资源简介

第四讲：二次函数
【教学目标】
1、掌握一次函数，反比例函数的概念及性质；
2、掌握二次函数的概念及性质；
3、掌握二次函数中涉及到的几何及相关问题.
【基础知识】
一、一次函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，函数图象经过二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图象经过一、二象限；当时，函数图象经过三、四象限.
二、反比例函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，在那个象限内，随的增大而增大；
三、二次函数
形如，变形得，当时，则函数图象开口向上，当时，则函数图象开口向下；对称轴，顶点坐标；
当时，则函数图象开口向上，当时，随得增大而减小；当时，随得增大而增大；当时，则函数图象开口向下，当时，随得增大而增大；当时，随得增大而减小.
【题型目录】
考点一：一次函数
考点二：反比例函数
考点三：二次函数的概念及简单性质
考点四：二次函数的几何和相关问题
【考点剖析】
考点一：一次函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，函数图象经过二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图象经过一、二象限；当时，函数图象经过三、四象限.
例1．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点 B．它的图象与直线平行
C．随的增大而增大 D．当时，总有
变式训练1．在平面直角坐标系中，把一次函数向下平移5个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．如果一次函数的图象经过第二、三、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不同于上述答案
变式训练3．对于函数的图象，下列结论错误的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象经过第一、二、四象限
C．与轴的交点为
D．若两点，在该函数图象上，则
考点二：反比例函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，在那个象限内，随的增大而增大；
当时，则函数图象开口向上，当时，随得增大而减小；当时，随得增大而增大；当时，则函数图象开口向下，当时，随得增大而增大；当时，随得增大而减小.
例2．对于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点
C．若点在其图象上，那么点和点也一定在其图象上
D．若点，都在函数图象上，且，则
变式训练1．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．已知点；；在函数的图像上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式训练3．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线交反比例函数和的图象于，两点，是轴上任意一点，则的面积为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
考点三：二次函数的概念及简单性质
形如，变形得，当时，则函数图象开口向上，当时，则函数图象开口向下；对称轴，顶点坐标；
例3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当时，有最大值是
变式训练1．把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
变式训练2．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像的开口向上 B．图像的对称轴是直线
C．图像的顶点是 D．当时，y随x的增大而增大
变式训练3．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②；
③；
④抛物线的顶点坐标为；
⑤当时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①③④⑤
考点四：二次函数的几何和相关问题
图形为三角形时，等腰，等边，直角三角形，重点把握边之间的关系；三角形面积的最值中，确定底或高最值即可.
图形为四边形时，掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质.
例4．如图，已知二次函数的图象交轴于点，B，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求点C的坐标和直线的表达式；
(3)点P是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值．
变式训练1．已知抛物线经过点，，顶点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求以A、B、C为顶点的的面积．
变式训练2．如图，已知抛物线交轴于点，（点在点的右侧），交轴于点，其顶点为，连接．
(1)求点，，的坐标；
(2)求点坐标；
(3)若点为抛物线上一点，且，求点坐标．
【课堂小结】
1．知识清单：
(1)一次函数，反比例函数的概念及性质．
(2)二次函数的概念，性质，几何及相关问题．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：函数图象的画法和相关性质的应用．
【课后作业】
1、若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、已知点，，三点在直线的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3、在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A． B． C． D．2
4、如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
5、若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6、已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限内
C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．时，
7、在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数且）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8、如图，正比例函数（a为常数，且）和反比例函数（k为常数，且）的图像相交于和B两点，则不等式的解集为（ ）
A．或
B．
C．或
D．或
9、如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A．9 B．6
C． D．3
10、将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
11、对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值有最小值
12、二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 5 …
则下列结论：①；②当函数值时，对应x的取值范围是；③顶点坐标为；④若点，在抛物线上，则．其中所有正确结论的序号为（ ）．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
13、如图为二次函数的图象，该图象与轴的交点是和，给由下列说法：①；②方程的根为，；③；④当时，随值的增大而增大；（5）当时，或．其中，正确的说法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤
C．①③⑤ D．②④⑤
14、如图所示的二次函数的图象中，某同学观察得出了下面五条信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）你认为其中错误的有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
15、已知：如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于A点，且是等腰直角三角形．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(3)若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么是否有最大面积？若有，求出的最大面积；若没有，请说明理由．第四讲：二次函数
【教学目标】
1、掌握一次函数，反比例函数的概念及性质；
2、掌握二次函数的概念及性质；
3、掌握二次函数中涉及到的几何及相关问题.
【基础知识】
一、一次函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，函数图象经过二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图象经过一、二象限；当时，函数图象经过三、四象限.
二、反比例函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，在那个象限内，随的增大而增大；
三、二次函数
形如，变形得，当时，则函数图象开口向上，当时，则函数图象开口向下；对称轴，顶点坐标；
当时，则函数图象开口向上，当时，随得增大而减小；当时，随得增大而增大；当时，则函数图象开口向下，当时，随得增大而增大；当时，随得增大而减小.
【题型目录】
考点一：一次函数
考点二：反比例函数
考点三：二次函数的概念及简单性质
考点四：二次函数的几何和相关问题
【考点剖析】
考点一：一次函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，函数图象经过二、四象限，随的增大而减小；当时，函数图象经过一、二象限；当时，函数图象经过三、四象限.
例1．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点 B．它的图象与直线平行
C．随的增大而增大 D．当时，总有
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质，逐项判断即可．
【详解】解：当时，，它的图象不过点，故A错误；
一次函数与直线的k不相等，
它的图象与直线不平行，故B错误；
一次函数的，
随的增大而减小，故C错误；
当时，，
随的增大而减小，
当时，总有，故D正确，
故选：D．
变式训练1．在平面直角坐标系中，把一次函数向下平移5个单位后，得到的新的一次函数的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数平移的规律：上加下减，即可解答．
【详解】解：把一次函数向下平移5个单位后，
可得新的一次函数的表达式是，
故选：B．
变式训练2．如果一次函数的图象经过第二、三、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不同于上述答案
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质可得且，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴且，
解得：，
故选：C．
变式训练3．对于函数的图象，下列结论错误的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象经过第一、二、四象限
C．与轴的交点为
D．若两点，在该函数图象上，则
【答案】C
【分析】求出当时y的值，求出当时，x的值即可判断A、C；根据一次函数图象与系数的关系即可判断B、D．
【详解】解：A、当时，，
一次函数的图象必过点，故A不符合题意；
B、，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，故B不符合题意；
C、当时，即，解得：，
一次函数的图象与轴的交点为，故C符合题意；
D、，
随的增大而减小，
又点，在一次函数的图象上，且，
，故D不符合题意．
故选：C．
考点二：反比例函数
形如，当时，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，在那个象限内，随的增大而增大；
当时，则函数图象开口向上，当时，随得增大而减小；当时，随得增大而增大；当时，则函数图象开口向下，当时，随得增大而增大；当时，随得增大而减小.
例2．对于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点
C．若点在其图象上，那么点和点也一定在其图象上
D．若点，都在函数图象上，且，则
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．
【详解】A、∵，∴图象在第一、三象限，故A选项正确，不符合题意；
B、∵反比例函数，∴，故图象经过点，故B选项正确，不符合题意；
C、∵点在图象上，∴，故C选项正确，不符合题意；
D、∵不能确定点，是否在同一象限内，∴不能确定的大小，故原选项错误，符合题意．
故选：D．
变式训练1．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据在每一象限内的双曲线上，都随x的增大而增大，可得，从而即可得到答案．
【详解】解：在每一象限内的双曲线上，都随x的增大而增大，
，
，
故选：A．
变式训练2．已知点；；在函数的图像上，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质，每个象限内，y随x的增大而减小，且第一象限同正，第三象限同负，计算选择即可．
【详解】∵点；；在函数的图像上，
∴每个象限内，y随x的增大而减小，且第一象限同正，第三象限同负，
∴，
∴，
故选C．
变式训练3．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线交反比例函数和的图象于，两点，是轴上任意一点，则的面积为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
【答案】B
【分析】设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积．
【详解】解：设，则点A、B的横坐标都为a，
将代入得出，，故；
将代入得出，，故；
∴，
∴的面积为：．
故选：B．
考点三：二次函数的概念及简单性质
形如，变形得，当时，则函数图象开口向上，当时，则函数图象开口向下；对称轴，顶点坐标；
例3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当时，有最大值是
【答案】B
【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴由知抛物线开口向上，
故选项错误；
∵顶点坐标是，
故选项正确；
∵对称轴是直线，
故选项错误；
∵当时，取得最小值2，无最大值，
故选项错误；
故选：．
变式训练1．把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．
【详解】解：∵抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，
∴平移之后的抛物线的解析式为，
故选；
变式训练2．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像的开口向上 B．图像的对称轴是直线
C．图像的顶点是 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，开口向下，顶点，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而减小．
故选项A、C、D错误，选项B正确；
故选：B．
变式训练3．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：
①抛物线过原点；
②；
③；
④抛物线的顶点坐标为；
⑤当时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质求得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，可判断①正确；当时，y值为正，可判断②错误；根据对称轴为直线，且抛物线过原点，求得，，可判断③正确；求出顶点坐标，判断④正确；利用二次函数的增减性，可判断⑤错误．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，结论①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当和时，y值相同，且均为正，
∴，结论②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点，
∴，，
∴，，
∴，结论③正确；
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，结论④正确；
观察函数图象可知：当时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①③④．
故选：C．
考点四：二次函数的几何和相关问题
图形为三角形时，等腰，等边，直角三角形，重点把握边之间的关系；三角形面积的最值中，确定底或高最值即可.
图形为四边形时，掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质.
例4．如图，已知二次函数的图象交轴于点，B，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求点C的坐标和直线的表达式；
(3)点P是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)
【分析】（1）将，代入函数解析式，求出a、b，即可求解；
（2）求出点C的坐标，再用待定系数法直线解析式；
（3）设点P坐标为(t，t2-4t+3)，过点P作轴，表示出PE长，得到△BCP面积与t函数关系式，根据函数性质即可求解．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式，得
，
解得，
∴这个二次函数的表达式是
（2）当时，，即点，
设的表达式为，将点点代入函数解析式，得
，
解得，
∴直线的解析是为，
（3）设点坐标为，过点P作轴，交直线于点，
，
∴
∵，
∴当时，．
变式训练1．已知抛物线经过点，，顶点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求以A、B、C为顶点的的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点C作轴于点D，先求出点C的坐标，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点C作轴于点D，
∵，
∴点C的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
变式训练2．如图，已知抛物线交轴于点，（点在点的右侧），交轴于点，其顶点为，连接．
(1)求点，，的坐标；
(2)求点坐标；
(3)若点为抛物线上一点，且，求点坐标．
【答案】(1)，，
(2)顶点的坐标为
(3)点的坐标为
【分析】（1）根据坐标轴上的点的坐标的特征，分别令和即可求出点，，的坐标；
（2）将抛物线的一般式化为顶点式，即可得到顶点的坐标；
（3）过点作轴于，过点作轴于，设，可得，，再证明，可得，即，变形得，即，解得的值，即可写出点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线，
令，则，
∴，
令，则，
解得，或，
∴，．
（2）解：∵抛物线，
∴顶点的坐标为．
（3）解：过点作轴于，过点作轴于，
设，
∵，，
∴，，，，
∵轴，轴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴点的坐标为．
【课堂小结】
1．知识清单：
(1)一次函数，反比例函数的概念及性质．
(2)二次函数的概念，性质，几何及相关问题．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：函数图象的画法和相关性质的应用．
【课后作业】
1、若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，故D正确．
故选：D．
2、已知点，，三点在直线的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据，判断出函数的增减性，再由，即可得出结论．
【详解】解：∵直线中，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
3、在平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与x、y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：将直线的图象向上平移2个单位，得到，
令，得，
令，得，
∴平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是，
故选：B．
4、如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先把点代入，即可求得点A的坐标，再根据两函数的图象，即可求解．
【详解】解：函数过点，
，
解得：，
，
由两函数的图象可知，
当时，，即．
故选：D．
5、若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由得到函数的图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大，然后得到，，的大小关系即可．
【详解】解：∵反比例系数中，，
∴反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，
，
，
故选：C．
6、已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象分别位于第二、四象限内
C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D．时，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】因为，
所以A正确，不符合题意；
因为反比例函数，
所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；
所以B、C正确，不符合题意；
当时，或，
所以D错误，符合题意，
故选D．
7、在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数且）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】同一个选项中分别判断出两个函数的k值，看符号是否一致即可得到答案．
【详解】解：A、由函数图象可知中，，中，，故此选项不符合题意；
B、由函数图象可知中，，中，，但是函数与y轴交于y轴正半轴，故此选项不符合题意；
C、由函数图象可知中，，中，，故此选项符合题意；
D、由函数图象可知中，，中，，故此选项不符合题意；
故选C．
8、如图，正比例函数（a为常数，且）和反比例函数（k为常数，且）的图像相交于和B两点，则不等式的解集为（ ）
A．或
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征得到B点坐标为，然后根据函数图像位置及交点坐标即可得出结论．
【详解】解：正比例函数（a为常数，且）和反比例函数（k为常数，且）的图像相交于和B点．
A、B两点关于原点对称，
，
反比例函数图像位于一次函数的上方，
不等式的解集为或，
故选C．
9、如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数（）、（）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则的面积为（ ）
A．9 B．6
C． D．3
【答案】C
【分析】连接、，根据反比例函数的性质可得，，根据C是y轴上任意一点，轴，可得，
结合，问题得解．
【详解】连接、，如图，
根据题意有：，，
∵C是y轴上任意一点，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10、将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是，
故选：A．
11、对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值有最小值
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，函数值有最小值，
故选：C．
12、二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 5 …
则下列结论：①；②当函数值时，对应x的取值范围是；③顶点坐标为；④若点，在抛物线上，则．其中所有正确结论的序号为（ ）．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】A
【分析】由待定系数法求出函数解析式为，即判断①，求出抛物线与x轴的交点，根据函数图象即可判断②，把函数解析式化为顶点式，即可判断③，分别求出和的函数值，即可判断④．
【详解】解：把点，，代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴，故①正确；
当时，，解得
∴抛物线与轴的交点为，
的图象如下：
由图象可知，当函数值时，对应x的取值范围是，故②错误；
∵，
∴顶点坐标为；故③正确；
∵当时，，
当时，，
∴点，在抛物线上，则．故④错误；
综上可知，所有正确结论的序号为①③，
故选：A
13、如图为二次函数的图象，该图象与轴的交点是和，给由下列说法：①；②方程的根为，；③；④当时，随值的增大而增大；（5）当时，或．其中，正确的说法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤
C．①③⑤ D．②④⑤
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴判断①，根据抛物线与x轴的交点坐标判断②，根据函数图象判断③④⑤．
【详解】解：∵对称轴是，
∴，①正确；
∵二次函数的图象与x轴的交点坐标为、，
∴方程的根为，，②正确；
∵当时，，③错误；
∵对称轴是，开口向上，
∴当时，随值的增大而减小；④错误；
当时，或．⑤正确，
综上所述，正确的有①②⑤，
故选：B．
14、如图所示的二次函数的图象中，某同学观察得出了下面五条信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）你认为其中错误的有（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】（1）根据图象与的交点的个数，求根的判别式；（2）取时，；（3）对称轴方程，根据图象开口方向判断与0的关系，将不等式变形即可；（4）取时，．（5）根据图象对称轴分析出和同号，由（2）得，即可得出结论．
【详解】解：由图象得：抛物线与轴交于两个点，
∴，结论（1）正确；
由函数图象与轴交点得：
当时，，即，结论（2）错误；
由抛物线的对称轴的位置得：，
∴，
又∵抛物线开口向下，
∴，
∴
∴，结论（3）正确；
由函数图象可得：当时对应的函数值小于0，
即，结论（4）正确；
由该函数的图象知，开口向下，
∴，
对称轴方程，
∴，
∴、同号，
∴；
由（2）得，
∴，结论（5）正确；
综上所述，（2）错误，故只有1个错误．
故答案为：D
15、已知：如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于A点，且是等腰直角三角形．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(3)若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么是否有最大面积？若有，求出的最大面积；若没有，请说明理由．
【答案】(1)A，B，C
(2)
(3)存在，最大面积为
【分析】（1）运用一次函数与坐标轴交点坐标的特点分别求出A、C坐标，再利用是等腰直角三角形，即可解答；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）设点P，过点P作轴于点N，进而表示，，，由可得出，代入，再化为顶点式即可解答．
【详解】（1）解：令得：，
故点C坐标为；
令得，，
故点A的坐标为
为等腰直角三角形
点B的坐标为
故点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
（2）解：设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为
则，解得：
解析式为：
（3）解：存在．
如图，设P是第一象限的抛物线上一点，
过点P作轴于点N，则，，
在抛物线上，
代入上式得：
当时，取得最大值，
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得的面积最大，面积最大值为．

展开更多......

收起↑