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2023-2024学年陕西省西安市区县联考高一（上）期末数学试卷
一、选择题
1.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，，则使的实数的取值范围可以是( )
A. B.
C. D.
3.设全集，集合，集合，若，则应该满足的条件是( )
A. B. C. D.
4.关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数是奇函数，在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上( )
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值
7.为了得到函数的图象，只要把函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8.化简得( )
A. B. C. D.
9.定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则( )
A. 的图象关于点成中心对称 B. 对任意整数，
C. 的值域为 D. 的实数根个数为
10.函数的图象为( )
A. B.
C. D.
11.若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”下列四个函数中不能用来构造“同族函数”的是( )
A. B. C. D.
12.若二次函数的两个零点为，，则二次函数的零点是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、非选择题
13.已知集合，，若集合，中至少有一个非空集合，实数的取值范围______ ．
14.已知函数为常数，若时，恒成立，则的取值范围是______．
15.若函数在区间上是增函数，则的取值范围 ．
16.已知函数在上的最大值与最小值的和为，则函数的单调递减区间为______．
17.已知集合，，全集．
当时，求，；
若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.已知函数
判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论
求该函数在区间上的最大值和最小值．
19.若，，且．
求的取值范围；
求的最小值，以及此时对应的的值．
20.已知函数
若，证明：；
若是定义在上的奇函数，且当时，．
(ⅰ)求的解析式；
(ⅱ)求方程的所有根只要言之有理即可
21.已知函数．
求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；
若，求函数的单调减区间．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不等式，即，由可推出，
反之，可能，则，所以不可以推出，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据题意解不等式，得到，根据范围的大小关系得到答案．
本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，可得，
当，即，解得，
当，则，解得，
，，
，且，且，
解得，
综上可得，的取值范围是，
故选：．
由可得，再讨论是否为空集，可得的取值范围，即可得到结论．
本题考查集合的并集运算和集合的包含关系，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：全集，集合，集合，
，
又，
．
故选：．
根据补集和交集的定义，结合空集的定义，即可得出满足的条件．
本题考查了补集和交集以及空集的定义与应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：当即时，不等式为，不等式的解集是，符合题意；
当即时，不等式是二次不等式，要使不等式的解集是空集，
只需，解得：．
故选：．
通过讨论的范围，结合二次函数的性质得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性比较大小以及利用作差法比较代数式的大小，属于较易题．
利用特殊值法即可判断、；利用不等式的基本性质比较与的大小关系，结合的单调性即可判断；利用作差法比较与的大小关系，结合的单调性即可判断．
【解答】
解：若，则，，所以，，故A、B错误；
因为，所以，又是上的减函数，所以，故C错误；
因为，所以，
又是上的减函数，所以，故D正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：函数是奇函数，在上是减函数，
在上也是减函数，
在区间上的值域为，
最大值为，最小值为，
在区间上也是增函数，且最大值为，
最小值为，
故选：．
根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
本题主要考查函数最值的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：函数，
故把函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象，
故选：．
由条件利用两角和差的正弦公式化简的解析式，再利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查两角和差的正弦公式，函数的图象变换规律，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：
，，
，
故选C
利用诱导公式对原式化简整理，进而利用同角三角函数关系进行化简，整理求得问题答案．
本题主要考查了诱导公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．巧妙的利用了同角三角函数中平方关系．
9.【答案】
【解析】解：由可得函数以为周期，
又由函数为偶函数可得，
所以函数的一条对称轴为，
又由时，，所以作出函数图象如下：
所以由图可知，的图象不关于点成中心对称，A错误；
对任意整数，，B正确；
的值域为，C正确；
由，可得，
令，
作出，如图，
注意到，，，
所以的图象和的图象共有个交点，
即的实数根个数为，D正确．
故选：．
利用函数的对称性、周期性以及时，，可作出的部分图象，数形结合求解．
本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，属于基础题．
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
【解答】
解：函数，
由，解得或，即函数的定义域为，排除，；
，则是偶函数，排除．
故本题选A．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，“同族函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．
因此，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调．
的图象关于轴对称，
能够被用来构造“同族函数”，故A正确；
函数在单调，
函数不可以用来构造“同族函数”，故B不正确；
函数在上是增函数，
不能够被用来构造“同族函数”，故C不正确；
函数是奇函数，图象关于原点对称，不同的定义域，值域不可能相同，
不能够被用来构造“同族函数”，故D不正确；
故选：．
根据定义以及常见函数的性质，逐项判断即可．
本题以新定义为载体，考查学生对函数三要素的理解，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：的两个零点为，，
，，
，，
，
令，得或，
故选：．
利用二次函数的性质可求得与，从而可求得二次函数的零点．
本题考查函数的零点与二次函数的性质，属于基础题．
13.【答案】或，且
【解析】解：集合，由，解得；
，由，解得．
若，两个集合中至少有一个集合不为空集，
则的取值范围是或，且．
故答案为：或，且．
根据集合，中至少有一个非空集合，利用判别式法列不等式求解即可．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，当时，恒成立，
，对任意恒成立，即，
而时，是增函数，得的最小值为，
由此可得，即的取值范围是
故答案为：．
根据题意，结合对数函数的性质得：不等式对任意恒成立，再由指数函数的单调性即可求出的最大值，从而得到的取值范围．
本题给出真数函数指数式的对数型函数，在不等式恒成立的情况下求参数的取值范围，着重考查了基本初等函数的单调性和函数恒成立等知识点，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数单调性的性质，熟练二次函数图象特征是解决问题的基础．
根据函数的图象特征及在区间上单调递增，得对称轴位于区间左侧或左端点处，由此得不等式，解出即可．
【解答】
解：函数图象开口向上，对称轴为，
由函数在区间上单调递增，得，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：当时，在递增，可得，即；
当时，在递减，可得，即，舍去；
所以即，
设，则
因为在递增，
所以要求函数的单调递减区间，只需求的减区间．
而的减区间为，
故答案为：．
由指数函数的单调性可得的最值，解方程可得，再由复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求减区间．
本题考查复合函数的单调性，以及指数函数、对数函数和二次函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：当时，，
则；
或，或，
或；
是成立的充分不必要条件，，
，由，得到，且与不同时取等号；
解得：，
，，解得
综上：的取值范围是，．
【解析】把代入确定出，求出和即可；
由是成立的充分不必要条件，得到为的真子集，分为空集与不为空集两种情况求出的范围即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属于基础题．
18.【答案】解：在上为增函数，证明如下：
任取，则；
，，；
；
所以，在上为增函数．
：由知上单调递增，
的最小值为，
最大值．
【解析】利用函数单调性的定义来证明函数的单调性；
根据函数的单调性来求函数在给定区间上的最值问题．
本题主要考查了函数单调性的定义、函数的最值问题，属于基础题．
19.【答案】解：，，
，得，
解得，明显可得，
的取值范围为；
由得，，结合，得，
，
当且仅当时，等式成立，解得，
，
即当时，取最小值为．
【解析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值；
利用条件等式，得到，进而有，利用基本不等式可得答案．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：证明：因为，
所以，
，
又基本不等式可得当时，，
即．
依据题意可得，当时，，
因为函数定义在上的奇函数，
所以，
当时，，
设，则，
所以，
所以．
(ⅱ)方程转化为曲线与直线交点的情况，
当时，与交于点和点，
由知的图象总是向上凸，
所以除外不会有其它交点，
同理，当时，根据对称性，两个图象还有一个交点，
所以有三个，，．
【解析】因为，由对数的运算性质，可得，，由基本不等式可得当时，，即可得出答案．
依据题意可得，当时，，函数定义在上的奇函数，，设，则，则，即可得出答案．
(ⅱ)方程转化为曲线与直线交点的情况，先分析当时，与交点，再由对称性，可得当时，与交点，即可得出答案．
本题考查函数性质，基本不等式，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
21.【答案】解：
．
当 即时，函数有最小值；
取得最小值时，自变量的取值集合 ，；
的单调减区间 满足

得，；
又，
令，得，
故当，时，函数的单调减区间为 ．
【解析】先将函数的解析式利用二倍角公式进行降幂，然后用辅助角公式进行花简，再根据三角函数性质解决问题．
本题主要是考查三角函数的化简，和三角函数的基本性质．
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