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2023—2024学年度化州市第一学期期末教学质量监测
高中二年级数学试卷
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的
位置上。
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3． 非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不 按以上要求作答的答案无效。
4． 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．，为虚数，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，．是该数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
4． 设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“” 是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6． 已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面 积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7． 已知甲袋中有4个白球 个红球，乙袋中有2个白球 4个红球，各个球的大小与质地 相同.现从甲 乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相 同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（ ）
A．2 B．4 C．6或2 D．8或4
8． 已知双曲线（，）的离心率为，圆与C的 一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9． 已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C．椭圆的短半轴长为4 D．的面积的最大值是4
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象可由的图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到
D．函数的图象可由的图象上所有点向左平移个单位得到
11．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则的最大值为4
B．，，则的最小值是4
C．当时，有最大值
D．的最小值为
如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，
平面，且，则（ ）
A．平面
B．四棱锥的外接球表面积为
C．四棱锥的内切球半径为1
D．直线与平面所成角的为
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷的横线上．
13．已知数列是等比数列，首项,公比，则 .
14．已知单位向量，满足，则与的夹角为 .
15．直线l：与有两个不同交点，则m的取值范围 .
16．对大于或等于2的自然数的次幂进行如下方式的“分裂”：
按此方法，的“分裂”中最大数是　 　，若的“分裂”中的最小数是21，则 的值为　 　．
四、解答题：本大题共6个小题，满分共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1) 求；
(2) 若的面积为，求的周长.
18．（12分）已知等差数列满足，且前5项的和为．
(1) 求的通项公式；
(2) 已知求数列，求的前项和．
19．（12分）如图，在直四棱柱中，，， ．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不 同的A、两点．
(1) 求抛物线的方程；
(2) 如果，证明直线过定点，并求定点坐标.
21．（12分）．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄 和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程 度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，，第二 组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到 如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和 第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的 概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年 龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
22．（12分）已知函数，若在区间内有且仅有一个，使得成立， 则称函数具有性质．
（1）若，判断是否具有性质，说明理由；
（2）若函数具有性质，试求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页2023—2024 学年度第一学期教学质量监测
高中二年级数学试卷参考答案
一、单项选择题：本大题共 8个小题，每个小题 5分，共 40分．每小题给出的四个选
项中，有且只有一项是符合题目要求的．
单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A B A C D
二、多项选择题：本大题共 4个小题，每个小题 5分，共 20分．每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求的，选齐全对的得 5分，漏选得 2分，错选和不选得 0分.
多项选择题 9 10 11 12
答案 BD ACD BD ABD
三、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分．将答案填在答题卷的横线上.
63 2π 4
13、 ； 14、 ； 15、 1, ； 16 、 9，5.64 3 3
四、解答题：本大题共 6个小题，满分共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
b
17. （10 分）解：（1）由已知b 2sin B得 2
sin B
b a
由正弦定理得 =2， 2 分
sin B sin A
则 a 2sin A 2 3 = 3 .
2
即 a 3 5 分
（2 S 1 3bc 3） ABC bc sin A ，得bc 2，2 4 2
a2 b2 c2 2bc cosA b c 2由余弦定理 3bc ， 8 分
即3 b c 2 6，则b c 3，
所以 a b c 3 3 ，
DABC的周长为3 3 . 10 分
高中二年级数学试卷参考答案 第 1 页 共 8 页
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18. 【详解】（1） an 为等差数列，设出公差为d ，
因为 a2 a5 a8 3a5 15，所以a5 5， 2分
S 5 a1 a因为 5 5 15，所以 5a2 3 15
，
所以 a3 3， 4 分
所以 2d 5 3 2，所以d 1，
所以 an a3 n 3 d 3 n 3 n； 6 分
a n
（2）由（1）知 an n，所以b nn n n ，2 2
1 2 3 n
所以 Sn 1 2 3 2 2 2 2n
，
1 S 1 2 3 n 1 nn 2 3 ， 4 n n 1 8 分2 2 2 2 2 2
S 1所以 n S
1 1 1 1 n
n 2 3 2 2 2 2 2n

2n 1
，
1 1
1

1 n S 2 2 n所以 n 1 n 1 1
1 n
10
2 2 2n

2n 1
， 分
1
2
2 n 2 n
所以 Sn 2 2 . n n n 12 分2 2 2
19. 证明：（1）连接 AC．
∵在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 平面 ABCD，
AC， BC 平面 ABCD，
∴ AA1 AC， AA1 BC． 1 分
∵ A1C 3， AA1 1，
∴ AC A1C
2 AA21 2 2， 3 分
∵ AB BC 2，
∴ AC 2 BC 2 AB 2 ，
∴ BC AB． 4 分
∵ AA1， AB 平面 ABB1A1， AA1 AB A，
∴ BC 平面 ABB1A1． 5分
（2）在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， BB1⊥平面 ABCD , BC AB，
可得 AB,BC,BB1 ,两两之间互相垂直.
以 B为原点，以 BA，BC， BB1所在直线分别为 x， y， z轴建立空间直角坐标系，
如图所示， 6 分
高中二年级数学试卷参考答案 第 2 页 共 8 页
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则 A 2,0,0 ，C 0,2,0 ，D 1,2,0 ， A1 2,0,1 ，

∴ AA1 0,0,1 ，DA1 1, 2,1 ，DC 1,0,0 ． 7 分

设 n x, y, z 为平面 AA1D的一个法向量，

AA1·n

z 0
则
DA

1·n x 2y z 0

令 x 2，得 n 2,1,0 ． 8 分

设m a,b,c 为平面 A1DC的一个法向量，

DC·m

a 0
则
DA1·m a 2b c 0

令 c 2，得m 0,1,2 ． 9 分
设平面 AA1D与平面 A1DC的夹角为 ，且由图可得为锐角,

n m
则 cos
1 1
cos m, n ，
n m 5 5 5
故平面 AA
1
1D与平面 A1DC夹角的余弦值为 ． 12 分5
20.解：（1）由题意可知，将点M 2, 2 2 代入抛物线方程，
2
可得 2 2 2p 2，解得 p 2， 2 分
则抛物线方程为 y2 4x． 4 分
（2）因为直线 l与抛物线相交于不同的 A、 B两点，
所以直线不与 x轴平行，可设 l : x my n，与 y2 4x联立，
得 y2 4my 4n 0， 6 分
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，∴ y1 y2 4m， y1y2 4n．
16m2 16n 0,m2 n ， 8 分

由OA OB x1x2 y1y2 my1 n my2 n y1y2
m2 1 y1y2 mn y1 y2 n2
m2 1 4n mn 4m n2
n2 4n 4，
解得 n 2， 11 分
高中二年级数学试卷参考答案 第 3 页 共 8 页
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∴ l : x my 2过定点 2,0 ． 12 分
21.解：（1）设这m人的平均年龄为 x ，则
x 22.5 0.05 27.5 0.35 32.5 0.3 37.5 0.2 42.5 0.1 32.25（岁 )．
设第 80百分位数为 a， 2 分
方法一：由 5 0.02 (40 a) 0.04 0.2，解得 a 37.5． 4 分
方法二：由 0.05 0.35 0.3 (a 35) 0.04 0.8 ，解得 a 37.5． 4 分
（2） (i)由题意得，第四组应抽取 4人，记为 A,B,C 甲，第五组抽取 2人，记为 D，乙．
对应的样本空间为：
{(A,B) ，(A,C)，(A，甲），(A，乙），(A,D)，(B,C)，(B，甲），(B，乙），(B,D)，
(C，甲）， (C，乙）， (C,D)，（甲，乙），（甲，D)，（乙， D)}，
共 15个样本点． 6 分
设事件M “甲、乙两人至少一人被选上”，
则M {(A，甲）， (A，乙）， (B，甲）， (B，乙）， (C，甲）， (C，乙），（甲，乙），（甲，
D)，（乙， D)}，共有 9个样本点． 7 分
所以， P(M ) n(M ) 3 ． 8 分
n( ) 5
(ii) 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 x4， x
2 2
5 ，方差分别为 s4 ， s5 ，
则 x 37， x
5
43 s2 2， 4 ， s5 1， 4 5 10 分2
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 z ，方差为 s2 ．
4x
则 z 4
2x5 39 s2 1， 4 [s24 (x4 z )2 ] 2 [s25 (x5 z )2 ] 10．6 6
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为 10．
据此，可估计这m人中年龄在35 ~ 45岁的所有人的年龄方差约为 10． 12 分
22.【解答】解：（Ⅰ） f (x) sin x 2具有性质M ． 1 分
理由：依题意，若存在 x0 ( 2,2)，使得 f (x0 ) 1，

则 x 0 ( 2,2)时有 sin x0 2 1，即 sin x0 1， x0 2k ， k Z ． 2 分2
高中二年级数学试卷参考答案 第 4 页 共 8 页
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由于 x0 ( 2,2)

，所以 x ． 0 3 分2
又因为区间 ( 2,2) 内有且仅有一个 x0 ．使得 f (x0 ) 1成立，2
所以 f (x)具有性质M ； 4 分
（Ⅱ）依题意，若函数 f (x) x2 2mx 2m 1具有性质M ，
即方程 x2 2mx 2m 0在 ( 2,2)上有且只有一个实根．
设 h(x) x2 2mx 2m，
即 h(x) x2 2mx 2m在 ( 2,2)上有且只有一个零点． 6 分
解法一：
（1）当 m 2时，即m 2时，可得 h(x)在 ( 2,2)上为增函数，
h( 2) 0 m 2
只需 解得 2 交集得m 2． 7 分
h(2) 0 m 3
（2）当 2 m 2时，即 2 m 2时，若使函数 h(x)在 ( 2,2)上有且只有一个零点，需
考虑以下 3种情况：
（ⅰ）m 0时， h(x) x2在 ( 2,2)上有且只有一个零点，符合题意．
h( 2) 0 m 2
（ⅱ）当 2 m 0即 0 m 2时，需 解得 交集得 ．
h(2) 0

m
2

3
h( 2) 0 m 2
（ⅲ）当 0 m 2时，即 2 m 0 时，需 解得 h(2) 0
m 2
3
2
交集得 2 m ． 10 分
3
（3）当 m 2时，即m 2时，可得 h(x)在 ( 2,2)上为减函数
h( 2) 0
m 2

只需 解得
h(2) 0

m
2

3
交集得m 2． 11 分
2
综上所述，若函数 f (x) 具有性质 M ，实数 m 的取值范围是 m 或 m 2或 m 0；
3
12 分
高中二年级数学试卷参考答案 第 5 页 共 8 页
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解法二：
依题意，（1）由 h( 2) h（2） 0得， (4 2m)(6m 4) 0，
解得m 2 或m 2． 8 分
3
同时需要考虑以下三种情况：
2 m 2
（2）由 解得m 0． 9 分
0
2 m 0 0 m 2
（3）由 解得 ，不等式组无解． 10 分
h( 2) 0 m 2
0 m 2
2 m 0
4 （ ）由 解得 2 ，解得m
2
． 11 分
h(2) 0 m 3 3
2
综上所述，若函数 f (x) 具有性质 M ，实数 m 的取值范围是 m 或 m 2 或
3
m 0． 12 分
高中二年级数学试卷参考答案 第 6 页 共 8 页
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