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专题2.5 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【题型1 一元二次不等式的解法】
【方法点拨】
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【例1】（2022春 阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2022春 凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2022春 眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
【变式1-3】（2022春 雨城区校级期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为（　　）
A． B．{x|x或x≥3}
C． D．{x|x≤﹣3或x}
【题型2 含参的一元二次不等式的解法】
【方法点拨】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【例2】（2022秋 兴平市校级月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x）＞0．
【变式2-1】（2022春 南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．
【变式2-2】（2021秋 和平区校级月考）解关于x的不等式x2﹣（a）x+1＜0．
【变式2-3】（2021秋 高州市期末）解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．
【题型3 三个“二次”关系的应用】
【方法点拨】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【例3】（2022秋 哈尔滨月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集为（　　）
A．R B． C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【变式3-1】（2022春 赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022春 让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（　　）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2021秋 三门峡期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（　　）
A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}
【题型4 解简单的分式不等式】
【方法点拨】
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【例4】（2022春 临夏县校级期中）求不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）2x2﹣5x+2≤0；
（3）；
（4）．
【变式4-1】（2021秋 李沧区校级月考）解下列不等式并写出解集．
（1）﹣2x2+3x+9＞0；
（2）1．
【变式4-2】（2021秋 海淀区校级期末）求下列关于x的不等式的解集：
（1）；
（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．
【变式4-3】（2022春 广安区校级月考）解不等式：
（1）4x2﹣15x+9＞0；
（2）．
【题型5 一元二次不等式恒成立、存在性问题】
【方法点拨】
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
【例5】（2021 西青区模拟）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1
【变式5-1】（2021秋 南阳期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）
【变式5-2】（2022春 双流区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【变式5-3】（2022春 石泉县校级期末）对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）
【题型6 一元二次不等式的实际应用】
【方法点拨】
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【例6】（2021秋 丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．
则交通事故的主要责任方是　 　（填“甲”或“乙”）．
【变式6-1】（2021秋 峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是　 　台．
【变式6-2】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，则k＝　 　，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为　 　．
【变式6-3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．专题2.5 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲
1．一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【题型1 一元二次不等式的解法】
【方法点拨】
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【例1】（2022春 阿拉善左旗校级期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据不等式的解法直接求解．
【解答过程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x，函数y＝（x+2）（2x﹣1）的开口方向向上，
∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为，
故选：B．
【变式1-1】（2022春 凉州区期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，由一元二次不等式的解法分析得答案．
【解答过程】解：根据题意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，
解可得：x≥1或x，即不等式的解集为{x|x或x≥1}，
故选：C．
【变式1-2】（2022春 眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
【解题思路】解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，由此能求出不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集．
【解答过程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0，
解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，
∴不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（﹣1，4）．
故选：C．
【变式1-3】（2022春 雨城区校级期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为（　　）
A． B．{x|x或x≥3}
C． D．{x|x≤﹣3或x}
【解题思路】利用一元二次不等式的性质、解法直接求解．
【解答过程】解：∵﹣2x2+x+15≤0，∴2x2﹣x﹣15≥0，
Δ＝1+120＝121，
解方程2x2﹣x﹣15＝0，得，x2＝3，
∴不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为{x|x或x≥3}．
故选：B．
【题型2 含参的一元二次不等式的解法】
【方法点拨】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【例2】（2022秋 兴平市校级月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x）＞0．
【解题思路】根据题意，a，转化不等式，求解即可．
【解答过程】解：∵0＜a＜1，∴a，
原不等式可化为（x﹣a）（x）＜0，
解得a＜x．
故不等式的解集为{x|a＜x}．
【变式2-1】（2022春 南充期末）当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．
【解题思路】对于二次项含参的一元二次不等式，需要对二次项系数a是否为零进行讨论，进而求解即可．
【解答过程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化简可得（ax+1）（x﹣2）≥0．
由于二次项系数含参，故进行如下讨论：
①当a＝0时，原不等式化简为：x﹣2≥0，解得x≥2．
②当a＜0时，不等式为：（ax+1）（x﹣2）≥0．
解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的两根分别为为，x2＝2．
则：当时，解为：x＝2．
当时，，解为；．
当时，，解为：．
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥2}．
当时，解集为{x|x＝2}．
当时，解集为：．
当时，解集为：．
【变式2-2】（2021秋 和平区校级月考）解关于x的不等式x2﹣（a）x+1＜0．
【解题思路】先因式分解，再分类讨论，即可得到不等式的解．
【解答过程】解：∵x2﹣（a）x+1＜0．
∴（x﹣a）（x）＜0，
当a时，即a＞1或﹣1＜a＜0时，解得x＜a，
当a时，即a＜﹣1或0＜a＜1时，解得a＜x，
当a时，即a＝±1时，不等式的解集为空集．
【变式2-3】（2021秋 高州市期末）解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．
【解题思路】对于含参数的不等式，先不用考虑参数，看是什么不等式，按照解这类不等式的方法去解，不等式6x2+ax﹣a2＜0是一元二次不等式，先因式分解，在讨论两根的大小，因含参数，再按参数大小讨论，得出结果．
【解答过程】解：原不等式化为；（2x+a）（3x﹣a）＜0
当a＞0时，∵，∴
当a＜0时，∵，∴
当a＝0时，无解．
综上所述，
当a＞0时，原不等式的解集为{x|}
当a＝0时，原不等式的解集为
当a＜0时，原不等式的解集为（x|}.
【题型3 三个“二次”关系的应用】
【方法点拨】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【例3】（2022秋 哈尔滨月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集为（　　）
A．R B． C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【解题思路】由题意得x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的两根，结合方程根与系数关系可求a，b，进而可求不等式．
【解答过程】解：因为不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
所以x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的两根，
故，
解得a＝1，b＝﹣1，
则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＝x2﹣2x﹣3＞0的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}，
故选：D．
【变式3-1】（2022春 赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】由一元二次不等式的性质得2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，利用韦达定理求出b＝﹣5a，c＝6a，由此能求出的值．
【解答过程】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），
∴2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，
∴，解得b＝﹣5a，c＝6a，
∴．
故选：B．
【变式3-2】（2022春 让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可．
【解答过程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是．则根据对应方程的韦达定理得到：．
解得，
则解集为（﹣∞，）．
故选：A．
【变式3-3】（2021秋 三门峡期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（　　）
A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}
【解题思路】设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），根据二次函数与对应的方程和不等式的关系，即可求出不等式的解集．
【解答过程】解：设二次函数y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），
因为二次函数对应的方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，
所以二次函数图象开口向上，且与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（2，0），
所以关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}．
故选：B．
【题型4 解简单的分式不等式】
【方法点拨】
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
【例4】（2022春 临夏县校级期中）求不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）2x2﹣5x+2≤0；
（3）；
（4）．
【解题思路】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可；
（2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集；
（3）不等式化为，再求解集；
（4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集．
【解答过程】解：（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0，
解得x＜﹣1或x＞5，
所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}；
（2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得，
所以不等式的解集为；
（3）由，可得，
解得x≤﹣1或x＞3，
所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞3}；
（4）由，可得，
等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．
【变式4-1】（2021秋 李沧区校级月考）解下列不等式并写出解集．
（1）﹣2x2+3x+9＞0；
（2）1．
【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解法即可求解；
（2）利用一元二次不等式的解法即可求解．
【解答过程】解：（1）因为﹣2x2+3x+9＞0，所以2x2﹣3x﹣9＜0，可得（2x+3）（x﹣3）＜0，
可得x＜3，
所以解集为{x|x＜3}．
（2）因为1，可得1≥0，
可得0，
所以（3﹣2x）（5+x）≥0，且5+x≠0，解得﹣5＜x，
所以解集为{x|﹣5＜x}．
【变式4-2】（2021秋 海淀区校级期末）求下列关于x的不等式的解集：
（1）；
（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．
【解题思路】（1）将其转化为一元二次不等式，解之即可．
（2）分a＝0，a＞0和a＜0三种情况，结合二次函数的图象与性质，解之即可．
【解答过程】解：（1），∴0，
∴，∴x＞7或x≤2，
∴不等式的解集（﹣∞，2]∪（7，+∞）．
（2）①当a＝0时，则﹣2＝0不成立，x∈ ，
②当a≠0，即a2＞0时，
令2a2x2﹣3ax﹣2＝0，则x或x，
若a＞0时，，∴x或x，
若a＜0时，，∴x或x，
综上，当a＝0时，不等式的解集为 ，
若a＞0时，不等式的解集为{x|x或x}，
若a＜0时，不等式的解集为{x|x或x}．
【变式4-3】（2022春 广安区校级月考）解不等式：
（1）4x2﹣15x+9＞0；
（2）．
【解题思路】（1）解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1，x2＝3，由此能求出4x2﹣15x+9＞0的解集；
（2）推导出0，由此能求出的解集．
【解答过程】解：（1）4x2﹣15x+9＞0，
Δ＝（﹣15）2﹣4×4×9＝81，
解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1，x2＝3，
∴4x2﹣15x+9＞0的解集为；
（2）∵，∴0，
∴0，
解得﹣4＜x＜﹣1．
∴的解集为（﹣4，﹣1）．
【题型5 一元二次不等式恒成立、存在性问题】
【方法点拨】
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
【例5】（2021 西青区模拟）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（　　）
A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1
【解题思路】对k进行分类讨论，当k＝0时恒成立，k＜0时不等式不能恒成立，当k＞0时，只需△≤0求得k的范围，最后综合得到答案．
【解答过程】解：当k＝0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立，
当k＜0时，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，
当k＞0时，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，
需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0，
解得0≤k≤1，
故选：A．
【变式5-1】（2021秋 南阳期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）
【解题思路】由题意问题等价于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，讨论a的取值，从而求得实数a的取值范围．
【解答过程】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为 ，
即 （a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立．
当a﹣2＝0时，即a＝2时，不等式即﹣4＜0，显然满足条件．
当a﹣2≠0时，应满足，解得﹣2＜a＜2．
综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：C．
【变式5-2】（2022春 双流区校级期末）关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解题思路】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a，x∈[1，4]，求出f（x）x在x∈[1，4]的最大值即可．
【解答过程】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，
等价于a，x∈[1，4]；
设f（x）x，x∈[1，4]，
则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，
且当x＝1时，函数f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
【变式5-3】（2022春 石泉县校级期末）对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）
【解题思路】结合二次函数的图象与性质解决，注意对二次项系数分类讨论．
【解答过程】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0
当a﹣2＝0，即a＝2时，﹣4＜0恒成立，合题意．
当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需a﹣2＜0，且Δ＜0
解得﹣2＜a＜2．
所以a的取值范围为（﹣2，2]．
故选：A．
【题型6 一元二次不等式的实际应用】
【方法点拨】
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
【例6】（2021秋 丰台区期中）汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．
则交通事故的主要责任方是　乙　（填“甲”或“乙”）．
【解题思路】先由题意列出不等式组，分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速，看它们是不是超速行驶，谁超速谁应负主要责任．
【解答过程】解：由题意，解0.1x+0.01x2＞12得，x＜﹣40或x＞30，
∵x＞0，
∴x甲＞30km/h，
解0.05x+0.005x2＞10得，x＜﹣50或x＞40，
∵x＞0，
∴x乙＞40km/h，
∴乙车超过限速，应负主要责任．
故答案为：乙．
【变式6-1】（2021秋 峨山县校级期中）某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是　150 　台．
【解题思路】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．
【解答过程】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，
又因为总收入为：25x，
总支出为：3000+20x﹣0.1x2
∴25x≥3000+20x﹣0.1 x2
解得：x≥150或x≤﹣200
又x∈（0，240）
∴x≥150
故答案为：150．
【变式6-2】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，则k＝　100 　，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为
[60，100] ．
【解题思路】（1）将x＝120代入每小时的油耗，解方程可得k＝100，
（2）由题意可得9，解不等式可得x的范围．
【解答过程】解：记每小时的油耗为y，则根据题意：y，
则当x＝120时，y11.5，解得k＝100，
所以y
当y≤9时，即9，解得45≤x≤100，
又因为60≤x≤120，则x的取值范围为[60，100]，
故答案为100；[60，100]．
【变式6-3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
【解题思路】（1）降低税率后的税率为（10﹣x）\%，农产品的收购量为a（1+2x\% ）万担，收购总金额为200a（1+2x\% ）万元，然后直接列出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）由题意可得原计划税收为200a×10%＝20a万元，则（50+x） （10﹣x）≥20a×83.2%，求解不等式得答案．
【解答过程】解：（1）降低税率后的税率为（10﹣x）%，农产品的收购量为a（1+2x% ）万担，收购总金额为200a（1+2x% ）万元．
依题意有y＝200a（1+2x% ） （10﹣x）%（0＜x＜10）；
（2）原计划税收为200a×10%＝20a万元，
依题意有（50+x） （10﹣x）≥20a×83.2%，
化简得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x≤2，
又0＜x＜10，∴0＜x≤2．
∴x的取范围是{x|0＜x≤2}．

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