 a 53
5
即椭圆C的离心率为 .
5
故选：B.
2 2
2 ( y2024· x湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C: + = 1(a> b> 0)的左 右焦点分别为F1、F2，过
a2 b2
F1作直线 l与椭圆相交于M、N两点，∠MF2N= 90°，且 4 F2N = 3 F2M ，则椭圆的离心率为 ( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 5
3 2 3 5
【答案】D
【解析】如图所示，设 F1F2 = 2c，∵ 4 F2N = 3 F2M ，设 F2N = 3t，则 F2M = 4t，
在Rt△F2MN中， MN = NF 22 + MF 22 = 5t，
由椭圆定义可知 F1N = 2a- 3t， F1M = 2a- 4t，
F1N + F1M = MN = 4a- 7t= 5t，解得 a= 3t，
所以 F1N = 2a- 3t= 3t= F2N ， F1M = 2a- 4t= 2t，
在△F1NF2中，可得 cos∠NF c1F2= ，3t
2 2
在△F1MF c -3t2中，由余弦定理可得 cos∠MF1F2= ，2ct
∵∠NF1F2+∠MF1F2= π，
15
2 2
∴ cos∠NF1F2+cos∠MF1F2= 0 c + c -3t，即 = 0，3t 2ct
3 5t c 5
解得 c= ，所以椭圆离心率 e= = .
5 a 5
故选：D.
考点五：椭圆与双曲线的 4a直角体
λ 1
⊥ = ∠ = 如左图，若AF2 AB，AB过原点，且AF1 λF1B， AF1F2 α，则 ecosα= + 可得离心率． λ 1
如右图，若 BF2⊥AC，AB过原点，且 AF 2= λF2C (0< λ< 1)，通过补全矩形，可得 AF1⊥ AC， AF2 =
λ+ 1 b
2 λ 1
，借助公式 ecosα=
2 a λ+ 可得离心率．1
2 2
1 (2024·山东济南·校联考) : x + y设F1，F2分别是椭圆E = 1(a> b> 0)的左、右焦点，过F2的直线交椭2 2
a b
圆于A，B两点，且AF1 AF2= 0，AF2= 2F2B，则椭圆E的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
3 4 3 4
【答案】C

【解析】因为AF2= 2F2B，不妨令 AF2 = 2 F2B = 2m m> 0 ，
过F2的直线交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得， AF1 + AF2 = 2a， BF1 + BF2 = 2a，
则 BF1 = 2a-m， AF1 = 2a- 2m，
又AF1 AF2= 0，所以AF1⊥AF2，则△AF1F2和△AF1B都是直角三角形，
则 AF 2 21 + AB = BF 21 ，即 2a- 2m 2+9m2= 2a-m 2，解得m= a，3
4
所以 AF1 = a， AF 2 = a，又 FF = 2c， AF 2+ AF 2= FF 23 2 3 1 2 1 2 1 2 ，
16 4 2
所以 a2+ a2= 4c2 c 5 c 5，因此 = ，所以椭圆E的离心率为 = .
9 9 a2 9 a 3
16
故选：C.
2 y2
1 (2024· x安徽池州·高三统考期末)设F1、F2分别是椭圆E: + = 1(a> b> 0)的左、右焦点，过点F2 1a b2
-c,0 的直线交椭圆E于A,B两点，若 AF1 = 3 F1B ，且AB⊥AF2，则椭圆E的离心率是 ( )
A. 1 B. 5 C. 3 D. 2
2 2 2 2
【答案】D
【解析】设 FB1 = k(k 0 AF1 = 3k, AB = 4k AF2 = 2a- 3k, BF2| = 2a- k ，再由 BF 2 22| = AF2|
+|AB|2 AF 2 22 = 3k ΔAF1F2 是等腰直角三角形 c= a e=2 2
，故选D,
2
x2 y
2 (2024·湖北黄冈·高三统考期末)已知椭圆C: + = 1 a> b> 0 的左、右焦点分别为F1，F2，过
a2 b2

F 22的直线交椭圆于A，B两点，AF2= λF2B，且AF1 AF2= 0，椭圆C的离心率为 ，则实数 λ= ( )2
A. 2 B. 2 C. 1 D. 3
3 3
【答案】D

【解析】因为AF2= λF2B，设 AF2 = λ F2B = t(t> 0)，由椭圆的定义可得： AF1 + AF2 = 2a，则 AF1 = 2a

- t，因为AF1 AF2= 0，所以AF1⊥AF2，
所以 AF 21 + AF 2 2 2 2 2 22 = F1F2 ，即 (2a- t) +t = 4c ，又因为椭圆C的离心率为 ，2
所以 a= 2c，则有 (2a- t)2+t2= 4c2= 2a2，

所以 t= a，则 λ F2B = a，则 F2B = a，λ

由 BF1 + BF2 = 2a，所以 BF a1 = 2a- ，因为AF1 AF2= 0，所以AF⊥AFλ 1 2，
2 2
所以 AF 21 + AB 2= BF 2 11 ，即 a2+a2 1+ = 2a- a ，解得：λ= 3，λ λ
故选：D.
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
17
1 已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│ AF2 = 2 F2B ， AB │=
BF1 ，则C的方程为 ( )
x2 2
2 2 2 2 2
A. + y2= y1 B. x + = 1 C. x + y = y1 D. x + = 1
2 3 2 4 3 5 4
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设 F2B =n，则 AF2 = 2n, BF1 = AB = 3n，由椭圆的定义有 2a= BF1 +
2 2 2
BF 4n +9n -9n 1 2 = 4n,∴ AF1 = 2a- AF2 = 2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得 cos∠F1AB= 2 = ．2n 3n 3
在△AF1F2中，由余弦定理得 4n2+4n2-2 2n 2n 1 = 4 n= 3，解得 ．3 2
2 2
∴ 2a= 4n= 2 3,∴ a= y3,∴ b2= a2-c2= 3- 1= 2,∴ x所求椭圆方程为 + = 1，故选B．
3 2
法二：由已知可设 F2B =n，则 AF2 = 2n, BF1 = AB = 3n，由椭圆的定义有 2a= BF1 + BF2 = 4n,∴
4n2+4- 2 2n 2 cos∠AF2F1= 4n2, AF1 = 2a- AF2 = 2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得 ，n2+4- 2 n 2 cos∠BF 22F1= 9n
又∠AF2F1,∠BF2F1互补，∴ cos∠AF2F1+cos∠BF2F1= 0，两式消去 cos∠AF2F1,cos∠BF2F 21，得 3n +6= 11n2，
2 y2
解得n= 3．∴ 2a= 4n= 2 3,∴ a= 3,∴ b2= a2-c2= 3- 1= 2,∴ x所求椭圆方程为 + = 1，故选
2 3 2
B．
x2 y
2
1 (2024·江西九江·高三九江一中校考期末)已知双曲线 - = 1 a> 0,b> 02 2 左右焦点为F1，F2，
a b
过F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且PF2= 2F2Q，若△PQF1为以Q为顶角的等腰三角形，则双
曲线的离心率为 ( )
A. 7 B. 2 C. 21 D. 3
3
【答案】C
【解析】由题意 QF1 - QF2 = PQ - QF2 = PF2 = 2a，
又PF2= 2F2Q，所以 QF2 = a，从而 QF1 = 3a， PF1 = 4a， PQ = 3a，
(4a)2△ + (2a)
2- (2c)2 2 2
PF1F2中，cos∠F1PF= = 5a -c2 × ，2 4a× 2a 4a2
1
2 PF1 △PF 2a 21Q中． cos∠F1PF2= = = ，
PQ 3a 3
5a2-c2 = 2所以 ，7a2= 3c2，所以 e= c = 21，
4a2 3 a 3
故选：C．
18
2 2
2 (2024·辽宁沈阳· x y高三沈阳二中校考阶段练习)已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)左右焦点为F1，
a
2 b2
F2，过F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且PF2= 3F2Q，若△PQF1为以Q为顶角的等腰三角形，则
双曲线的离心率为 ( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】由题意 QF1 - QF2 = PQ - QF2 = PF2 = 2a，

又PF2= 3FQ 2 8 82 ，所以 QF2 = a，从而 QF1 = a， PF1 = 4a， PQ = a，3 3 3
△ (4a)
2+ (2a)2- (2c)2 2 2
PF1F2中，cos∠FPF= = 5a -c1 2 × ，2 4a× 2a 4a2
1 PF1
△PF1Q中． cos∠FPF= 2 = 2a1 2 = 3 ，
PQ 8
3 a
4
5a2-c2 3
所以 = ，2a2= c2，所以 e= c = 2，
4a2 4 a
故选：C．
考点七：双曲线的 4a底边等腰三角形
当 F2A = F2B 或者 AB 1 = 4a时，令∠AF1F2= α,则一定存在① F1M = F2B ，② e=
cos2α
2 2
1 ( y2024· x河南·高三校联考阶段练习)设F2为双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)的右焦点，直线 l：x- 3y
a2 b2
+ c = 0 (其中 c 为双曲线 C 的半焦距 ) 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 M ，N 两点，若 MN

F2M +F2N = 0，则双曲线C的离心率是 ( )
A. 15 B. 5 C. 1 D. 5
3 3 3 2
【答案】D

【解析】设双曲线C的左焦点为F1，如图，取线段MN的中点H，连接HF2，则F2M +F2N = 2FH．因为 2
MN F2M +F2N = 0，所以MN F2H = 0，即MN⊥F2H，则 MF2 = NF2 ．设 MF2 = NF2 =m．因为
MF2 - MF1 = NF1 - NF2 = 2a，所以 NF1 - NF2 + MF2 - MF1 = NF1 - MF1 = MN = 4a，则
MH = NH = 2a，从而 HF1 =m，故 HF2 = 4c2-m2= m2-4a2，解得m2= 2a2+2c2．因为直线 l的斜
1 HF 2 2 2 2
率为 ，所以 tan∠HF1F=
2 = 2c -2a = 1 c -a 12 ，整理得 = ，即 5a2= 4c2 e= 5 ，3 HF 2 2 2 21 2a +2c 3 a +c 9 2
故选：D．
19
2 2
1 (2024·贵州· y校联考模拟预测)设F C x2为双曲线 ： - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点，直线 l：x- 2y
a2 b2
+ c= 0(其中 c为双曲线C的半焦距)与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若MN F2M +F2N
= 0，则双曲线C的离心率是 ( )
A. 5 B. 4 C. 15 D. 2 3
3 3 3 3
【答案】C

【解析】设双曲线C的左焦点为F1，如图，取线段MN的中点H，连接HF2，则F2M +F2N = 2F2H．

因为MN F2M +F2 N = 0，所以MN F2H = 0，即MN⊥F2H，则 MF2 = NF2 ．
设 MF2 = NF2 =m．因为 MF2 - MF1 = NF1 - NF2 = 2a，
所以 |NF1| -|NF2| +|MF2| -|MF1| = NF1∣- MF1 = MN | = 4a，则 |MH | = |NH | = 2a，从而 |HF1| =m，故
HF = 4c2-m2= m22 -4a2，解得m2= 2a2+2c2．
1 HF2 2c2-2a2 1 c2-a2 1
因为直线 l的斜率为 ，所以 tan∠HF1F2= = = ，整理得 = ，即 3c2= 5a2，则2 HF1 2a2+2c2 2 a2+c2 4
c2 5 2= 15，故 e= c = ．
a2 3 a2 3
故选：C
2 2
2 (2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试)设双曲线C: x - y = 1(a> 0,b> 0)的左 右焦
a2 b2
3
点分别为F1,F2，过点F1作斜率为 的直线 l与双曲线C的左 右两支分别交于M ,N两点，且
3
F2M +F2N MN = 0，则双曲线C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2
【答案】A
20
【解析】如图，设D为MN的中点，连接F2D.
易知F2M +F2N = 2F2D，所以 F2M +F2N MN = 2F2D MN = 0，所以F2D⊥MN .
因为D为MN的中点，所以 F2M = F2N .
设 F2M = F2N = t，因为 MF2 - MF1 = 2a，所以 MF1 = t- 2a.
因为 NF1 - NF2 = 2a，所以 NF1 = t+ 2a.
所以 MN = NF1 - MF1 = 4a.
因为D是MN的中点， F1D = F1M + MD ，所以 MD = ND = 2a, F1D = t.
在Rt△F 2 21F2D中， F2D = 4c -t ；
在Rt△MF2D中， F2D = t2-4a2.
所以 4c2-t2= t2-4a2，解得 t2= 2a2+2c2.
所以 FD = 2c22 -2a2, F1D = t= 2a2+2c2.
3
因为直线 l的斜率为 ，
3
∠ =
F2D tan DFF = 2c
2-2a2 3 c2-a2 1
所以 1 2 = ，所以 = ,c2= 2a2，
FD 2a2+2c2 3 a2 21 +c 3
c= 2a c，所以离心率为 = 2.
a
故选：A
2 2
3 (2024·全国· x y模拟预测)已知F1，F2分别为双曲线C: - = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点，过F2 2 1的a b
∠ABF 1
直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，sin 2 = ， AB = BF2 ，则双2 4
曲线C的离心率为 ( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
【答案】D
∠ABF
【解析】设 BF 11 =m，则由双曲线定义可得 BF2 = 2a+m， AF1 = 2a， AF2 = 4a，由 sin 2 = 可得2 4
m= 6a，再在△BF1F2中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设 BF1 =m，则由双曲线定义可得 BF2
= 2a+m，
AF1 = AB - BF1 = BF2 -m= 2a，则 AF2 = 4a，
∠ABF
sin 2 = 2a 1则 = ，解得m= 6a，从而 BF = 8a.
2 2a+m 4 2
在△BF1F2中， F1F2 2= BF1 2+ BF 22 -2 BF1 BF2 cos∠F1BF2，
∠ABF
即 4c2= 36a2+64a2-2× 6a× 8a× 1- 2sin2 2 c，解得 e= = 2.2 a
故选：D.
考点八：焦点到渐近线距离为 b
21
b b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线 l1:y= x，l2:y=- x，过右焦点作FM⊥ la a 1，FN⊥ l2，由于渐近
MF NF
y=± b x 2 = 2 = b
MF
= 2
NF2 b
线方程为 ，故 ，且斜边 OF2 c，故 = = ，故 OM = ON = a， MF a OM ON a OF2 OF2 c
2
= NF2 = b.
2 y2
1 (2024· x河南新乡·高三校联考阶段练习)已知双曲线C : - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1,
a2 b2
F2，过 F2作双曲线C的一条渐近线的垂线 l，垂足为H，直线 l与双曲线C的左支交于 E点 ，且H恰为线
段EF2的中点，则双曲线C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】D
【解析】连结EF1，因为点O,H分别为F1F2和EF2的中点，
所以OH EF1，且EF1⊥EF2
b bc
设点F2 c,0 到一条渐近线 y= x的距离 d= = b，所以a a2+b2
EF2= 2b，又EF2-EF1= 2a，所以EF1= 2b- 2a，
Rt△EF1F2中，满足 2b- 2a 2+4b2= 4c2，
整理为：b= 2a，
c 2 2
双曲线的离心率 e= = a +b
a a2
= 5.
故选：D
2 y2
1 (2024· x吉林白山·高三校联考阶段练习)已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左右焦点分别为F，
a2 b2
1
F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M (异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且
MF2 OP则该双曲线的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
2
【答案】A
b
【解析】不妨设渐近线的方程为 y=- x，因为MF2 OP，O为Fa 1F2的中点，
所以P为MF1的中点，
y=- b x a2 ab
将直线OM，MF的方程联立 a1 y= a ，可得M - , ，b (x+ c) c c
22
2
-c+ - a
- , c
2
F c 0 P , ab P - a +c
2 ab
又 1 ，所以 即 , ，2 2c 2c 2c
a2+c2 2 2
又P a点在双曲线上，所以 - = 1 c，解得 = 2，
4a2c2 4c2 a
所以该双曲线的离心率为 2，
故选：A.
2 2
2 (2024·山西运城·高三统考期末) x y已知双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2 2，以a b2
OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，若线段MF1交双曲线于点P，且 PF2 = 5 PF1 ，则双曲线
的离心率为 ( )
A. 26 B. 34 C. 2 D. 3
4 4
【答案】C
a
【解析】根据题意，不妨取点M在第二象限，题中条件，得到 kMF= ，记∠MF1F2=∠PF1F2= θ，求出 cosθ=1 b
b 5a a
，根据双曲线定义，得到 PF2 = ， PF1 = ，在△PF1F2中，由余弦定理，即可得出结果.c 2 2
因为以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，不妨取点M在第二象限，
所以MF1⊥OM，则 kMF kOM=-1，1
2 y2x b b a
因为双曲线 - = 1(a> 0,b> 0)的渐近线方程为 y=± x，则 kOM=- ，所以 k = ；
a2 b2 a a
MF1 b
tanθ= a
记∠MF1F2=∠PF1F2= θ，则 tanθ= a，由 bb b 解得 cosθ= ，sin2θ+ cos2θ= 1 c
因为 PF2 = 5 PF1 ，由双曲线的定义可得 PF - PF = 2a PF = 5a2 1 ，所以 2 ， PF a1 = ，2 2
2
2+ 2- 2 a + 4c2- 25a
2
b PF= = 1
F1F2 PF2
由余弦定理可得：cosθ = 4 4 ，
c 2 PF1 × F1F2 2× a2 × 2c
则 2c2-3a2= ab，所以 2 a2+b2 - 3a2= ab，整理得 2b2-ab- a2= 0，解得 b= a，
c2 2 2所以双曲线的离心率为 e= 2 =
b +a
2 = 2.a a
故选：C.
23
2 2
3 ( y2024· x辽宁·统考模拟预测)已知双曲线C： - = 1(a> 0,b> 0)的一个焦点为F，过F作双曲
a2 b2
线C 1的一条渐近线的垂线，垂足为A.若△OFA(O为坐标原点)的面积等于 c2(c为双曲线C的半焦距)，
4
则双曲线C的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】A
x2 y
2
【解析】设双曲线C： - = 1(a> 0,b> 0)的右焦点F(c,0)，
a2 b2
双曲线C的一条渐近线方程设为 bx+ ay= 0，
可得 AF = bc = b， OA = c2-b2= a，
a2+b2
△OAF 1 1的面积为 c2，即有 ab= 1 c2，
4 2 4
化为 4a2(c2-a2) = c4，e4-4e2+4= 0，解得 e= 2.
故选：A.
2 y2
4 (2024· x广西南宁·统考)已知双曲线E: - = 1(a> 0,b> 0)的左焦点为F，过点F的直线与两条
a2 b2
1 1

渐近线的交点分别为M、N两点 (点F1位于点M与点N之间)，且MF1= 2F1N，又过点F1作F1P⊥OM于P
(点O为坐标原点)，且 |ON | = |OP|，则双曲线E的离心率 e= ( )
A. 5 B. 3 C. 2 3 D. 6
3 2
【答案】C
【解析】不妨设M在第二象限，N在第三象限，如下图所示：
因为 ON = OP ，∠F1OP=∠F1ON，所以△F1OP △F1ON，
所以∠F1PO=∠F1NO= 90°， F1P = F1N ，
- bc
又 l bOM:y=- x,F1 -c,0 ，所以 F
a
a 1
P = F1N = = b，2
1+ b
a2
所以 ON = OP = c2-b2= a，所以 MF1 = 2 F1N = 2b，
2b
因为 tan∠FOP= b1 ,tan∠MON= tan2∠F1OP= 3b 3b，所以 a = ，a a 21- b a
a2
b2 c2-a2
所以 = = e2-1= 1 2 3，所以 e= .
a2 a2 3 3
故选：C.
24
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
2 2
1 (2024·江西九江· y高三九江一中校考阶段练习)F x是双曲线 - = 1 a> 0,b> 0 的左焦点，过点F作
a2 b2
双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若 3FA= FB，则此双曲线的离心率为
( )
A. 2 B. 5 C. 2 3 D. 3
3 3
【答案】D
【解析】由题意得：F -c,0 b ，双曲线渐近线方程为：y=± x
a
A b若 为直线FA与 y=- x交点，B为直线FA y= b与 x交点
a a
a a b 2
则 kFA= ∴直线FA方程为：y= x+ c ，与 y=- x联立可得：xA=-
a
b b a c
2
直线FA y= b方程与 x联立可得：xB=
a c
a b2-a2
2 2 2 2
由 3FA=FB a得：3 - + c = a c + c -3a2+2c2= a c，即c b2-a2 c2-2a2
2
∴-3+ 2e2= e ，即 e4-4e2+3= 0，解得：e2= 3或 1(舍)
e2-2
∴ e= 3
b
由双曲线对称性可知，当A为直线FA与 y= x交点，B为直线FA与 y=- b x交点时，结论一致
a a
故选：D
2 y2
1 (2024· x广西玉林·校考模拟预测)过双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)的右焦点F引一条渐近线的
a2 b2
垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是 ( )
A. ( 2，+∞) B. ( 3，+∞) C. (2，+∞) D. (3，+∞)
【答案】A
x2 y
2
【解析】由题意双曲线C： - = 1 b的渐近线 y=± x，右焦点F(c,0)，
a2 b2 a
a
不妨设过右焦点F(c,0)与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为 y=- (x- c)
b
b b a 2 2
与 y=- x联立得- x=- (x- c) a c，所以 x= ，y= -abc a c , -abc，所以交点坐标为 ，因
a a b a2-b2 a2-b2 a2-b2 a2-b2
-abc
> 0a2-b2为交点在第二象限，所以 a2c ，因为 a> 0，b> 0，c> 0，所以 a
2c> 0，abc> 0，所以 a2-b2< 0，即 a
a2-b2 < 0
< b，因为 c= a2+b2> a2+a2= 2a e= c > 2a，所以 = 2，即 e∈ 2,+∞
a a
故选：A
25
x2
2
2 (2024·江西新余·统考)已知双曲线C: - y = 1 a> 0,b> 0 ，过右焦点F作C的一条渐近线的垂
a2 b2

线 l，垂足为点A，l C 2与 的另一条渐近线交于点B，若AF = AB，则C的离心率为 ( )
5
A. 30 B. 2 C. 2 3 D. 5
5 3 2
【答案】A
【解析】如下图所示：
b
双曲线的渐近线方程为 y=± x，即 bx± ay= 0，
a
所以， AF = bc = b，则 OA = OF 2- AF 2= c2-b2= a，
b2+a2
2
因为AF = AB 5，则 AB = b，
5 2
设∠AOF= α，则∠BOF= α，所以，∠AOB= 2α，
AF= = b =
AB
tanα 5b，tan2α = ，
OA a OA 2a
2b
2
由二倍角的正切公式可得 tan2α= 2tanα a = 5b b = 1，即 ，可得 ，
1- tan2α 2 21- b 2a a 5a
c 2 30
因此，e= = 1+ b = 1+ 1
a a2
= .
5 5
故选：A.
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
以F1F
b
2为直径作圆，交一条渐近线 y= x于点B，BF1交另一条渐近线于点A，则令∠BOF2= α,则∠BFa 1
F α2= ，e= 1+ tan2α2
26
2 2
1 (2024·全国·校联考)过双曲线C: x - y = 1(a> 0,b> 0)的右焦点F作 x轴的垂线，与双曲线C及其一
a2 b2
条渐近线在第一象限分别交于A,B两点，且OF = 2OA-OB(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率是
( )
A. 2. B. 3 C. 3 2 D. 2 3
2 3
【答案】D
x= c 2 y= bb x bc
【解析】设双曲线的半焦距为 c，由 2x2 - y = 得到A c, ，由 a 得到B c, ，2 1 a a a b2 x= c
( OF +OB而F c,0)，OF = 2OA-OB OA= ，即点A是线段FB的中点，
2
bc 2b2
所以 = ,c= 2b，所以 e= c = 2b = 2 3 .
a a a c2-b2 3
故选：D
2 2
1 ( y2024·山西晋城·统考)设F F x1， 2是双曲线C： - = 12 2 a> 0,b> 0 的左、右焦点，以线段F1F2为a b
直径的圆与直线 bx- ay= 0在第一象限交于点A，若 tan∠AF2O= 2，则双曲线C的离心率为 ( )
A. 5 B. 3 C. 3 D. 2
3 2
【答案】A
【解析】由题意可得 |AO| = |OF2| = c，
即有△AOF2为等腰三角形，
设∠OAF2=∠AF2O= α，
则∠AOF2= π- 2α，
所以 tan∠AOF2= tan π- 2α 2tanα 2× 2 4 =-tan2α= = =
tan2α- 1 22-1 3
b 4
即为 = ，
a 3
e= c
2
所以 = 1+ b = 1+ 16 = 5 ，
a a2 9 3
故选：A
2 2
2 (2024· x y河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知双曲线C： - = 1 a> 0,b> 0 的左，
a2 b2
右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双
27
曲线C的离心率为 ( )
A. 1+ 3 B. 1+ 5 C. 1+ 3 D. 1+ 5
2 2
【答案】C
【解析】连接PF1，设 |F1F2| = 2c，
则由题意可得ΔPF1F2是直角三角形，
由ΔPOF2恰好为正三角形得，∠PF2F1= 60°，
∴ |PF2| = c，∴ |PF1| = 4c2-c2= 3c，
∴ |PF1| -|PF2| = 3c- c= 2a，
∴ e= c = 2 = 3+ 1．
a 3- 1
故选：C．
2 2
3 ( y2024· x陕西宝鸡·统考)已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)的左 右焦点分别为F1，F2，且以F2 2 1F2a b
为直径的圆与双曲线C的渐近线在第四象限交点为P，PF1交双曲线左支于Q，若 2F1Q=QP，则双曲线的
离心率为 ( )
A. 10+ 1 B. 10 C. 5+ 1 D. 5
2 2
【答案】A

【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得P点坐标，由 2F1Q=QP可表示出Q点坐标，Q点坐标代入
双曲线方程整理后可求得 e．F1(-c,0),F2(c,0)，圆方程为 x2+y2= c2，
x2+y2= c2 x= a
由 2 2 = b ，由 a +b = c
2，x> 0,y< 0，解得
y x =- ，即P(a,-b)，a y b

设Q(x0，y0)，由 2F1Q=QP，(a- x0,-b- y0) = 2(x0+c,y0) x = a- 2c b，得 0 ，y =- ，3 0 3
因为Q在双曲线上，
∴ (a- 2c)
2
b2- = 1，(1- 2e)2= 10，
9a2 9b2
e= 10+ 1解得 (e= 1- 10 舍去)，
2 2
故选：A
考点十一：渐近线平行线与面积问题
28
2
x2 y 2 2
①双曲线C： - = 1上的任意点P a b到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
a2 b2 c2
x2 y
2
②双曲线 C： - = 1上的任意点 P作双曲线 C的两条渐近线的平行线，分别交于A，B两点，则
a2 b2
PA PB c
2 ab 2 2
是一个常数 ，SAOBP= ，OA OB=
a b
4 2 4
2 2
1 ( y2024· x北京·人大附中校考)已知F1，F2分别为双曲线C： - = 1(a> 0,b> 0)的左、右焦点，过F 作
a2 b2
2
C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若 cos∠MFN= 51 ，则C的离心率为 ( )13
A. 2 B. 85 C. 5 D. 5
2 3
【答案】C
【解析】易知MN关于 x轴对称，令∠MF1F2= α，cos2α= 5 ，13
∴ cos2α= 1 1+ 5 = 9 4 4，sin2α= ，∴ tan2α= ，∴ tanα= 2．2 13 13 13 9 3
y=
b x x= c bca 2 c bc
bc ，M , ，tanα= 2a = 2 ，
=-
b - y= 2 2a 3y x c c 3
a 2a 2
∴ b = 2，
a
2
∴ e= c = 1+
a
b
a = 5．
故选: C.
2 2
1 ( y2024·山东潍坊· x高三统考期末)已知双曲线C: - = 1(a> 0,b> 0)上一点P坐标为 ( 5,m)
a2 b2
(m> 0),F为双曲线C的右焦点，且PF垂直于 x轴.过点P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，它们
与两条渐近线围成的图形面积等于 1，则该双曲线的离心率是 .
5 5【答案】 或
2
【解析】由题意知，a2+b2= c2= 5，
b
双曲线C的渐近线方程为 y=± x，
a
29
P y= b设过点 且与渐近线 x b平行的直线与渐近线 y=- x相交于点A，如图所示，
a a
∴ b直线AP的方程为 y-m= (x- 5)，
a
将其与 y=- b x x= 5b- am y= - 5b+ am A 5b- am - 5b+ am联立，解得 ， ，即 ， ，a 2b 2a 2b 2a
2
∴ |OA| = 5b- am + - 5b+ am
2
= | 5b- am| c ，2b 2a 2 ab
- 5b -m
点P( 5，m) | 5b+ am|到直线 y=- b x a的距离为 d= = ，
a b 2 +1 ca
∵所围图形面积等于 1，
∴ | | = | 5b- am| c | 5b+ am|OA d 1，即 = 1，
2 ab c
化简得 |5b2-a2m2| = 2ab，
∵ P( 5 m) ∴ 5 - m
2
点 ， 在双曲线上， = 1，即 5b2-a2m2= a2b2，
a2 b2
∴ ab= 2，
又 a2+b2= 5，∴ a= 1，b= 2或 a= 2，b= 1，
∴ c离心率 e= = 5 5或 ．
a 2
5
故答案为： 5或 ．
2
2 2
2 ( y2024· x重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)过双曲线C： - = 1(a> 0，b> 0)右支上一
a2 b2
点P作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点M，N，O为坐标原点，设△OMN的面积为S，若S
b2≥ ，则双曲线C的离心率取值范围为 ． (用区间作答)
2
5
【答案】 1, 2
【解析】设P(m,n)，y=- b x+ d b是过P与渐近线 y=- x平行的直线，交 y轴于D(0,d)点，与渐近线 y=
a a
b x交于M (x1,ya 1)，
30
n- d =- b bm+ an则 ，即 d= ，
m a a
y=-
b
ax+ d bm+ an联立 y= b 解得 x1= ，ax 2b
S = 1则 △DOM x1 d ，由题知四边形OMPN是平行四边形，2
2 2
又P(m,n) m n在双曲线上，应满足 - = 1，即 b2m2-a2n2= a2b2
a2 b2
则SOMPN= 2S△OMP= 2(S△OPD-S△DMO) = md - x1 d = (m- x1)d
= (bm- an) (bm+ an) a
2
= b
2
= ab
2ab 2ab 2
2
则S= 1 S ab b b 1OMPN= ≥ ，解得 ≤ ，2 4 2 a 2
c 2 5
可得离心率 e= = 1+ b ≤
a a2 2
所以离心率的范围为 1, 5 ，2
5
故答案为： 1, 2
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
31
2 2
1 ( y2024 ·四川泸州 ·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习)已知 F ,F x1 2分别为双曲线 C : - =
a2 2 b
1 a> 0,b> 0 的左、右焦点，P是C左支上一点， PF2 = 2 PF1 ，若存在点M满足 F1P= 2MP,OM FP1
= 0，则C的离心率为 .
【答案】 5
【解析】

因为F1P= 2MP，所以M是F1P的中点，又O为F1F2的中点，
所以OM PF2，因为OM FP1= 0，所以OM⊥FP1，所以PF1⊥PF2，
设 PF1 =m，则 PF2 = 2m， F1F2 = 5m，且P在双曲线上，
m 5
则 PF2 - PF1 = 2a，即 a= ，又 F1F2 = 5m= 2c，即 c= m，2 2
5
c m
所以 e= = 2 = 5.
a m
2
故答案为： 5.
2 2
1 ( y2024·内蒙古赤峰· x高三校考期末)已知双曲线Γ: - = 1 a> 0,b> 0 的左、右焦点分别为F2 2 1,
a b
F2，点A在Γ上，且AF1 AF2= 0，射线AO,AF2分别交Γ于B,C两点 (O为坐标原点)，若 F2B = F2C ，则
Γ的离心率为 ．
10
【答案】
2
【解析】由双曲线的对称性得 BF2 = AF1 ，由AF1 AF2= 0，得AF1⊥AF2，
不妨设点A在Γ的右支上，且 AF1 =m, AF2 =n，
在Rt△AF1F2中，由双曲线定义知m-n= 2a，
由勾股定理得m2+n2= 4c2，
则 2mn= (m2+n2) - (m-n)2= 4c2-4a2= 4b2，
且 m+n 2=m2+n2+2mn= 4c2+4b2
又 CF1 - CF2 = 2a， CF2 = F2B = AF1 =m，所以 CF1 = 2a+m，
则在Rt△CAF1中，由 AF1 + AC 2= CF1 2，得m2+ (m+n)2= (2a+m)2，
化简得 (m+n)2= 4a2+4am，
2 2
即 4c2+4b2= 4a2+4am，所以m= 2b ,n= 2b - 2a，
a a
m2+n2= 4b
4 2 2 2
所以 + 2b - 2a = 4c2 b 3，化简得 = .a2 a a2 2
c 2 10
所以Γ的离心率为 e= = 1+ b
a a2
= .
2
10
故答案为： .
2
2 y2
2 (2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末)如图，已知双曲线C x： - + = 1的左、a2 a 2
右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限内的一点，且直线F2M与 y轴的正半轴交于A点，△AMF1的内
切圆在边MF1上的切点为N，若 MN = 2，则双曲线C的离心率为 .
32
【答案】 2
【解析】设△AMF1的内切圆在边AF1,AM的切点分别为E,G，如图：
则 MF1 - MF2 = 2a,得 NF1 + 2- MF2 = 2a，
又 NF1 = EF1 = GF2 ，则 GF2 + 2- MF2 = 2a，
得 2+ MG = 2a，
2
又 MG = 2，得 2a= 4,a= 2 2 +4，所以双曲线的离心率为 e= = 2，
2
故答案为： 2.
33

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