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2023-2024学年广东省广州市三校联考高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.设是第二象限角，为其终边上一点，且，则( )
A. B. C. D.
3.计算( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数的图象关于直线对称，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在下列结论中：
是的一个周期；
的图象关于直线对称；
在区间上无最大值．
正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
C. 函数的单调增区间是
D. ，
10.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 为第二象限角 B.
C. D.
11.已知函数，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为，且，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的定义域
C. 函数的图象的对称中心为
D. 函数的单调递增区间为
12.关于函数下列说法正确的有( )
A.
B. 不等式的解集是
C. 若方程有个实数根，则
D. 若存在实数，，满足，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的对称轴方程是______ ．
14.已知函数在上为奇函数，且当时，，当时， ______ ．
15.函数的定义域为______ ．
16.已知函数，若 ______ ；若，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
化简，并求．
若，求的值．
18.本小题分
已知，函数的最小正周期为．
求函数的单调递增区间；
若，，求的值．
19.本小题分
已知函数，且过定点，且点在函数，的图象上．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ若定义在上的函数恰有一个零点，求实数的取值范围．
20.本小题分
塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印发关于扎实推进塑料污染治理工作的通知明确指出，年月日起，将禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系，为初始量，为光解系数与光照强度、湿度及氧气浓度有关，为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的倍参考数据：，
塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？
为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？精确到年
21.本小题分
如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图像，图象的最高点为边界的中间部分为长千米的直线段，且游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧．
求曲线段的函数表达式和半径的长度；
如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值．
22.本小题分
设，函数，．
若函数的值域是，求的取值范围；
当时，记函数，讨论在区间内零点的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合或，，
集合，
图中阴影部分表示的集合为．
故选：．
由图可知图中阴影部分表示的集合为，再利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了图表达集合的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由三角函数定义可知：，
又是第二象限角，
故，
所以．
故选：．
利用三角函数的定义先解得，再求正切值即可．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：原式．
故选：．
利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，可得的图象；
再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
故．
故选：．
由题意，利用图象的变换法则得出，再由和角公式求解即可．
本题主要考查函数的图象变换规律，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
解得，
的定义域为．
由复合函数的单调性可知，的单调递增区间，
即为函数在区间上的单调递减区间，
令，解得．
的单调递增区间为．
故选：．
利用复合函数的单调性，结合函数定义域，求单调递增区间．
本题考查复合函数的单调性，考查型函数的图象与性质，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
又，所以．
，
因此：．
故选：．
由于，，对应的函数表达式不同，故寻找中间量来比较大小，易得，，再利用二倍角公式对的底数化简得到，进一步利用指数函数性质得到，从而得到结论．
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，且当时，，
所以，解得：，即当时，，
又因为的图象关于直线对称，
所以，且
则，
即函数是以为周期的周期函数，
故．
故选：．
先由奇函数条件可得，然后根据函数的对称性可知函数的周期为，再利用函数的周期性和奇偶性计算即可．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
又，
所以，可得不是的一个周期，故错误；
因为，
所以的图象不关于直线对称，故错；
因为，，
令，
则，
可得，在上单调递增，
所以无最大值，即函数在上无最大值，故正确．
故选：．
根据周期性和对称性满足的关系式判断；利用换元法求函数在的最值情况．
本题考查了三角函数恒等变换以及三角函数性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，命题命题“，”的否定是“，”，故A正确；
对于，由，得，““是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于，由，得函数的定义域为，
由的增区间为，故C错误；
对于，作出函数和的图象，
，
在上，恒成立，故D正确．
故选：．
对于，根据存在性命题否定的方法进行判定；对于，先求解不等式，再进行判断；对于，求出函数的定义域，在定义域内利用对数函数、二次函数的单调性进行判断；对于，结合图象可以进行判断．
本题考查命题真假的判断，考查存在性命题否定、不等式性质、函数的定义域、对数函数、二次函数的单调性、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由同角三角函数平分关系可得，
，因为，所以，解得，，
因为，所以是第二象限角，故选项A，B正确，
有同角三角函数商数关系可得，，故选项C错误，
因为，故选项D正确．
故选：．
利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项．
本题考查的知识要点：同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由已知，函数满足，所以函数的最小正周期为，所以选项A错误；
而，因为，所以，此时函数，
因为，所以，
又，所以，故，
由，得，
所以的定义域为，所以选项B错误；
由，，
故的图象的对称中心为，所以选项C正确；
由，解得，
故的单调递增区间为，所以选项D正确，
故选：．
对于，由题意可得，从而可求出其最小正周期，对于，由可求出，从而可求出，由可求出定义域，对于，由可求出对称中心的横坐标，对于，由可求出其单调增区间．
本题考查三角函数的据图求式问题，三角函数的图象与性质等，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项，，A正确；
选项，时，，解得，或，
时，，无解，所以不等式的解集是，B正确；
选项，时，，时，单调递减，，，若方程有个实数根，则，C错误；
选项，因为存在实数，，满足，则有个不同的交点，其中，关于对称，故，
当时，，故的取值范围是，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为，D正确．
故选：．
根据分段函数的性质逐项求解即可．
本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：令，可得
故答案为：．
令，可得结论．
本题考查余弦函数的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为在上为奇函数，且当时，，
当时，，
则，
则．
故答案为：．
根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；
本题主要考查函数解析式的求解，属于基础试题．
15.【答案】
【解析】解：函数有意义，
则需，
由，
，
则，
所以函数定义域为．
故答案为：．
利用已知条件，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答．
本题考查函数的定义域的求法，三角函数线的应用，是中档题．
16.【答案】 ，或
【解析】解：函数，
，
若，
则，或，
，或，
故答案为：；，或．
根据分段函数的解析式代入求解即可；根据，得到，或，进而求解结论．
本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，对数的运算性质，难度中档．
17.【答案】解：，
所以．
因为，
所以．
【解析】利用诱导公式化简可得，再代入求值，即可；
由可得，再利用“同除余弦可化切”的思想，即可得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：
，
因为的最小正周期为，所以，即，
所以，
由，，可得，，
所以函数的单调递增区间为，；
由知，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
【解析】化简的解析式，先求得，然后利用整体代入法求得的单调递增区间；
利用同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ函数，且过定点，
函数，的图象过点，
即，解得，
函数的解析式为；
Ⅱ函数定义在上，
由在上恒成立，可得，
令，得，
设，
函数在上恰有一个零点，
等价于在上恰有一个零点，
函数图象抛物线开口向上，对称轴，
若，无解，不成立；
若，解得，满足题意；
若，无解，不成立；
若，解得，满足题意．
所以实数的取值范围为
【解析】Ⅰ把定点代入函数的解析式求出的值即可；
Ⅱ问题等价于在上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可．
本题考查了指数函数、对数函数、二次函数的性质，考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
20.【答案】解：由题意可知，，
所以，
当残留量为初始量的时，，
依题意得，
所以，
所以，即，
即残留量为初始量的，大约需要年；
因为年就可降解初始量的，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
令，得，
所以，即，
所以，
即残留量不足初始量的，至少需要年．
【解析】由题意可得，再利用指数式与对数式的互化，结合对数的运算性质求出的值即可；
依题意得，进而可得，令，可得，再利用换底公式结合对数的运算性质求出的最小值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
21.【答案】解：由已知条件，得，
又，，知，
当时，有，
所以，
故曲线段的函数表达式为：，，
如图，，，
所以；
因为，
作轴于点，在中，，
在中，，
从而，
所以
，，
当，即时，平行四边形面积最大，最大值为．
【解析】由题意可得，，代入点求的值，从而求解析式，由题意可求的值，进而利用勾股定理可求的值；
作图求平行四边形的面积，，从而求最值．
本题考查三角函数在实际问题中的应用，同时考查了学生的作图能力，属中档题．
22.【答案】解：，
因为函数的值域是，
所以是函数的值域的子集，
所以，解得，
所以的取值范围为；
在区间内零点的个数，
即方程在区间内实数根的个数，
当时，令，
则，则，
因为，所以，即，
又，所以，即，
所以，；
当时，，对称轴为，
而，，
，当，即时，
函数在上无零点，
，
当，即时，
此时，，则可取，，，
故方程在上有个实数根，
所以当时，函数在有个零点；
当，即时，
此时，，则可取，，
故方程在上有个实数根，
所以当时，函数在有个零点；
，当，即时，
函数在上只有个零点，
此时，，则可取，，，
故方程在上有个实数根，
所以当时，函数在有个零点；
，当，即时，
函数在上有个零点，
此时，
此时，，则可取，，，，
故方程在上有个实数根，
所以当时，函数在有个零点；
，当，即时，
函数在上只有个零点，
此时，
此时，，则可取，，，，，
故方程在上有个实数根，
所以当时，函数在有个零点；
综上所述，当时，函数在有个零点；
当时，函数在有个零点；
当时，函数在有个零点；
当时，函数在有个零点．
【解析】由题意可得是函数的值域的子集，进而可得出答案；
先求出函数的零点，再根据二次函数的对称轴为，分，，和四种情况讨论即可得出答案．
本题考查函数的值域，函数的零点与方程根的问题，属于中档题．
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